Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Перейти к сферическим координатам. 7) Найти притяжение, испытываемое произвольной точкой пространства ео стороны однородной сферы [Ср. 650, 9).1 Рвшзнив. Перейдя к сферическим координатам, найдем зя ч я [' Г рга(гсозт — а) ми т туг от те) 33 з (г'+ а' — 2агсм р) Но, определяя притяжение сферическим слоем [633, 11)), мы уже нашли значение двойного интеграла — ( ~ (гсоз р — а) зштаттВ (О при а~г, — 4к о 0 (га-[ ат 2агсоз ) з — — пРи а)г.
В таком случае при а) )т тт Рл= — — г Фг= — — н)с'р °вЂ” 4яр Г а' 6) 3 а" а при а()~ Гл= — — Лт г аг= — — вра вр аа,) = 3 в 362 гл. хчее тройные и многократные интегралы [662 Подставляя это в интеграл В и меняя порядок интегрирований, найдем 8) Найти потенциал однородной сферы на произвольную точку (ср. 650, 12)). Укляанив. Перейти к сферическим координатам н использовать ре- зультаты задачи 12), 633. 9) Решить наново задачи, относящиеся к притяжению п потенциалу сферы, прн более общем закойе распределения мзсс: (О =Х(г), где у — произвольная функция расстояння точки от центра. Отметим, что заключенна, сформулированные нами в 660, 9) н 12), остаются в силе ц в настоящем случае.
!О) Найти моменты инерции / и („ тора [ср. 650, !3)). Указание. Учитывая, что тор получается от вращения круга (см. рис. 108), положение точки в этом теле естественно определить, во-первых, углом в, который составлен мернлиональным сечением с плоскостью хя, и, во-вторых, обыкновенными полярными координатами р, Π— в пределах самого сечения. Тогда х=(в(+Осоаэ)ссвт, у=(в(+рсоаэ) авпт, яс йа!пО, У = О (в(+ р соэ О), прячем э изменяется от 0 до а, а т н Π— от 0 до 2я. 11) Вычисление потенциала однородного (э=1) эллипсонда х' у' л' ах+От+ с* на его центр приводит к эллиптическому интегралу. Введем сферические координаты, но, взяв на этот раэ ось х за полярную осте х=гссмт, у=гмптссаэ, я=гжп та(п9.
Будем иметь х//сев эта !в!с в ссв Эвв св!и т ввс )+~ -в~ в~в~ св г ввг= о о 4 мп в( о все ' 'В вы~<-с~~ в где В= — т+ — т С вв Ов в я Внутренний интеграл равеп — . 2 ОгВС получим эллиптический интеграл первого Уса са с совая+ свпвт а' с' "ага' — с' Полагая, далее, сову=с, а рода 2я азс вгт 662) О з.
замена пнэнмйнных н тройных интнгэлллк 363 6631 в а. клинил пквижинных н тройных инткгвлллх Мй Выделим пз тела (Р) сферу (о,) радиуса 2! И! с центром в А (рис. 115); тогда Ь представится в виде суммы четырех членов: (оо( (оо) (оо) ~ 11 8%-Л-.=,.'~- (р( — ('оо) Второй и третий чаены сразу оцениваются с помощью неравенств (13) н (14) при го=2/И)( (оо) ! о(о (2ло'. ° 2 ( И (=4яу. (И ~, (оо> Чтобы удобнее оценить первый член, окружим точку Ао сферой (о,) радиуса Рис.
115, 3( И ); в ней целиком содержится сфера (о,). Тогда, снова пользуясь неравенством вида (13), будем иметь Наконец, обращаемся к последнему члену. Если ввести функцию У(Е о(, С)= — „. 1 то выражение в фигурных скобках есть не что иное, как — л((Е ъ ") что по формуле Тейлора может быть заменено через — у' (Е+ аи, оз Е) (о ~ в с 1). И .Но в нашем случае 3 (х — Е)' 1 У" (Е, ц, Е)= 366 Гл. хчп(. ТРойнып и многокРлтнып интнгРАлы (664 поэтому 4 ~у(а(а+'" Ч 'И- га где г есть расстояние А,М от точки М до точки Аа(1+бя, Ч, С). т(з треугольника АМА, (см. рис.) имеем АаМ) АМ вЂ” АА,.
Но точка М лежит вне сферы (о,) рис. 2(я(, а АА„очевидно, меньше )й), так 1 1 1 что АА < — АМ и А М) — АМ т. е. г,) — г. Учитывая все это, при- 2 ' 2 ' ' ' о 2 ходим к такой оценке: ! Р~ И,(-'--')- — '1дУ!=16б ~й~ и' (Р) — (оа) (р) (чо) Возьмем теперь сферу (У,), с центром в А, столь большого радиуса (т, чтобы в ней целиком содержалось тело ()г), Тогда полученное выражение в свою очередь оказывается меньшим, чем 2» о )1 3ое)ь( ))) —, 16 )а( ) ) — о оо( (П/ Г Р С эшч г' ( а) — (чо) э 2)а) = 64яХ. ° ( а ) (1п Д вЂ” 1п 2 ( Ь !) Окончательно ( Ь ) ~ С, ( Ь ( + С, ) Ь ! 1и 2 ! й ), где С, и С,— постоянные, которые нетрудно подсчитать.
Отсюда ясно, что Ь вместе с й стремится к нулю, т. е. д))7 д; Аналогично устанавливаются н другие два из соотношений (19) и'649. Нако- нец, подобными же сообпажениями можно доказать н непрерывность д))Г д))7 д)тг производных — — — даже для точек А, прннадлежэщих телу (1'), дб ' д > д". ф 4. Элементы векторного анализа 664, Скадары и векторы. Применение интегрального исчисления к вопросам математической физики и механики часто удобнее проводить в векторной форме. Поэтому читателю полезно ознакомиться с некоторыми основными понятиями векторного анализа, которые приводят к векторной интерпретации интегральных образований й связывающих их формул интегрального исчисления.
Мы предполагаем, что читатель уже знаком с понятием с к а л я р а или с к а л я р н о й в е л и ч и н ы, которая вполне характеризуется своим численным значением (как, например, объем, масса, плотность, температура) и с понятием вектора илн векторной величины, которая для полного своего определения требует еще указания на направление (перемещение, скорость, ускорение, сила и т. п.). Говоря о векторе, мы, как обычяо, будем представлять себе изображающий его направленный отрезок. Условимся обозначать векторы буквами со стрелками над ними: А, г> й, ...; те же буквы без стрелок: А, г, о, ... будут означать длины векторов: А=) А), г=)г), о=(й), а буквы со значками, например А„„г„, о„, ...
— векторов А, г, о, ... проекции, соответственно, на оси х, у, и, ... Проекции А„„А, Ао вектора А на 6651 % К ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА координатные оси вполне его определвют и по двине (численному значению) и по направлению.
Мы считаем также, что читатель владеет и основными сведениями нз векторной алгебры. Ограничимся напоминанием, что скалярным яроиззедекиеж векторов А и В называется с кап яр (число) А ° В=АВсся(А, В), которое через проекции на осн выражается так: А В= А»В»+ А Ву+ А,В». ([) Векшоряое ароиззедекие векторов А и В есть в е к т о р с длиною АВ[з|п(А, В) [, перпеидикуаярный к обоим сомножителям и направленный в ту сторону, с которой вращение от А к В (на угол, меньший 180') кажется происходящим против часовой стрелки; его обозначают через А х' В.
Проекции векторного произведения на оси будут А Ц» — А,В, А,В,— А„В„А Вл — А»В (2) если, как мы это впредь и будем предполагать, в основу положена п р а в зя система координат [бй)[. 66$. Склляриое и векторное поля. Если с каждой точкой М определенной пространственной области (которая может охватывать н все про.странство) связана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что задано иоле этой величины, соответственно, скалярное или злкшоркол. В ближайших пп' нам все время придетсз иметь дело с такими полями.
Примером скалярного поля может служить поле температуры или электрического потенциала. Если положение точки М определять ее координатами по отношению к некоторой произвольно выбранной координатной системе Окуз, то задание поля скалярной величины (У равносильно просто заданию числовой функции 0 (х, у, з). Мы всегда булем предполагать, что эта функция имеет непрерывные частйые производные по всем неремениым. Если эти производные не обращаются одновременно в нуль, то уравнение (У(х, у, ),=О определяет некоторую поверхность (без особых точен), вдоаь которой величина У сохраняет постоянное значение; такая поверхность называется яозерхяоешье уровня.
Вся рассматриваемая область заполнена этими поверхностями, так что через каждую точку ее проходит одна и только одна поверхность уровня. Ясно, что поверхности уровне между собой не пересекаются. Примером векторного поля может служить силовое поле или поле скоростей; подобные поля нам уже встречались. Если положить в основу некоторую систему координат Охуз, то задание поля векторной величины А может быть осуществлено пулем задания ее проекцией иа оси А„(х,у,з), А (х,у,з), А (х,у,я) (3) как функций от координат точки М, с которой величина А связана.
И эти функции мы будем предполагать имеющими непрерывные производные. При изучении векторного поля важную роль играют леклшряые линии; векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направленяем вектора А, отвечающего этой точке. Если возомнить [2ВЦ, что направляющие косинусы касательной к кривой пропорциональны дифференциалам дх, ду, с(л, то получится, что векторная линия хзрактеризуется равенствами А» Ау А, ' 868 ГЛ.
ХЧПЕ ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1666 В предположении, что вектор А не обращается в нуль, можно доказать, опираясь на чтеорему существования» из теории линейных систем дифференцизльных уравнений, что вся рассматриваемая область заполняется векторными линиями, причем через каждую точку ее проходит одна и только одна такан линия. Векторные линни между собой не пересекаются. Иногда приходится рассматривать поверхности, составленные из векторных линий; их называют векторными поверхностями, Векторная поверхность характеризуется тем, что в каждой ее точке М соответствующий вектор А(М) лежит в плоскости, касательной к поверхности в этой точке (или тем, что проекция А„ вектора А на нормаль п к поверхности во всех ее точках равна нулю).
Если взять в рассматриваемой области какую-нибудь ливню, отличную от векторных линий, н через каждую ее точку провести векторную линию, то геометрическое место этих линий и даст нам векторную поверхность. В случае, если упомянутая чнаправляющая» линия является замкнутой, получается трубкообразная векторнав поверхность, которая и называется векторной трубкой. 666. Градиент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
