Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При исследовании движения твердого тела важную роль играют оси эллипсоида инерции, называемые главными осями инерции; если точка О есть центр тяжести тела, то соответствую(цие оси инерции называются главными ц ен т раль н эс ми осями инерции Будет ли та или другая из координатных осей главной осью инерции, зависит от центр о бежн ых моментов. Например,для того чтобы ось х была главной осью инерции, необходимо и достаточно выполнение условий к„=о, к:„=о. В частности, они выполняются, если массы расположены симметрично относительно плоскости уг. 16) Рассмотрим, в заключение, вопрос о центробежной си ле, развивающейся при вращении твердого тела вокруг оси. Если тело ((») вращается вокруг осн г с угловой скоростью н, то на элемент дт = у д(» тела будет действовать элементарная центробежная сила величины бр= »гдт=н»гуЖ; где г есть расстояние элемента от оси вращения. Ее проекции на коорди- натные оси булут дР =н»ху д(», с(Ру=м»УР д(» дР»=О, так что проекции р е з у л ь т и р у ю щ е й центробежной силы Р выразятся интегралами Р„= ~г ~ ( ~ хР д(» = ~'М„„Р„= н'М»т Р = О, (Р( где Муо М „— статические моменты нашего тела.
Если через Е, Ч, С обозначить координаты центра тяжести тела, то эти формулы перепишутся так: Р„= н»Ет, РР— — »Чт, Р, = О. Отсюда видно, что упомянутая результируюн(ая центробе»юная сила Р е точности яакова, кан если бы вся масса тела была сосредоточена е его центре тяжести. Элементарная центробежная сила, о которой выше была речь, имеет следующие моменты относительно координатных осей: дМ =горе — н»угр д(», дМ„=я дР»=н»гхс д(», дМ»=О. Следовательно, результирующие моменты относительно этих осей будут: М.= ~~~У»Рд =-Кую М„= 'Кгю М,=о.
(Р) Для того чтобы центробежные силы взаимно уравновешивались и не оказывали никакого действия на вал (а через его посредство — на подшипники, в которых он укреплен), необходимы н достаточны условия: М„=о, М»»=О> К,»=о, К,„=о. 334 Гл. хтп(, тРОйные и мнОГОкРАтные интеГРАлы 1651 стоРонУ повеРхности (Оэ), а втоРой — на нижнюю стоРонУ повеРхносхи (8,).
Равенство не нарушится, если мы прибавим к правой его части интеграл ~) )с(х, у, 2)((х((у, (зи) ~ ~ ~ ,'-~дх (у д = ~ ~ Рдр (2. ('Р) (з) д)а д ('Р) (з) (2) (3) если функции Р и Я непрерывны в области (У) вместе со своими дР д0 производными — и дх ду' Сложив все трн формулы (1), (2), (3), мы и придем к общей формуле Осл)роградскогог ~ ~ ~ ~~ . + д + д ) ()х (ту(22 = ~ ~ Р(су с(2+ ьГ((2 (ах+)с с(хну.
(4) Ф) (з) * На деле для верности формулы это предположение несущественно. распространенный на внешнюю сторону поверхности (Яэ), так как этот интеграл равен нулю [636, (б)). Объединяя все три поверхностных интеграла в один, мы и придем к формуле (1), которая представляет собой частный случай формулы Остроградского. В приведенном рассуждении читатель, вероятно, уже усмотрел сходство с тем, с помощью которого в и' 638 была выведена формула (14) для объема тела (У): эта последняя получается из формулы (1) при )С(х, ур 2)=2. Как н там, легко понять, что формула (1) верна для более широкого класса тел, которые могут быть разложены на части изученного типа.
Можно доказать также„что формула (1) справедлива вообще для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями. Доказательство проводится в основном так же, как и в и' 638, при расширении условий применимости формулы для объема. К этому добавим только одно замечание.
Если рассматриваемое тело (У) представляет собой «призматический брус», ограниченный, скажем, справа поверхностью х= а(у, «), то изложенное в и' 638 рассуждение переносится на настоящий случай лишь в предположении, что функ- дР ции )с и — определены и непрерывны и в некоторой области с пр з за дг от упомянутой поверхности (ибо вписанная многогранная поверхность может и выйти несколько за пределы рассматриваемого тела)'*. Аналогично формуле (1) имеют место и формулы: $2. ФОРМУЛА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО Она выражает общего вида поверхностный интеграл второго типа, распространенный на внешнюю сторону замкнутой поверхности, через тройной интеграл, взятый по телу, ограниченному этой поверхностью.
Если привлечь к рассмотрению поверхностные интегралы первого типа, то получим другой, весьма употребительный и легко запоминаемый вид формулы Остроградского: 1 1 1 1й+дд+ Ы1 а)хау и ГУ) = ~ ~ (Р соз Л+ О соз ))+ Я соз ч) ао, (5) (3) где Л, )), ч суть углы, составленные внешней нормалью к поверхности (8) с координатными осями.
ЗА ми чан ив. формулы Грина, Стокса и Остроградского объединены одной идеей: они выражают интегрзл, распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл, взятый по границе этого образа. При этом формула Грина относится к случаю двумерного пространствз, формула Стокса — также к случаю двумерного, но «кривого» пространства, а формула Остроградского — к случаю трехмерного пространства. На основную формулу интегрального исчисления ~,) ' (х) а)х =Г" (Ь) — Г" (а) а мы можем смотреть, как на некоторый аналог этих формул для одномерного пространства. 66л. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов.
Пусть в некоторой открытой области (Т) трехмерного пространства заданы непрерывные функции Р, )',), К. Взяв любую замкнутую поверхность (8), лежащую в этой области и ограничивающую некоторое тело, рассмотрим поверхностный интеграл Ц Ра)убз+)',) азс(х+Яс(хну= ГЗ) = ~ ~ (Р соз Л+ Я соз )) + К соз ч) бЗ.
(6) гз) Какому условию долаккм удовлетворять функции Р, );), К, чтобы интеграл (6) всякий раз оказывался равным кулю "с Эта задача аналогична зздаче об обращении в нуль криволинейиого интеграла по ззмкнутому контуру [601, 641), которая легко разрешалась с помощью формулы Грина или Стокса. Здесь же й)ы прибегнем к формуле Остроградского, предполагая, конечно, 336 ГЛ. ХШП. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ]633 что для функций Р, О, )с существуют и непрерывны те производные, которые фигурируют в этой формуле.
Однако для того чтобы иметь право преобразовать интеграл (6) по формуле Остроградского, необходимо и в настоящем случае наложить некоторое ограничение непосредственно на основную область (Т). Именно, нужно потребовать, чтобы, лгпаь только одластн (Т) прлнадлежлт простая замкнутая поверхность (8), ограничггваюгцая извне тело (г), то и вто тело также целиком содержатся в указанной области. Область, обладающую этим свойством, называют («пространственно») односвязной (ср. 641].
Сушность этого типа односвяаности состоит в отсутствии «дыр», хотя бы и точечных; по отношению к телу, не простирающемуся в бесконечность, можно было бы попросту потребовать, чтобы его границей служила одна-единственная замкнутая поверхность (ср. 669]. Поэтому, например, в отличие от сказанного по поводу «поверхностной» односвязности в 641, здесь тор будет односвязным телом, а полая сфера — нет. формула Гаусса — Остроградского сразу приводит к искомому условию: дР дЯ д)« — + — + — =О. дх ду да (в) Достаточность его очевидна, а необходимость легко доказывается с помощью дифференцирования тройного интеграла по области [644, 8'].
Аналогично случаю криволинейных интегралов, вопрос об обрашении в нуль интеграла по замкнутой поверхности оказывается равносильным вопросу о независимости интеграла по незамкнутой поверхности, «натянутой» на данный контур, от ф о р и ы поверхности. Останавливаться на этом не станем. В заключение заметим, что если 'требование непрерывности функций Р, ф Я и нх производных нарушено в одной или нескольких точках области (Т), то и при выполнении равенства (В) интеграл (6) может оказаться отличным от нуля.
Но в этом случае нетрудно установить, что интеграл (6) имеет одно и то же значение для всех замкнутых поверхностей (8), охватывающих определенную о собу ю точку (ср. 662]. Все эти обстоятельства иллюстрируются на примере интеграла Г а у с с а, которому мы посвящаем следующий и'. ° 653. Интеграл Гаусса. Так называется интеграл а=~~ (", ") д8, ь) где г есть данна радиуса-вектора, соединяющего постоянную точку А (Е, ч, С) с переменной точкой М (х, у, а) поверхности: Г = )Г (х — Е)' -]- (у — Ч)' + (а — Е)', 33У й э. ФОРмулА ГАуссА — ОстРОГРАдского а через (г, и) обозначен угол между этим радиусом-вектором и нормалью к поверхности в точке М. При этом поверхность (5) предполагается двусторонней, и нормаль и отвечает определенной ее стороне.
Если направляющие косинусы нормали суть сов Т, соэ Р, сов ч, то Ои(Г и)= сов(х, Г)соз) +сов(у, Г) созР.+оси(г, Г)созч= х — с у — ч г — ! соз ) + соз Р+ — соз и г г г Таким образом, интеграл Г в у с с а перепишется так: Г сх — Е у в г — 1 0= ~ Ч ~ — СОЗТ+ — СОЗР+ — Саач 35= 3'! гв та г' РВ Г х — 6 у в г — с — ау а'г +, дг дх+ —, дх ду. РЛ Вдесь г †! )!=— Гв ° у 3 так что др 1 3 (Х вЂ” !)в д() ! 3 (у — Ч)' д/~ ! 3 (г — ~)а дх г' г' ' у Г' г' ' дг г' г' Легко проверить выполнение условия (В) во всем пространстве, исключ а я т о ч к у А (с ть 1), в которой функции Р, !;т, )т' терпят разрыв. Следовательно, интеграл Г а у с с а, взятый по замкнутой поверхности, равен нувю, если поверхность не охватывает точки А. Для всех же поверхностей, содержащих зту точку внутри себя, интеграл сокраняет одно и то жс зйзчение.
Его легко найти, если за поверхность (5) взять, например, сферу, описанную радиусом Д вокруг точки А. Здесь радиус-вектор точкй сферы сохраняет постоянную длину, а направление его совпадает с направленном внешней нормали к сфере, так что соз(г, и) = !. Имеем: ст= ~ ~ —, = --, =4я; РВ "Телесным углом называется часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью; вершина конуса яввяется вершиной угла. Если вокруг вершины описать сферу единичного радиуса, то упомянутая конкческая поверхность вырежет на ней фигуру, площадь которой и служит м е р о й телесного угла.
таково значение интеграла Г а у с с а для всех поверхностей, окружающих точку А. Все зти результаты легко устанавливаются и непосредственно, если исходить нз геометрического смысла интеграла Г а у с с а, как меры телесного углов, под которым поверхность (5) видна из тлочкн А. Для доказательства этого предположим сначала, что поверхность (5) пересекастсн с каждым лучом, исходящим из точки А, не более, чем в одной точке.
Пусть нормаль и направлена в сторону, противоположную точке А, Взяв элемент (д5) поверхности (5), выберем точку М на нем н проведем через эту точку сферу с центром в точке А, Если спроектировать элемен~ (д5) из А на 333 гл. хшп. тгойнык и многокзлтнык интцгрдлы [634 упомянутую сферу, то площадь проекции будет а( соз(г, и) о8, так что площадь фигуры, вырезанной исходящими из А лучами зрения на сфере единичного радиуса, будет: сов(г, л) г' Это и есть (телесный) угол видимости элемента (((8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
