Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Задача о вычислении массы тела. Пусть дано некоторое тело (У), заполненное массами, н в каждой его точке М(х, у, л) известна плотность Р = Р (М) = Р (х, у, я) распределения этих масс. Требуется определить всю массу т тела. Для решения втой задачи разложим тело (У) на ряд частей: (1г1) (Ю " (Ю н выберем в пределах каждой нз ннх по точке М~ (1~ тл С;). Примем приближенно,'что в пределах части (У) плотность постоянна н равна как раз плотности р($э пп С~) в выбранной точке. Тогда масса т; этой части приближенно выразится так: тг = Р 6» тш С;) г» масса же всего тела будет = ~~~~ Р6! тп Сг) К.
Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то в пределе это приближенное равенство становится точным, так что и=йш ~ч,' Р(ан 11п С;) Уп $1 н задача решена. Мы видим, что решение задачи и здесь привело к рассмотрению предела своеобразной суммы — типа интегральных сумм различного вида, с которыми мы многократно имели дело на протяжении всего курса. я и таойной мнтигвьл н вго вычнслзнив 309 Подобного рода пределы приходится часто рассматривать в механике и физике; они получили название тройных интегралов. В принятых для них обозначениях полученный выше результат запишется так: т=~ ~ ~р(х,у, «)с(Е (2) Теории тройных интегралов и их важным приложениям посвящена, в основном, настоящая глава. Так как целый ряд предложений, установленных для двойных интегралов, переносится вместе с нх доказательствами на случай тройных интегралов, то мы обычно будем довольствоваться лишь формулировкой этих предложений, предоставляя читателю перефразировать прежние доказательства.
ь а= ~У(И; тшС~) гп 1-1 Конечный предел 1 атой сумлсы, при стремлении и нулю наибольшего из диаметров всех областей (1~) и называется тройным интегралом фуннцшг г(х у, «) в области (Ъ). Он обозначается символом 1 = ~ ~ ~ р(х, у, «) си = ~ ~ (у(х,у, «) йх йу й«. 1У) гб 643. Тройной интеграл и условия его существования.
При построении общего определения нового интегрального образования— тройного интеграла, основную роль играет понятие о б ъ е м а тела, наподобие того как понятие площади плоской фигуры лежало в основе определения двойного интеграла. С понятием объема мы уже знакомы по первому тому и сталкивались с ним не раз. Условие существования объема для данного тела заключается в том, чтобы ограничивающая его поверхность имела объем 0 [341). Только такие поверхности мы и будем рзссматривать, так что существование объемов во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается.
В частности, как мы знаем, в состав указанного класса поверхностей входят кусочно- гладкие поверхности. Пусть теперь з неко~арой пространственной области (1г) задана функция г (х,у, «). Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей (У,), (У,), ..., (1~„), имеющих соответственно объемы 1гц 1ь..., 1'„. В пределах 1-го элемента (У;) возьмем по произволу точку (Ц, тш ~,), значение функции в этой точке г (1п .4п "„) Умножим на объем $~; и составим и нтегРальнУю сумму % (. тРОйнОЙ интеГРАл и ЕГО вычисления 3'. Если я=сопя!., то Ц ~ йУбУ=й ~ ~ )у |У, причем па существования интеграла справа следует и существование интеграла слева 4'.
Если в области (У) интегрируемы две функции У и и, то интегрируема и функция ~-(-у, причем Б(у )йу=Б~бу Яй ( 1'1 (Р1 5'. Если для интегрируемых в области (У) функций ю и я выполняется неравенство у =и. то И~ -')Цй' . (('1 ( 1'1 6'. В случае интегрпруемости функцию ю интегрируема и функция (,ю (, и имеет место неравенство БФбУ~=Б~У~бУ. (Р1 (Р( 7ч. Если интегрируемая в (У) функция У удовлетворяет нера- ВЕНС(НВУ т У д4, то т У~~ ~ ~ Ч~ ~МУ.
Иными словами„имеет место теорема о среднем значении ~ ~~УбУ=рУ (т«=(ю(М). В случае непрерывности функции Г эту формулу можно написать ~ ~ ').ю б.У ю (х,у, д) К (3) ( 1'1 где (х, у, д) есть некоторая точка области ( У). Далее, легко распространяется на трехмерный случай и содержание по 693: так же, как и там, устанавливается понятие функции От (трехмерная) области, в частности, аддитн в ноя функции.
Важным примером такой функции (см. 2') является интеграл по переменной области (о): Ф((»=Ц ~уб.. (4) (м Вводится аналогично прежнему понятие производной функции Ф((о)) по области в данной точке М; так называется предел !!ш (Ф(о)) !э! м при стягивании к точке М содержащей ее области (о). 8«. Если подинтегральная функция непрерывна, то производной по области в точке М(х, у, г) от интеграла (4) будет как раз значение подинтегральной функции в втой точке, т. е. У(М) =У(х,у, г). Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции г в нес1 котором смысле «первообраза» иой» и, как доказывается анае логично плоскому случаю, единственной аддитивн ой первообразной, 646.
Вычисление тройного Ряс. 98. интеграла, распространенного на параллелепипед. Иаложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция ~(х, у, «), представляет собой прямоугольный параллелепипед (Т)= (а, Ь; с, й; е,Я (рис. 98), проектируюшийся на плоскость уг в прямоугольник (Я) = (с, й; е, Д Теорема.
Если для функции Т(х, у, г) существует тройной интеграл ~ ~ ) г (х~ у~ г) й Т (6) (г! и — при кагкдом постоянном х из [а, Ь) — двойной интеграл 1(х) = ~ ~ У(х, у, г) йс, Я) (6) то существует таклсе повторный интеграл ~ йх ') ~ У(х, у, г) йс, е !я! (7) и выполняется равенство ) !)У(х,у, «)йТ=~йх~~/(х,у, г)й)с. !т! а гл! (8) 3!2 гл. хчш. Тгойныв н многокгьтныв интвггьлы (646 645[ $ г. тРОйнОЙ интеГРАл и еГО вычисление 3!3 Доказлтильство аналогично проведенному в п' 694. Рззделив промежутки [а, б[, [с, гг) и [е, г) на части с помощью точек х, = а (хг (...
( х, (... ( х„= Ь, У«=с< Уг('"(У ( "(У =( ..=.(.,(...(.,(...(.,=у, тем самым разложим параллелепипед (Т) па элементарные параллелепипеды (Тг г «)=[хг хгг.г, 'Рт Уг,г, 'а«2««г) (7=0,1,...,л — 1;/=О, 1,...,лг — 1; «=0,1,...,1 — 1) и одновременно прямоугольник (гт) — на элементарные прямоугольники (йгт «) = [У7*Угчг' «а«гг) (где ~' и и пробегают те же значения, что и только что).
Положив лгг 7 „— т1 ( Т[, Мг 7 «=зир г гг 1 17'г «7 имеем в силу 644, 7; лгг,у,««угда» "= ~ ~ Т(х,у,а)агУ г(з =-'Мг 7 ЬУ .да г 7« для всех значений х из [хл хг+г[. Фиксируя произвольное значение х=(г в этом промежутке, просуммнруем подобные неравенства для всех значений ) и Л; мы получим неравенства 'У,'~Ч~~лгг 7 «Ьу7ДВ«(1Д) =$)У(3г,у, а)г(угЬ» « глг ( ~~ ~~'~ М 7' «Згугйа«, « Наконеп, умножим эти неравенствз почленно на Ьхг и просуммируем па этот раз по значку г: ~х~~~~глгг 7 г,охгОУтоа«~ )~~ г($7) дх, =,У, У, У, Мг г ~бхгдутдгн г / « « Крайние члены представляют собой суммы Да рбу для интеграла (б) и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей Ьхв Ьу~, Ьл«.
Значит, к тому же пределу стремится и ммзегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла (7), так и равенство (8). 314 ГЛ. ХЧНЬ ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (646 Если предположить еще существование простого интеграла ! ')Т(х,у, з)Ыг (9) Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных х, у, г в формуле (1О), разумеется, могут быть произвольно переставлены. Предлагаем читателю убедиться самому, что из существования тройного интеграла (5) и простого интеграла (9) вытекает формула: ( ( (,У(х, у, г) г Т= ~ ~ г(х ~(у (У(х, у, г) ~(з, (11) ил е где Я=(а, Ь; с, с(). И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая н е п р е р ы в н о й функции г(х, у, а), очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных. 646. Вычисление тройного интеграла по любой области. Как и в и' 696, общий случай интеграла, распространенного на тело (У) любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция У(х, у, г) определена в области (И), то вместо нее следует лишь ввести, функцию У*(х,у, л), определенную в объемлющем (У) прямоугольном параллелепипеде (Т), полагая ( Т(х, у, я) в ( )г), (х'У'Я~=(0 вне (К).
Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы. Рнс. 99, Мы остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело (Р) содержится между плоскостями х=хе и х=Л и каждою параллельною им плоскостью, отвечающею фиксированному значению х(х,(х -Л), пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через (Р„) обозначим ее проекцию на плоскостьеул при любых значениях х из 1а, Ь'1 и у из 1с, И), то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным 16941 и окончательно получим: е е г ~~~г(ху,л)е(Т=(г(х~г(у~,г(х,у,л)дг. (1О) <и а с е йет! 8!5 а ).
тРОЙЯОЙ интеГРАл и еГО Вычисление (рис. 99). Тогда ~ ~ ~ г (х,у, г) (1 \/= ~ ((х ~ ~ у (х, у, г) ((у ((г (ю (Рх) (8*) в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы (8). Пусть, далее, тело ( У) представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями (х,у) и г= Е(х,у), проектируюшимися на плоскость ху в некоторую фигуру (В), ограниченную кривой (К) с площадью 0; с боков тело ( У) ограничено цилиндрической поверхностью с обрааующими, параллельными оси г, и с кривой (К) в роли направляющей (рис. 96).
Тогда аналогично формуле (11) имеем $ $ ) у (х, у, г) Ы р = (г) г(х, Ю И~йу 5 Х(у И' (1) (О) о,(х,у) Эга формула обобщает формулу (10) Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п', н адесь непрерывность функции у (х,у, г) обеспечивает нрнложимость всех формул (8 о), (11*), (10*) и им подобных, полуЧающихся из них перестановкой переменных х, у, г. 647. Несобственные тройные интегралы.
В случаях, когда обваеть интегрирования простирается в бесконечность или подннгегйаньаая функция перестает быть ограниченной вблизи особ ы х точек, при этом предполагается существование тройного интеграла и простого— внутреннего — интеграла а(рава. Если область (с)) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рнс 100) Рис. 100. =уо(х) и у= У(х) (хо(х~Х) прямыми х=х„х=Х, то тело (У) подходит под оба типа, рассмотренных выше, Заменяя двойной интеграл — то ли в формуле (8 *), то ли в формуле (11 х) — повторным, получим Х )'(х) 2'(х, у) 31.У(х у, г) (У= ~ ((х ~ йу ~ У(х,у, г)1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
