Главная » Просмотр файлов » Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3

Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 58

Файл №947426 Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления) 58 страницаФихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426) страница 582013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

В результате мы и получим, что дуг" д)ГГ дйг = Рк ! = Ру~ (! 9) В случае же, когда точка А сама принадлежит телу (1/), в втой точке г=О, и подинтегральные функции в (17) и (18) вблизи нее перестают бмть ограниченными, Ниже (663) будет показано, что эти интегралы, как несобственные, все же существуют, и для них выполняются основные соотношения (19). Гл.

хчпт. тРОйные и мнОГОкРАтные ннтеГРАлы (650 Именно, по формуле (8*) М=) ~) хг((г )х((х11 г(уг(г; 1г( ио внутренний интеграл как раз и выражает площадь сечения, которая наперед дана. 3 А м к ч А н и а. Эти примеры привлекают наше внимание к тому факту, что некоторые из механических величин, относящихся к п р о с т р а иственному распределению масс, выражались (правда, при простейших предположениях) двойными и даже простыми интегралами. Эта иллюзия понижения кратности интеграла, как читатель видит, проистекает нз того, что при представлении тройного интеграла в виде двойного от простого или простого от двойного внутренний интеграл в простых случаях оказывается уже известным из геометрических нли механических соображений н не нуждается в вычислении.

3) Использовать задачи 2), 4), 1О) и' 648 для определения положения центров тяжести рассмотренных там тел. 4) Найти центр тяжести тела, ограниченного поверхностями параболоида х'+у'=2аг и сферы х'+у'+г'=За', Рвшвнив. Статический момент относительно плоскости ху проще всего вычислить по формуле, упомянутой в 2), с заменой лишь х на г. Плошадь )Р(г) поперечного сечении равна я ° 2аг для г от 0 до а и я(За' — г') для г от а до а Р 3.

Таким образом, а аМд я =2 ~ ~(*(- ~ (зи — '(ш 5 3 Ю Так как объем тела уже известен: И= — (6 Р' 3 — 5) (343, 6)), то 5 83 = — (6 р' 3+5) а. По соображениям симметрии: 8=с=0. 5) Найти массу и определить положение центра тяжести сферы хг + у'+ гг ( 2аг, если плотность в точках сферы обрзтно пропорциональна расстоянию этих точек от начала координат: д Р= )( х'+уз+ гг Рвшни и я. По формуле (12) и' 648 масса Преобразуя тройной интеграл аналогично (8"), можно представить его в виде йростого интеграла от двойного: та Ш (( В х хвойной ннтвп лн и вго зычно лвннв гле ()7л) есть кРУг РадиУса )г2ал — л'.

ВнУтРенний интегРал без тРУда вычисляется, если перейти к полярным коорлииатам; он оказывается равным гнг ФВ =2в()г 2оз — л). у' га + за Отсюда 4 ш = — виа'. 3 Аналогично вычисляется н статический момент ха+в+а з ) х+у+ Рис 105. Таким образом, 5= — а. Остальные две координаты центра тяжести, очевидно, равны О. 6) Та же задача, но при другом законе распределения масс: и ха+у'+ в~ приводит к результатам: ю=2вйа, а ма = лиа* 2' В дальнейших задачах плотность р распределения масс предполагаем постоянной.

7) Найти притяжение центра основания цилиндра всей массой цилиндра (рнс. 105). При обозначениях рнс. 105 имеем [см. 648, (17)) "=)))~= Ц " ~ 1 ~ а~+у Дв ( *+У'+ ')' В ( — ) цхс(у= 1 1 .+, "+, +' =2 (11+И вЂ” )У'71а+И'У остальные дзе слагающие притяжения равны О, так что притяжение направлено вертикально вверх. 8) Найти притяжение конусом его вершины (рис. 106). ОШВЕШ. г'=гл = — (1 — И).

2вйр 328 ГЛ. ХУП1. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [бй( 9) Найти притяжение, испытываемое любой точкой А (массы 1) со сто. роны сферы (рис. 107). Рис. 106. Рис. 107. Р в ш в н и в. Обозначим радиус сферы через Ус, а расстояние ОА через а Оси координат расположим так, чтобы положительное направление оси проходило через точку А. Тогда ~ г — а г — « 1(~(г.

)Г т7' — 2«г + «'1 Но — 277, если а ~ )7, — 2«, если «~У(. Л 1 =1 г — « «г= 31яп (г — «) «г= ~г «~ — Д -Л С помощью подстановки т=)Гут' — 2«г+ «' легко вычислить и втор«1 интеграл: 2 г7' — — — 217 если а ~ 77 3 «а Ф 4 — — «, если «~77.

Л Иг= Р' Ус' — 2«г+ «' з о~'(у~~ (х'-(-уа+ (г — а)']з ~( — «)Иг ~~ а ' " +л Л г (х'+уз+ (г — «)') з Внутренний интеграл легко вычислить путем перехода к полярным коорди. натам, он равен (-— 1 1 2а — Р' Ь" — 2«г+ а') Ватем, 9 1. тРОЙной интеГРлл и еГО Вычисление Окончательно получаем, что 4, 1 — — кйср ° вЂ” если а~те 3 ас' Ф 4 — — па((, 3 если а(Р. с=~(еа Ц =(.,1(гс(-с —.)ьбхау С лс+ Нс~ +у+ о =рЯс ° 1п ' +рай()( Яс+Ис — й) й + ьг)(с + З' )1 11) Найти потенциал конуса (а) на его вершину и (б) на центр его основания. У казанив — то же. Ошвеш.

(а) Яу = яй (1 — Ь) с) ~Рейс Й (1+)1) яВ;й (б) йт= †, С 1п Л вЂ” + Н Р ()1 й)' 12) Найти потенциал сферы на произвольную точку А. Рк ш ли из. При обозначениях задачи 9) имеем '- [",Я, и =2пр ~ (р"у(с — 2аг+ас — [е — а[)дз. Различая случаи а:~ ег, имеем далее я )/)и — 2ас-[-ас бе= — [я+а)а — [я — а [с) = За и — )1' — + 2)1а (аъ Р), 2 1 3 — а' + 2с(с (а ~ тс), В то же время, очевидно, Р',=гу — — О.

Итак, во всех случаях притяжение направлено к центру сферы. При этом юочка, находящаяся вне сферы (а~Я), испыюывает со стороны последней такое же приюяжение, какое йспышывало бы, если бы в ценюре сферы была сосредоточена вся ее ласса ш= — пЯ у. С другой 4 в 3 стороны, так как по отношению к точке, лежащей в н у тр и сферы (а(е(), притяжение не зависит от Л (и имеет такую же величину, квк и в случае с((=а), то ясно, что наружный сферический слой не оказываею на внутреннюю точку никакого дейсювия.

10) Найти потенпиал цилиндра на центр его основания. У каза пик. Здесь проще начать с интегрирования по х и у, причем двойной интеграя вычислить с привлечением полярных координат: 330 ГЛ. ХУ!П. ТРОВНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [056 ц ~ 2гта (а)Я), 1г — а(дгык [ а'+ Я' (а ~ тг). Таким образом, 4 1 -3 а — кЯ~р ° вЂ” (а ~ )1), (2кгсв — — ка«) р (а (тт).

2 Мы видим прежде всего, что яотенциал на точку, лежащую вне сфе ры, ванов же, нан если бы вся масса сферы была сосредоточена в е~ центре. Вторая же из полученных формул приводит к такому следствию. Всат рассмотреть п о л у ю сферу с внутренним радиусом Д', и внеюним радиу сом ес„то ее потенциал на точку, лежащую з полости (а ()1,), предста вится в виде разности й7= ЯУ« — 071 — — (2«Я — — каа) р — ~ 2кг(в — — кав) р = = 2к ()т«в — )),') р и не зависит от а, 1)отеяциал иолой сферы в пределах нолости сохраняет постоянную величину. Рис. 108.

13) При обозначениях рис. 108 найти моменты инерции тора: У«и г« [См. 648 (15).[ УкАЗАнив. Имеем а ! =2р~дг ~ ~ (х'+ув)дхду, ятв ее «в+ у«т ц«в У«=2р~ дг ~ ~ (у«+ г') дх ау, я«««в+у««я« где )т,=д — Ргав — г', ггв=д+ Рга" — г', Двойные интегралы вычислю ются йереходом к полярнйм координатам «т в к' Ответ. 1,= а'д(ва" +За)р, I«= 4 а'а(4д'+5а')Р.

В ). твойной интеграл и его вычисление 331 ЖМЦ 14) Пусть тело (У) вращается вокруг оси л с угловой скоростью». Тогда длв злемента л)ш=р л)У, отстовщего от оси вращения на расстояние г=В/х'+у', линейная скорость будет о=г», а следовательно кипе т в- ческая знергия л)Т= — Ал о'= — »'г'т ачг. в 1 т а 2 2 Отсюда легко получить выражение длв кинетической знергии Твсего вращающегося тела В последнем интеграле мы узнаем выражение для момента инерции )» нашего тела относительно оси вращения (648 (15)). Итзк, окончательно имеем 1 Т= — и".

2 Рис. 109. 15) Поставим теперь задачей вычислить момент инерции рассматриваемого тела (У) относительно произвольной оси и (рис. 109), составлнющнй в коорлинатными осями, соответственно, углы а, б, 1. Длн расстояния МО = В произвольной точки М (х, у, з) тела от оси имеем В' = г* — о', где, как известно из аналитической геометрии, г'=х'+у'+з', )Г=хсоза+уожр+зсоз1*. Так как оси*а+ соз'р+ сов'т=1, получаем отсюда В' = х» ( сова р + соз» т) + у' ( сов' 1 + с)м' а) + за ( соз' а + ажз 5)— — 2уз соз В соз Т вЂ” 2»х соз т соз а — 2ху соз а соз 5 Теперь ясно, что »»= ~ '1 ~ Вар аЧ~=)' сов' а+)'„соа»5+! сов'1— )р) — 2К, соз б соз Т вЂ” 2К»» соз 1 соз а — 2К»у соз а сш Р, К'=))) "1' К-=))) "т" К"=)Ц "ур"' )р) )р) Ф) Последние интегралы носят название произведений инерции илн центробежных моментов (ср.

599, 5)], Если пожелать наглядно изобразить распределение моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через начало, то аналогично 1. ' ому, как мы зто делалн для паоской фигуры, следует на каждой оси и отжить отрезок О)1) = =, ~/~,' Пусть сова совр сов( Х=О5)сова==, У== У=в ° Последнее соотношение есть запись того факта, что точка М лежит и)а плоскости, проходящей перпендикулярно к оси на расстоянии )Г от начала.

332 ГЛ. Хчщ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ббб бУдУт кооРдинаты конца ЛГ этого отРезка. Тогда из найденного длб Уи вы- ражения легко получить уравнение геометрического места точек л(( у.х'+ у" + у,е» вЂ” йк„уе — 2к,.ех — 2к„ху= е Так как ОФ не обращается в бесконечность, то эта поверхность второго порядка необходимо является эллипсоидом; она носит название э л л и псао н да и н е р пи и.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,74 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее