Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(7 636) % С ПОЯЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА 291 Тогда в связи с (6) мы снова получаем равенство (4), в предположении, что существует один из фигурирующих в нем интегралов (существование другого отсюда уже вытекает). Исходя из параметрического представления поверхности (Я), можно свести интеграл в (4) справа, а с ним, по доказанному, н интеграл слева — к обыкновенному двойному интегралу, распространенному на область (Ь) изменения параметроз. Именно, так как соя ч= + ., йВ= 1l А'+В'+ Сабит, С Р А'+ В'+С' то имеем )).Г(х, у, «)йхйу=-+.)).Т(х(и, э), у(и, э), «(и, о))Сйпйи. (8) Рм Двойной знак отвечает двум сторонам поверхности (Я); в частности, если ориентация плоскости гсо отвечает ориентации поверхности (Я, .связанной с выбором определенной ее стороны, то надлежит взять знак плюс [621).
И здесь существование одного из этих интегралов влечет за собой существование другого. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для других поверхностных интегралов второго типа, связанных с проектированием иа другие координатные плоскости. Объединяя все зги результаты, можно написать '))Рйуй«+ Ой«йх+Яйхйу= гя = ~ ~(Р соз Х+ Я соз р+ Й соа ч) йВ. (9) сй Это — общая формула, сводящая поверхностный интеграл второго типа к поверхностному интегралу первого типа. Здесь Р, 1;1, )Т обозначают ограниченные функции, определенные в точках поверхности (8), а соз А, совр, соя ч суть направляющие косинусы нормали, направленной в соответствии с выбранной стороной поверхности. Приведем, наконец, общую формулу, сводящую поверхностный интеграл второго типа к обыкновенному двойному интегралу: ')~ Рйуй«+Ой«йх+Яйхйу= гт = +'С)Г)(РА+ ЯВ+йС)йпйи.
(10) <А> В правой части подразумевается, что в функции Р, (), Я вместо 'х, у, «подставлены их выражения через и, э. По поводу знака Аюжно повторить прежние замечания. 1О' ГЛ. ХЧП. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Все полученные результаты непосредственно распространяются н на более общий случай поверхности — замкнутой пли нет, — составленной из конечного числа простых незамкнутых гладких частей, прнмыкающих одна к другой.
637. Деталь доказательства..Обратимся к доказательству соотношения (7). Мы утверждаем, что по любому наперед заданному «)О найдется такое г)0, что, лишь тоаько диаметры всех элементов будут меньше «ь в «неправильных> элементах повсюду будет выполняться неравенство ! соз ч ( С «. Допустим противное; тогда существуют такое «,)О и такая посаедовательность «неправильных> элементов (ал) с у б ы в а ю щ и и и д о н у л я диаметрами, что в некоторой точке каждого (зл) будет ! соэ «! ) «,. (!2) Если через (Ьь) обозначить злемент области (Ь), отвечающий (зь), то я диаметры элементов (а>) также стремятся к нулю. С помощью аеммы Больцано — Ве йерштр асса (172) изцоследовательпостн((зь)) можновыделить такую частичную последовательность, элементы которой стягпваются к некоторой точке (и„о«) области (Ь); впрочем, без умзления общности можно предположить зто относительно самой последовательности ((Зл)).
Для угаа т=«„отвечающего значениям и=и„о=о, параметров и, п, необходимо должно быть соэ т« = О. (!3) Действительно, в противном случае мы имели бы для этих значений пара- метров Но тогда в окрестности точки (и„о,) можно было бы рассматривать и, и как однозначные функции от х, у н, подставив их выражения через х, у в функцию л=л(и, п), представить поверхность явным уравнением я=у(х, у)ч, Кроме того, в втой окрестности, если выбрать ее достаточно малой, сов« сохранял бй определенный знак.
Так как (Ьл) прн достаточно больших й неминуемо попали бы в эту окрестность, то им не моглн бы отвечать «неправильные> элементы (зл). Итак, равенство (13) установлено. В таком случае, прп достаточной близости (Ьл) к точке (и„п«), мы имели бы для этих областей сплошь ! с«м ч ( < «„ вопреки предположению (12). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение, связанное с неравенством (11).
Пусть теперь диаметры эаеменгов, на которые разложена поверхность (8), все будут меньше >1. Тогда для «неправильных> злементов (еслн онн вообще имеются) выполняется неравенство (11), п соответствующая им сумма «" будет по абсолютной величине меньше, чем МЗ«, если через М обоэначнть верхнюю границу для 1у 1.
Отсюда н следует (7). ° Если точка (и„п,) принадлежит контуру обаасти (Ь), то сказанное остается справедливым дая общей части упомянутой окрестности этой точкп с областью (Ь). См. Дополнение к первому тому !2621. 6В! а к поввгхностныв интвгвллы втогого типа 293 838. Выражение объема тела поверхностным мнтегралом. Объем тела выражаетСя интЕгралом, распространенным на ограничивающую вто тело поверхность, наподобие того, как плошадь плоской фигуры выражается интегралом, взятым по контуру фигуры (ббЦ.
Рассмотрим тело (У), ограниченное кусочно-гладкими поверхностями (8,) г=х,(х, у), (ая ( ~) (8я) а=у()г, у) и цилиндрической поверхностью (Юа), образующие которой параллельны оси г (рис. 96). Направляющей втой поверхности служит кусочно-гладкая замкнутая кривая (К) на плоскости ху,ограничивающая .г плоскую область (т)).
В частном слуРис. 96. чае на кривой (К) может выполняться и равенство аа(н, у)=Я(х, у); тогда поверхность (8а) вырождается в линию. Объем И тела, очевидно, равен разности интегралов (г= ~ ) Е (х, у) Ых ((у — ~ ~ г, (х, у) ((л) Ыу. (О) (О) распространенный на в не ш ню ю сторону цилиндрической поверх- ности (8,). Этот интеграл, в силу (б), равен нулю, а потому прибав- ление его не нарушает равенства. Итак, окончательно, У= ~ ~ г а(х ((у, (14) где интеграл распространен на в н е ш н ю ю сторону поверхности (8)=(8()+(8()+(8а), ограничивающей тело.
Формула (14) установлена нами лишь для цилиндрических брусов, определенным образом ориентированных. Но, очевидно, она верна для Вводя поверхностные интегралы, можно вто равенство переписать так (см. (3) н (3*)): И=~ ~ абх((у+ ~ ~ а((х((у, (аэ) (ад причем интегралы берутся по в е р х н е й стороне поверхности (8,) и по нижней стороне поверхности (8(). Прибавим к правой части интеграл Гл.
хтп. ПовеРхностные интеГРАлы При А ~ О или В ф О придем к явным же уравнениям других видов: х=й(у, л) или у=в(2, х). Рис. 97. Таким образом, точка М, может быть окружена таким параллелепипедом, который вырезает из тела (У) «призматический брус», ограниченный пятью плоскостями и куском поверхности одного из этих трех видов (рнс.
97). Применяя лемму Бореля (1761 к нашей поверхности**, мы выделим нз всей этой бесконечной системы параллелепипедов конечное их число. В результате, за выключением параллелепипедальной полосы, выделяющей «ребра»„ остальная часть ( Р1) тела (Р) разобьется на конечное число «призматических брусов» и просто параллелепипедов.
-Если бы удалось доказать справедливость формулы (14) для всех этих элементарных тел, то путем сложения легко было бы убе-' * Здесь и йиже мы имеем в виду параллелепипеды с гранями, соответственно параллельными координатным плоскостям. ««Которая, как нетрудно видеть, представляет собой замкнутое множество. гораздо более широкого класса тел, которые могут быть разложеныы на части изученного вида с помощью цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси ж Действительно, осуществив это разложение, мы можем.
применить к каждой части формулу (14) и затем слэжнть результаты. Так как интегралы, распространенные на вспомогательные цилиндрические поверхности, равны нулю, то мы вновь приходим к формуле (14). й1ы покажем сейчас, что эта формула имеет место для широкого класса наичаще встречающихся тел, именно, д л я те л, о г р а н и ч е нных произвольными кусочно-гладкими поверхнос т я м и. Пусть ('Р) — такое тело.
Прежде всего выделим все «ребра» иа его поверхности (8) с помощью конечного числа прямоугольных параллелепипедов э, и притом так, чтобы не только их общий объем был произвольно мал, но произвольно малой была бы и плошадь заключенной в них части поверхности (8), а вместе с тем и распространенный на эту часть интеграл ) ) з вхву. Возьмем теперь любую точку М,(и„п,) поверхности, не лежащую на «ребре».
Так как она не является особой, то в ней отличен от нуля хоть один из определителей А, В, С. Если С у'= О, то, как известно, в окрестности точки М, соответствующий кусок поверхности (Я) выражается явным уравнением вида я=у(х, у). ййй) % ь повегхностныв интвгвллы втогого типа диться и в ее верности для их суммы ((г)), а затем с помощью предельного перехода (связанного со сжиманием окрестностей «ребера) и для исходного тела ( г). Но для брусов первого вида, а тем более для параллелепипедов, формула уже доказана выше. Остановимся теперь для примера на «призматическом брусе» Щ второго вида, ограниченного плоскостями х=хм у=у„у=уо в=ам а=а) и поверхностью (а): х=д(у,а).
Подражая процессу, которым мы.пользовались в п' 661 для расширения условий применимости формулы для площади плоской фигуры, мы на этот раз вместо вписывания ломаной в кривую станем вписывать в поверхность (г) многогранную поверхность (а). Как мы внаем 1627), с помощью надлежащей т р и а н г у л я ц и и прямо- угольника (зг)=(У) Уб ам а))~ представляющего собой проекцию нашего тела на плоскость ух, это можно сделать так, чтобы нормали к граням поверхности (а) были яколь угодно близки по направлению к нормалям к поверхности в точках соответству)ощих ее участков. Заменив поверхность (а) многогранной поверхностью (а), мы вправе написать для измененного тела (г формулу )г = ~ ~ а ((х ()у, (а) (15) гле через (3) обозначена вся поверхность, ограничивающая много) ранник (1)).
Действительно, этот многогранник легко разлагается на части такого типа, для которого наша формула уже доказана. Остается теперь в (15) перейти к пределу (при безграничном уменьшении ребер многогранной поверхности и сближении направлений нормалей к ее граням и к данной кривой поверхности), чтобы получить (14). 1(ля доказательства сближения правых частей названных формул йредетавим их разность в виде ~ ~ 2 соа т ца — ~ ) л соз т ((зр (а) тле а обозначает интегралы по тем частям боковых поверхностей твл ())) и ()г), которыми эти поверхности разнятся. Очевидно, что и 'О. Разность же интегралов можно переписать, переходя к интеГралам первого типа, сначала в виде ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
