Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Но тогда снова получится формула обычного вида 3 = ) ~ У Вчй« вЂ” Р*««(иэ аде, 1ап лишь интеграл может оказаться несобственным. Даже в том случае, когда' поверхность (3), вообще гаадказ, имеет в отдельной точке или вдоль отдельной линии неустранимую, т. е. не зависящую от способа ее представления, особенность, мы все же будем пользо-' ваться интегралом (Зэ), если только он существует, хотя бы как несобственный, для выражения ее площади. Ясно, что при этом мы площадь 3 на деле определяем, как предел площади 3', т.
е. равенство (8), которое мы выше докззывали, здесь служит просто р а с ш и р е я и е и нашего первоначального определения. бхн. Примеры. 1) Найти площадь участка поверхности, вырезаемого: а) цилиндром х' -[-у' = гс« (х, у О) нз гиперболического параболоида л=ху; х' у« х« у' (б) цилиндром — + — = с' из эллиптического параболоида г =, — + — ; а' Ь« 2а 28' (в) цилиндром (х'+у')'=2а'ху из гиперболического пзраболоида ху= аз; г) цилиндром х'+у'=р' из сферы х«+у«+ л«=Д«(р ( гс). а) Рвшвнив. Имеем р=у, р=х, так что по формуле (5) 3= ~ ~ ]/1+ х«+у«с(х ау. «.у о х«+у«щи« гб 2 2, площадь кРиВОЙ пОзпРхности Переходя к полярным координатам, найдем 2 3 аВ Ут:[:гт = — [(1+ )~*) ' — 1).
(б) У к а з а н и з. Воспользоваться обобщенными полярными координатами. Ожвешг 8= — яаЬ [(! +Вв) Ы вЂ” 1[. 2 в 3 (в) У[:с аз л ни в. Перейти к полярным координатам. Уравнение направ. лающей цилиндра в полярных координатах будет го=а» ап22. Получим 2 В 2 8 = —. а' [(1+ мп 22) — 1) аВ. 3 Подстановка В = — + в [ — я ( 1 ( я ), 2 »Г10 Ят Ошеель 8= —,а' 3 '13 Г) Олыеяь 8=4яЯЯ вЂ” рею~ — рв). ) найти площадь частей сферы х'+у'+2'=)гв, вырезанных из нее цилиндром х'+у'=ггх (верхнего и нижнего оснований стела Вивиани», см. 597, 20), рис. 43). Рвш вниз.
Имеем для верхнего основания — х у 2 = РГР» — Х' — у', р = — —, д = —— е' л' В'1+) +4 = и, следовательно, прячем областью интегрированна служит круг, ограниченный окружностшо х'+ у'=Дх. Переходя к полярныч координатам, получим [ср, 611, б)[: 2 Ясов В 2 П сов а  — 2»[ »6 ~ =1»~ Выпоаняя интегрирование, окончательно найдем 8= 4г[»1 — — 1). 12 Так как площадь поверхности полусферы равна 2асгв, то площадь той части полусферы, которая остается по выделении <тела Виан а ни», будет равна 4)св н, следовательно, выражается через радиус г[ без привлечения каких-либо иррациональностей; ср. в связи с Втим замечание, сделанное в п' 397, 3)) по поводу формулы дла объема стела В и в н авив, гл.
хщь повевхностные интегвалы Заме чан ив. Конечно, можно было бы и не заменять интеграл по проч я я межутку — — ( 9 ( — удвоенным интегралом по промежутку 0 ~ 9 ( —, Но вычисляя сразу интеграл от — — до — нужно помнить что выра2 2' В жение внутреннего интеграла г Нсова Ямм О = [ — У~':г') = )г — )т Ь "мп' В У" )Ва — г' г О нам придется писать в одном виде: Р(1 — ми В) для 0~ 9~ —, и в другом: Я(1+ ми В) для — — (9~0 (ибо радикал всегда положителен, а синус имеет в одном случае знак плюс, а в другом знак минус).
Не приняв етого во внимание, получили бы неправильный результат. 3) Найти площадгн (а) части поверхности конуса у'+л'=х', лежащей внутри цилиндра ха+у'=Щ (б) части поверхности конуса л'=2ху(х у)0), заключенной между плоскостями х=а и у=В; (в) части той же повеохности, лежащей внутри сферы х'+у'-1-л'=а. ' тЯ'-я' хох Указания. (а) 3=83/2 ~ Фу ~ =2яЯа; а (б) 3=)Г2 т иу а 11г' — + 1 — )их= — (а+Ь) )Г2ОЬ. (в) Пересечение поверхностей лежит в плоскостял х+у=.~- а.
Дааее, 8=2У 2 ~ ~ (~/ — + ф~ — ) нхау= л, ужо л+тщо о ю — л л =4$2 ) г 7ю ~ = Вот 1 ) ( — *)ю*= ° т 2 у( 4) Доказать, что площадь 5 любой фигуры, лежащей на одной (скажем верхней) полости конуса вращения ха ( уа лз — — — =0 а с 3 яр оп о р ци о и а л ь на площади ее проекции на плоскость ху, Указанию Исходить из явного уравнения л= — Ух'+у' и восо пользоваться формулой (5), 5) Дана поверхность с=асса(п(аихайу); найти площадь ее части, со- держащейся между плоскостями х=а и х=Ь(0 -а(Ь). 263 Ф т. плопхадь ивиной поввахности Рв шенин Имеем сЬхвЬу айхсЬу р= — Ф= Ьг! — вЬ'х Ь'у' Ьг1 — вЬ'хвЬ'у' 1/ ! — Ьу ь' Область интегрирования определяется условиями а(х~Ь, !вЬх вЬу(~1, Сделвем гюдстановку вЬ х=Ь, вЬу=п; тогда для новых переменных промежутками изменения будут вЬ я ~ Ь ~ вЬ Ь, 1 1 Т Т' Таким образом, ваь ввь а вьа ! ваа 6) Найти площадь поверхности цилиндра хв+ув=)7х, заключенной внутри сферы ха+у'+ в'= ггв (боковую поверхность ввела В и в и а н и>).
Рв ш ни ив, Уравнение передней части поверхности у= ЬГ)7х — х'. Область изменения независимых переменных (х, л) ограничена осью в и параболой в = ЬгДв — 77х. Так как 1 ду 2 ду — — =О, дх у')7х — хл' да . то тт агав — йа в-в~ ~ '*'" н = 277 ф' т( 'в = = 477в. р х (Ср. 3!7, 4).) 7) Найти площвдь боковой поверхности конуса высоты с, основанием которого служит аллино с полуосями а и Ь (а ) Ь); высота проходит через центр основания. Рв шин и в.
Если начало координат взять в вершине конуса я плоскость ху провести параллеаьно основанию (рнс. 92), то уравнение поверхности будет слуг~ ) +( ), ГЛ. Хчн, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ( —;")'+(-'"-)' „„ где (Е) есть эллипс х' у' + а' Ь' и для краткости положено Уа+с' УЬ'+с' Переходя к обобщенным полярным координатам, получим 3=2аЬ ~ У а' соз'В+В'а1п'В аВ. Результат легко приводится к полному эллиптическому интегралу второго рода1 3 = 2а У Ь'+ с' Е (й), где Ь =— 8) Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой у=у(х) вокруг оси х(а(х(Ь, у(х) О). Р к ш к н и в.
Нетрудно сообразить, что уравнение поверхности вращения будет уз+ аз = [у(х)[а, а уравнение верхней половины ее л= У[ у(х))" — у'. Отсюда Р= , , Ч= у (х)у' (х) — у У [у'(х))' — у" У [ у(х)[' — у" „У ) + [.г'(х))' У) +Р'+ В'=У( ) у [у( ),, Таким образом, искомая площадь выражается интегралом 3=2 1 у(х) У +[~ ( )) дахау где область (Р) на плоскости ху ограничена линнямн х=а, х=Ь, у=у(х) н у= — Г(х). Переходя к повторному интегралу, найдем ь г х1 3 = 2 ~ у(х) У ) ~- [у' (х)[а Их У [У(х)[' — у' ' 0 2.
ПЛОЩАДЬ КРИВОЙ ПОВВРХИОСТИ и так как внутренний интеграл равен я, то получается уже известная нам формула [344, (22)]: ь 8 = 2г ] У (х) рг 1 + [У' (х)] ь бх. а Как читатель, вероятно, и сам заметил, в задачах 2) — 8) мы все время имели дело с теми особыми случаями вычисления площадей, о которых была речь в и' 628.
9) Решить задачу 2), используя параметрическое представление сферической поверхности через сферические координаты! х=)2япр соэз, у=!та(п рз!пз, г=)2 совч (0~0(я, 0~0(2г), По матрице производных гс соз р сиз )2соэтэ!П0 — )тяпа[ — тс яп 0 з!и 0 гс яп ч соз 0 0 / легко найти гауссовы коэффициенты сферы: Е=)сь, Р=О, сг=гсьэ(пьр, так что у'ГГг — Рь=гс'япф Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей в первом октанте, Для точек чкривой Вивиани>, т.
е. кривой пересечении сферы и цилиндра (в пределах первого октанта)„будет 0+0= —, 2' Действитезьно, подставляя выражения х и у через 0 и 0 в уравнение цилиндра ха+уь=)2х, получим япт=соз0, и так как для рассматриваемых точек, очевидно, 0(0 = — и 0(0=.-" —, то отсюда и следует, что 0+ 8= —, 2' Установив, на основании сказанного, пределы изменения параметров 0 и 0, получим по формуле (3*) -".— — ь 2 л-ж )Ф ~ и,б,-(Б ~ 1). (2 Как видим, мы пришли к известноиу уже результату, избежав на этот раз разрывов подинтегральной функции. 10) Рассмо~рим так нааываемую общую винтовую иоэерхиосяь [гли, 5)], которая описывается кривою х=т(и), г=ф(и), [0(и)~0] (расположенной в плоскости хг) при винтовом движении ее вокруг осн г и вдоль оси г.
Уравнения ее (если угол поворота обозначить через о) будут: х = р(и) с!но, у = 0 (и) яп о, г = ф (и) + со. По матрице производных ( т'(и) с!ми т' (и) япо ф'(и) ) — т (и)япо р'(и)созо с составляем гауссовы коэффициенты поверхности: Е= [р' (и)]'-]- [ф' (и)]', Г= с ° ф' (и), й= [0 (и)]' -]- с', 266 гл. хтп. поннэхностнын интнгэллы Таким образом, выражение ф ЕΠ— Рэ= )/[[у(и)]'+ с') ([р'(и)]'+ [ф'(и)]'1 — с' [ф'(и)]' оказывается зависящим только от и, что, вообще говоря, упрощает вычисления. 11) Воспользоваться этими результатами для определения площади части (а) обыкновенной винтовой поверхности х=исозе, у=иапо, г=ее, .
вырезанной из нее цилиндром х*+у'=и' и плоскостями г=0 и г=2яс (так что О~е(2я)! (б) винтовой поверхности х=!пис<ме, у= 1н иапо, г= йп и Г 1+ ап и + 1п1ре +е, 2 соэ' и г' соэ и отвечающей изменению параметров в прямоугольнике 0«и~ — 0(е(2я. 4 з (а) Р кшви и в. В данном случае Г' Ест — Рэ= )Ги'+А так что те а !и с' и+ )/"а'+ е'] 3= ]/ив+ее ИиЖ=2я~ — г'йт+ст+ — 1п — '[, 2 2 8 (б) Оавеа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
