Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пусть же 8 — двусторонняя поверхность. Возьмем на ней любую точку М, и нормали в этой точке припишем определенное направление. Взяв какую-либо другую точку М, поверхности, соединим Мь и М, произвольным путем (К), лежащим на поверхности и не пересекающим ее границы, и заставим точку М перейти из М, в М, по этому пути. Если при этом непрерывно изменять направление 'нормали, то точка М придет в положение М, с вполне определенным направлением нормали, не ззвисящим от выбора пути (К).
действительно, если бы, приходя в точку М, из точки Мь по двум различным путям (К4) и (Кз), мы получали в точке М, различные направления нормали, то замкнутый путь М,(К,)М,(К, ')М, приводил бы нас в точку Мь с направлением нормали, отличным от исходного, что противоречило бы определению двусторонней поверхности. Таким образом, на двусторонней поверхности выбор направления нормали в одно й точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности.
Совокупность всех точек поверхности с приписанными нормалями в них по указанному правилу направлениями и называется определенной стороной и о в е р х и о с т и. 6191 В К ДВУСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ 619. Прнмвры. 1) Простейшим и наиболее важным примером двусторонней поверхности яваяется поверхность, выражаемая явным уравнением л =з(х, у), в предположении, что функция е непрерывна в некоторой плоской области ((7) и допускает в ней непрерывные частные производные дг де р= и о= —. ох ду' В этом случае направляющие косинусы нормали к поверхности имеют выражение (234 (11)) — Р— 17 соз а =, Ожп У>.~~ -~г ' 1 Оач= — Ф 1+р +17" Выбрав перед радикалом определенный знак, мы тем самым устанавливаем во всех точках поверхности определенное направление нормали.
Так как направляющие косинусы, в силу, сделанных предположений, будут непрерывными функцнямн координат точки, то и установленное найравленне нормали будет также непрерывно зависеть от положения точки. Отсюда ясно, что ез1- бор знака перед радикалом е формулах для Пав, совр, созч определяем еморопу поверхности в том именно смысле, какой выше приписан этому понятию. Если выберем перед радикалом знак плюс, то во всех точках поверхности 1 сов ч = У 1+р'+ д будет положительным, т.
е. угол, составленный с осью л яормалью соответствующей выбранной стороне, будет острым. Такнм образом, сторона поверхности, определяемая указанным выбором знакк оказывается верхней стороной. Напротив, выбор знака минус в выражениях, направляющих косинусов нормали характеризует н н ж н ю ю сторону поверхности (нормали составляют с осью л тупые углы). 2) Рассмотрим теперь, более обще, произвольную простую н е з а и кн утую гладкую поверхность (3), заданную параметрнческими уравнениями х=х(и, о), у=у(и, о), е=е(и, о), (1) причем параметры и, о изменяются в некоторой ограннченной области (д) на плоскости ио.
Требование гладкости означает, что функция (1) непрерывны в (Ь) вместе со свопм н частными производными н что на поверхности нет особых точек. Помнмо этого (что особенно важно подчеркнуть), мы предположили поверхность простой, так что на ней нет кратных точек, н каждая точка поверхности получается лишь прн одной паре значений йараметров и„о. Если через А, В, С обозначить, как обычно, определители матрицы то, по предположению, всегдз А'+ В*+С') О, н направляющие косинусы нормали к поверхности выразятся известными формулами (2йч, (17)): пей= А В совр= .+- )ГАа+Ве+Са .+. )ГАч+Вч+Сч ' (2) соач= С '+' У' Аз+В'+С' гл.
хчя, поврэхностнын ннтвгэалы И в этом случае амбар знака леред радикалом хирикшеризуеп с ааронуу наверх но«ми,так что поверхность оказывается д в у с торонней. Действительно, раз знак выбран, формулы (2) каждой точке поверхности (так как ей отвечает одна лишь пара значений и, а1) сопоставляют одно определенное направление нормали, которое лри передвижении точки изменяется непрерывным образом. При нарушении предположения об отсутствии кратных точек уже нельзя безоговорочно утверждать, чта поверхность двусторонняя.
Тогда кратной точке М, поверхности отвечают, ло меньшей мере, да е различные пары и„о и ин о, значений параметров, й может случиться, что при этих значениях формуай (2), даже если знак перед радикалом выбран одинаково, определяют противиэ опала ж ны е направления нормали в точке М,. Если это действительна так, то поверхность наверное будет адно сторон ней. В самом деле, соепиним точки ш,(ин а,) и ш, (иь о,) на плоскости ио кРивою ш,шд тогда на поверхности (8) з соответствии с ней мы получим вам к пут ую кривую, исходящую нз М, и возвращающуюся в М,; выйдя иэ М, с одним направлением нормали, мй после обхода этой кривой вернемся в М, уже с противоположным напраааением1 3) Если гаалкаи поверхность (3) оказывается замкнутой и ограничивает некоторое тело, то наличие у нее двух сторон — в н е ш н е й и в н у т р е ни е й — ясно непосредственно.
Допустим, что эта поверхность выражается уравнениями (1). Хотя на этот раз предположение о взаимно однозначном соответствии между точками поверхности и точками области (Ь) н е о существв и и о в полной мере, но выбор знака в формулах (2) аее же олределяеш сторону новерхнос ми.
Суть дела именно в том, что случай, о котором только что была речь, здесь заведомо невозможен. 620. Ориентация поверхностей н пространства. Пусть (Л) будет н е з а м к н у т а я гладкая двусторонняя поверхность, ограннченнзя простым контуром((); выберем определенную сторонуэтой поверхности. Припишем теперь контуру(т.) определенное направление обходз в качестве положительного по следующему правилу: обход должен казаться происходящим против часовой стрелки наблюдателю, движущемуся в этом направлении по контуру так, что нормаль к поверхности, отвечающая в ыбр вин ой стороне, пронизывает его от ног к голове.
Слова «против часовой стрелкиь означают, точнее говоря, что наблюдатель должен видеть непосредственно прилегающую к нему часть поверхности с л е в а от себя. По тому же правилу одновременно устанавливается и о л о ж н т е л ь н о е направление обхода для каждого простого замкнутого контура, лежащего на поверхности н ограничивающего некоторую ее часть*. Направление обхода, обратное положительному, назовем отрицательным. В совокупности все это и составляет содержание понятия ориентации «оверхности.
Если исходить из другой стороны поверхности, то нормали изменят свое направление на обратное, изменится положение наблюдателя, в связи с чем ло нашему правилу придется переставить положительное и отрицательное направления обхода контура (т.) н * Только с этой частью и надлежит считаться ири определении положительного направления на контуре. а к двгстоьонннв поввьхностн других контуров, лежащих на поверхности: поверхность изменит свою о р и е н т а ц и ю.
Таким образом, если всегда держаться установленного правилз, выбор стороны поверхности определяет ее ориентацию и, обратно, выбор положительного направления обхода контура поверхности однозначно определяет ее сторону. В случае замкнутой гладкой поверхности (о), ограничивающей некоторое тело, речь может идти о внешней или о внутренней по отношению к этому телу стороне поверхности. Установить для любого простого замкнутого контура положительное направление обхода с помощью сформулированного выше правила на этот раз не удается. Причина этого — двоякая. Прежде всего такой контур может просто «не разделять» поверхность (как, например, в случае любых параллелей или меридианов на торе), н тогда поверхность примыкает к контуру с обеих сторон: наше правило ничего не дает.
Но если даже контур «разделяет» поверхность на две области, то он обе их «ограничивает» в равной мере, и в зависимости от того, какую из них выбрать, наше правило приводит к тому или другов: иа двух направлений на контуре, как к положительному. Ограничиваясь контурами, «рззделяюшими» поверхность, мы станем вместе с контуром указывать н область, тогда положительное направление устанавливается уже вполне однозначно ь. Этим и определяется ориентация поверхности — та или другая, в зависимости от выбранной стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
