Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Наконец, определение несобственного интеграла легко распространяется на случай неограниченной области и определенной в ней функции, которая на конечном расстоянии имеет особые точки. 3 А м е ч А н и В. Если бы при построении несобственного интеграла, кроме особых точек (или линий), мы стзли выделять н некоторые такие точки (илй линни), которые нз деле не являются особыми, то это обстоятельство никзк не могло бы отразиться нн на существовании, ни на величине того предела, которым представляется интеграл. В самом деле, пусть, например, к особым точкам добавляется неособая точка А и, сверх того, что необходимо по точному смыслу определения несобственного интеграла,— мы выделяем еще окрестность этой точки А. Но вблизи А функция ограничена, н интеграл по упомянутой окрестности, вместе с площадью ее, стремится к О.
На все перечисленные случаи несобственных интегралов переносится то, что было изложено в пп' 612 — 614. Прежде всего, и здесь справедлива замечательная теорема о том, что несобственные двойные интегралы если сходятся, то, по необходилсости, — абсолютно. Доказательство строится так же, как и в п'613. Что' касается вопроса о сведйнии двойного интеграла к повторному, то здесь также достаточно ограничиться случаем, когда, областью (Р) служит (конечный) прямоугольник [а, Ь; с, г[[. Можно доказать, ччо для неотрицательной функции У(х, у) имеет место 616) В Ь. НЕСОБСТВЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ формула (7) — в предположении существования повторного интеграла (существование двойного отсюда уже будет вытекать).
Впрочем, следует при этом уточнить еще предполагаемое расположение особых точек ч функции. Начнем со случая, когда они лежат на горизонтальной прямой (например, у=И) или, более обще, на кривой, выражаемой я в н ы и уравнением вида -у =у (х) (а ~ х ( 7>). )(ля этого случая доказательство — такое же, как в и' 614 при И=+ос. Отсюда перейдем к случаю, когда особые точки лежат еще и на некоторой вертикальной прямой (например, х=)>), рассуждая, как и выше при Ь=+оо. Если рассматриваемая функция меняет знак, то приходится еще предположить существование повторного интеграла для ьу(х, у) ~ ° Обобщение на случай нескольких кривых или прямых или на случай бесконечного прямоугольника с особенностями на конечном расстоянии — очевидно.
616. Замена переменных в несобственных интегралах. Пусть в плоскостях ху и Ет) имеем, соответственно, о г р а н и ч е н н ы е области (Р) и (Ь), связанные формулами преобразования: х=х(Е, т)), у=.у(Е> т)) (12) или обратными им: Е=Е(х, у), я = я (х, у), / (12а) с соблюдением всех условий, о которых подробно говорилось в по 603. Пусть, далее, в области (Р) задана функция у'(х, у), непрерывная всюду, за исключением конечного числа отдельных точек или даже кривых ел, где она обращается в бесконечность.
Покажем, что при этих условиях равенство $$У(х, у)с(хну= $$,У(х(Е, л), у(Е, т)))/.У(Е, т))!с)Есаул) (13) йч имеет место, если только сходится один из этих интегралов; сходимость другого отсюда уже будет вытекать. о»)Еействительно, если особые точки н особые линии первого интеграла в области (Р) выделить их окрестностями, то с о о т в е т- * В любом частичном нрямоугольянке, где нет особых точек, формула вида'(7) предполагается верной.
тч Все кривые, о которых идет речь в настоящем и, предполагаются кусочно-гладкимн. [616 224 гл, хвь двойныв ннтягиллы с т в у ю щ и м и окрестностями в области (Ь) выделятся особые точки и особые линии второго интеграла. Пусть при этом получатся область (1У) на плоскости ху и область (Ь') на плоскости ать Тогда по формуле (21) и'609 ))у(х, у)«(хну=~~~(х(1, я), у($, 4))~,у(Б, »1)~Ж«1~.
(14) 1«О Предполагая непрерывность соответствия между областями (П) и (Ь) в обе стороны», легко видеть, что при «сживании» окрестностей на плоскости ху к окруженным ими точкам или линиям такой же процесс будет происходить и с окрестностями на плоскости $~, и обратно. Отсюда ясно, что, переходя в предыдущем соотношении к пределу, из сходимости одного из интегралов мы действительно можем заключить о сходнмости другого и вместе с тем о наличии равенства (13). Можно было бы допустить даже, что в отдельных точках области (Ь) или вдоль отдельных лежащих в ней линий (не пересекающих ранее рассмотренных в этой области особых линий) обращается в бесконечность якобиан г(1, »1), а с ним и подинтегральная функция второго из интегралов.
Хотя соответствующие точки н линии на плоскости ху не являются особыми для первого интеграла, но нх выделение, по замечанию предыдущего п', не создает затруднений, так что и при новых допущениях заключение остается в силе. Заметим еще, что и в рассматриваемом случае часто приходится сталкиваться с нарушением непрерывности или взаимной однозначности соответствия в отдельных точках или вдоль отдельных линий. В подобных обстоятельствах приложимы соображения и' 606, 4» [ср. конец п' 6091. Наконец, обратимся к случаю, когда хоть одна из областей (П), (Ь) является неограниченной.
Если обе эти области простираются в бесконечность, причем точки их, находящиеся на конечном расстоянии, связаны соответствием (12) или (12а), то, отделив (соответствующими) кривыми о г р аниче нные части этих областей, ((У) и (и'), мы при соблюдении указанных выше условий будем иметь равенство (14). Так как упомянутые кривые, очевидно, могут удаляться в бесконечность лишь одновременно, то остается лишь перейти в (14) к пределу, чтобы получить (13), причем снова из сходимости одного из интегралов следует сходимость другого.
Пусть теперь, скажем, область (П) простирается в бесконечность, а область (Ь) нет, и точки области (В) связаны соответствием со всеми точками области (Ь), за исключением отдельной точки (или кривой), которая, так сказать, отвечает бесконечно удаленной части ° Мы имеем в виду непрерывности функций (12) и (12а). 6!7) б з. несовственные двойные интегвллы контура области (0). Отделив кривой ограниченную часть облзсти (О), мы соответствующей кривой в области (Ь) выделим упомянутую точку (или кривую) и тем получим области Щ и (Ь'), к которым уже приложимы прежние рассуждения, и т. д. Заметим, что замена переменных наряду с переходом к повторному интегралу является весьма удобным средством для установления существования несобственных двойных интегралов. Многочисленные примеры тому читатель найдет в следующем и".
617. Примеры. !) Установить условия сходимости интегралов (и~0)! Иклу б (' !,' Фклу (к" +у')"" ( ) 0 ~ (к'+у')"" «в+ус» ! «'+у Р з ш я я и в. В полярных координатах зти интегралы сведутся к следующим: ш 1 ! ОЭ ! (а) ~ яб ~ — тм- — 2я щ „, (б) 2я „(в) 2«, щ . !" гвг !" дг яг ! гдг з а Очевидно, условия сходимости будут: (а) и ( 1, (б) ш ) 1, (в) ж ( 1.
2) Аналогичный вопрос по отношению к интегралам (а, р, ш)0) Указания. Прибегнуть к подстановке а з к = г " соз" б, у = г В мп б б. 1 1 1 1 Ожввт. (а) — + — >м; (б) — + — <ж! (в) и<1. а р ' а Те же ответы получатся и з случае, когда изменение переменных в задачах 1), 2) ограничивается се к т о р о м между лучами В =9, и б=б,. 3) Если область (О!) изменения переменных х, у есть криволинейный треугольник АОВ (рис.
77), ограниченный отрезком АО оси к, дугой ОВ пара'болм у=л и дугой ВА окружности х'+у'=1, то иитеграа 8 Г. М. ояхтвягввыь т. Ш 1617 Гл. хч!. ЛВОйнып интвгвллы для которого начало по-прежнему служит особой точкой, все же существует (хотя не су!цествует для круга!). Действительно, при переходе к поаярным координатам интеграл преобразуется к виду в С В В откуда и вытекает сказанное. 4) Аналогично, взяв в качестве области (Р,) треугольник АОС (тот же рисунок), можно установить существование интеграла Рис. 77.
для которого особыми будут точки А и С. Так как в поляр- 1 ных координатах уравнение линии АС будет г= В . и то предло- соя 0+ В!и 3 ' женный интеграл сводится к следувнцему: ! е е В сов В в!о В з о Ь который явно существует. 5) На сравнении с интегралами, рассмотренными в 1), основан следующий лризяик сходимосюи: Если (Р) есть: (а) ограниченная область, содержащая начальную точку, или (б) простирающаяся в бесконечность область, не содержащая начальной точки, то интеграл от функции у(х,у) в (Р) сходится, коль скоро у(х, у) в (Р) может быть представлена в виде ч(х, у) г (х'+ увуя где е ограничена и, соответственно случаю, (а) ю ( 1 или (б) ю ) 1. Легко перефразировать зтот признак для случая, когда начальная точка заменена любой точкой (х„ у,).
ь 6) Проверить сходимость двойного интеграла от функции ' — х' /(х, у)= в )в распространенного на: (а) треугольник ОВС (рис. 78), (б) квадрат ОАВС, (в) бесконечную полосу гСВЕ, (г) бесконечный треугольник ЕВО, (д) бесконечный квадрат ЕВР. а Через З обозначен угол луча ОВ с полярной осью. 012! ь б. несовственные двойные ннтегвллы Оювсю. В случаях (а), (г) интеграл не сходится (тем более зто справедливо для случаев (б), (д)1)1 в случае (в) интеграл сходится, он равен —, 7) Пусть функции у(х) и л(у) абсолютно интегрируемы — первая в промежутке [а, б[, а вторая — в промежутке [с, «[ (каждый из этих промежутков может бйть как конечным, так и бесконечным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
