Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 37
Текст из файла (страница 37)
* При применении этих координат мы стаакиваемся с таким же нарушением однозначности соответствия, как и в случае полярных координат. См.606, 4'. где под г разумеется та функпия от 6, которая фигурирует в полярном уравнении кривой. Все задачи!)можно было бы решить и непосредственно по втой формуле. 3) Найти площалк фигУР ограниченных кривыми: 0 с. злмвнл пирнмннных в двойном интнгвлли Уравнение образа нашей хривой на плоскости гб будете г' = — а(п В ож 6. аЬ сй С учетом симметрии имеем — йша „в й аь й т сй й 3 дйЬй 0 2 дВ аЬг '1" = — й й)п 0 соа 0 с(В 2сй ' (б) Кривая ограничена, симметрична относительно осей; начало служит лишь изолированной ее точкой.
Имеем й й 3 ,0=4аЬ~ с10 ~ ге(г = 2аЬ~ (ай созй О+ Ьй зщйВ) й(0= и дЬ(дй+ Ьй) 2 (в) Кривая ограничена, симметрична относительно осей; начало есть единственная ее точка пересечения с осью у, но с осью х оиа пересекается еще дй в точках х= й- —. Для петли, лежащей вправо от оси у, будем иметь е а я я г= — созВ, — — (О( —, так что е — сей с а й 0 4аЬ ФО Г й(Г = — созе В с(0 = — ° —, 2а'Ь й" й я айЬ с' ~ 2 с' ' (г) Кривая ограничена, симметрична относительно оси у, лежит вверх от оси х.
Начало есть единственная точка пересечения с осями, так что кривая состоит из двух нетель, лежащих в первом и во втором координатных углах. Уравнение кривой в новых координатах: а'Ь г = —, сшй О сш В. е' я айЬй Оюссю. В= — —. 32 е' 4) Найти площадь петли кривой: (а) (х+у)'=аху, (б) (х+у)'=аху, (в) (х+у)й=ахуй. Р в ш в и н в. Вели рассматривать лишь части кривых, содержащиеся в первом координатном угле (так что х»0, у»0), то все онн оказываются озраниченными, в чем можно убедиться подобно 1) (б).
Кривые проходят через начало, йе имея других точек пересечения с осями. Отсюда ясно, что именно зги части представляют собой петли, о которых говорится в задаче. В предыдущих примерах переход от сложного уравнения кривой вдехартовых координатах к простому уравнению в криволинейных координатах р 1,„, „,, ш„ЫВйн,)-йй„„„ Л й р, р б йг (606 гл. хч!. двойиып иитпгвллы х+у тоже подсказывает мысль об нспользованнп етого же тождества: положим (только для х~О н у)01) х=гс«м«0, у=! ащ'О.
Якобван преобразованяя будет в: '!с«е«0 — 2гнпОс«мО( 2гм, О О )ып«О 2гз!пОсоз01 (а) Уравнение петли в новых координатах Г = а Ом' 0 л! и' О. Далее, в в 3 а со««О э!еэ З а а« ««$ «,«, «««$,«,= ) ы«юа«в, о а« а« (б) )7=6 . (в) с)= 12 5) Укажем теперь другой подходк выбору системы крнволннейныхкоордннат, который часто оказывается полезным прн определевнн площади к р н в олине йного четырехугольника. Еслв обе пары кривых, представляющпх противоположные стороны етого четырехугольника, входят в состав каждая — своего с е м е й с т в а к р н в ы х, заполняющпх плоскость (и вавпсящпх от одного параметра), то нменяо зтп а' д в а семейства естественно принять за сетку координатных линий.
Их параметры обычно н дают удобную для данного случая систему крпволпнейных координат. .Разъясним зтот прием на примере. Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболами у'=рх, у'=Ох, х'=ау, х'=Ьу, где 0 С р С д п 0 С а С Ь (рпс. 73). Здесь удобно рассмотреть два семейства парабол: х у'=Ех (рсЕсО) Рнс. 73. н х«=Чу (аспсЬ), каждое нз которых заполняет нашу фигуру, н пз ннх составить сетку коордннатных линий. Зторавносвльно тому,что параметры нх0п Чмыпрнпвмаемза крнволнвейвые коордннаты, Все зто уже нам знакомо по и' 579, 4); нзнапп«г — « санных уравнений имеем: х=У Еч и у=уг Е'ч, так что якобнан 1 у= —— 3' Отсюда сразу получаем 1 т« = — (д — р) (Ь вЂ” а).
3 а Здесь своза находит себе применение сказанное в 606, 4'. 6081 з и злмвнл ппввмвнных в двойном интвгпхлв 201 6).Подобным же методом предлагается определить площадь четырехугольника, ограниченного (а) гиперболами ху=р, ху=п и прямымн у=ах, у=Ьх; (б) гиперболами ху=р, ху=ф и параболамн у'=ах, у'=Ьх; в) параболамн х'=ру х =иу и прямыми у=ах, у=Ьх; г) прямыми х+у=р, х+у=и и у=их, у=Ьх. При атом во всех случаях предполагается, что 0-ср ци и 0< а с Ь, (а) Рвшвнив.
Сетка координатных линий: ху=((р~$(д), у=т)х (п(П~Ь). Отсюда 2 )/$~ 2 1 2ч' Наконец, ь 1Г .РЬ| Ь О= — т е(1 1 — = — (и — р)1п —, я а (б) У к а заняв. Положить ху=$, ут=пх(Р--Ь~~у, и(П(Ь); яко- 1 1 Ь бнан У= —. Оюеею. О= —, (и — р)!и —. =зч =8 и (в) Оюееш. О = — (о' — ра) (Ье — а'). 6 1 (Ь вЂ” и) (О' — р') (г)О . О= — + ) 7) Найти площадь астроиды ха+уз =аз. , Рвш вниз. Параметрические уравнения астропды'.
х=иом'Г, у=аз(п'Г (О~С(2я). Если заменить здесь и через г(0 г( а), то получим семейство подобных астронд, заполняющих нашу фигуру: г созе Е у г з(пе Г При постоянном Г, очевидно, зги уравнения дадут пучок лучей нз начала. Воспользуемся же зтими формулами, как формулами преобрззования; очевидно, в основе здесь лежит по существу та же идея, что и в двух предыдущих задачах. Якобнан У = Зг з(п' Г ссп' Г. Окончательно, з 5 Ои~ 1 Мпттссзтс,р 8 яиа 8 Ь 8) Рассмотрим преобразование, которое определяется формулаии и+ о х= 2 У=Уме (и О, оемО), 6081 % д Замена пеРеменных в двойном ннтегглле 998 будет отвечать иа плоскости ио прямоугольник (а,) = (и, г; р, и), и снова— отрезкам прямых и 8 ф Н О =и будут отвечать две дуги одной и той же параболы. С помощью указанного преобразования теперь, например, легко определить площадь фигуры (Р,).
Имеем Р т = — ((Уй — Ь Р) (У ' — Р'г)') — Ф= — Ч'О Н)ГЕ' — УРГ)~= 3 = — ()' й — Р'р ) ( г — Уо ) () г — Егр ) (~/ р + )~ о + )' г). Аналогично можно было бы попытаться найти н Р„но мы встретимса в этом случае с несобственным двойным интегралом, у которого подинтегральная функция обращается з оа вдоль отрезка оси и. О подобных интегралах — речь вйереди (см.
617, 8)). 9) для того чтобы площади фигур (а) и (Р), получаемых одна из другой с помощью преобразования (1), в с е г да были равны между собой, очевидно, необходимо и достаточно условие Поставим себе задачей найми общий аид ирлобраэоааиий ялосиогюи сохраняющих площадь. При этом мы можем в предыдущем условии отбросить знак абсолютной величины и написать его в виде Р(х, у) Р(Е, ч) (15) кбо к этому случаю всегда можно авести дело, обменяв в случае необходимости ролями Е н я. Кроме того, для простоты мы будем предполагать, что одна из входящих в якобиан четырех частных производных, например, отлична от нуля в о ду в с е й рассматриваемой области. Тогда можно разрешить второе из уравнений(1) относительно ч и, подставив полученное выражение в первое уравнение (1), представить рассматриваемое преобразование в виде э =У(Е «) х=х(Е,у(Е,«))=п(Е,«).
1 (16) Прежде всего, по правилу дифференцирования неявных функций получаем ду др ду ду д«' — ---=1, —,„-+ — — -=9. (18) Характеристикой функций г и я лэы и займемся. Именно, мы докажем, что условие (15) равносильно такому: ду дд дт = дЕ. Гл. хч1. дВОЙные интеггалы Затем, дифференцируя я, как сложную Функцию, находим д» дх дх ду — = — + — —. дЕ дч дЕ' Отсюда н яз второго равенства (18) исключаем —: дУ дЕ ду дя дх ду дх ду О(х,у) дч дЕ % дч дч дЕ О(Е,Е) ' Наконец, вычитая почленно первое равенство (18), придем к тождеству ду (дя ду) О(х, у) — 1, дч (дЕ ду) О(Е,Е) которое и доказывает наше утверждение. На основании теоремы 2 и 660 теперь мы видим, что общий вид Функций у и я, при которых преобразование (16) сохраняет площадь, дается формуламн дО(Е, у) дО(Е, у) У(Е у)= дЕ' а(Е у)= д у при произвольной функции ЕЕ 609.
Замена переменных в двойных интегралах. Рассмотрим двойной интеграл ~~У(х, у)1(хпу, (19) <о> где область (О) ограничена кусочно-гладким контуром (Я, а функция У(х,у) непрерывна з этой области или, самое большее, допускает разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких кривых (сохраняя и в этом случае ограниченность). Предположим теперь, что область (О) связана формулами (1): х=х(Е, 8), у=у(Е,4 с некоторой областью (Ь) на плоскости Еть с соблюдением всех условий, при которых мы выводили в п~ 605 формулу (11), выражающую площадь фигуры (О) в криволинейных координатах э. Поставим себе целью, заменяя переменные в интеграле (19), представить его в виде интеграла, распространенного на область (Ь).
11ля этого разобьем область (Ь) с помощью некоторой сетки кусочно-гладких кривых на части (51) (1 = 1, 2,..., и); тогда область (О) соответствующими (тоже кусочно-гладкими) кривыми разобьется на части (О,) (рис 75, а, 5). В каждой части (Р,) выберем произвольно по точке (х1.у,); наконец, составим интегральную сумму для интеграла (19): о= у,'У(хь у,) 01, ~1 л Мы предполагаем, таким образом, также существование и непрерывности длу д'у смешанных производныхвторого порядка — и —. Ср. сноску на стр.
189. дЕ 61) д11 дЕ' 6091 а с заманя пзгвменныя в двойном интвгвалв Мб которая имеет этот интеграл своим пределом при стремлении наибольшего из диаметров областей (Р,) к нуляь Применив к каждой части (Р,) формулу (12) п' 666, будем иметь Р;=~1((а, тьа)~ Ьг (1=1, 2,..., л). где (К та*) есть некоторая определенная точка области (Ь;). Заменяя в сумме а каждое Р; этим выражением„получим а=~~' У(хну,) ~,У(1,4)!Ье В то время как точка (11, т17) дается теоремой о среднем и в ее выборе мы не вольны, точка (хп у,) берется в области (Р,) Рис. 75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
