Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Огееп)*. формулы пч 551, выражающие площадь криволинейными интегралзми, легко получаются отсюда, как частные случаи. Например, поь Ивогда ее связывают с именами Гаусса или Римана. левой ориентации (лишь положительное направление обхода контура станет иным). Выведенная формула справедлива и для областей более сложного вида, чем рассмотренная: достаточно предположить, что область (О) разлагается прямыми, параллельными оси у, на к о н е ч н о е число криволинейных трапеций указанного вида. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого, ибо оио проводится совершенно так же, как и в и' 551 при обобшении формулы, выражающей плошадь криволинейным интегралом.
Аналогично устанавливается и формула 177 % а. ФОРМУЛА ГРИНА лагая Р = — у, (,) = () и воспользовавшись очевидным равенством ~(тхс(У=Е), придем к формуле (7) и' 551, во) Кзк и в п' 551, здесь можно придать условиям, при которых справедлива формула (3), более обозримую форму.
Именно, можно токазат(ь что формула Грина имеет место для любой области (Е)), ограниченной одним или-несколькими кусочно-гладкими кон- турами. Пусть (Е) будет общий контур нашей области. Повторяя рас- суждения п' 551, впишем в (Е) ломаную (Л) (нмеющую две наперед фиксированные вершины) и рассмотрим ограниченную ею много- угольную область (Ь). Предположим, для простоты, что функции Р и Я определены, непрерывны и имеют непрерывные же производдр д(с .ные — — и впе области (Е)), скажем, в некотором — содержаду ' дх щем (Р) внутри себя — прямоугольнике Я)*. Можно считать, что и (Л) содержится в ()т). Так как многоугольная область, оче- видно, может быть разложена на трапеции как одного, так и дру- гого типа, то к ней формула Г р и н а приложимз: ~ Р (х, у) йх + (;) (х, у) йу = ~ ~ ~ — — — ) (Ех ((у, (4) (л) (л) Когда длина наибольшей из сторон ломаной Л стремится к нулю, леван часть равенства (4) стремится к левой части равенства (3), в силу леммы и' 550 (и замечания к ней).
С другой стороны, как мы видели в п' 551, ломаную (Л) можно выбрать так, чтобы она лежала в н е многоугольной области (А) и в н у т р н многоугольной области (гл), соответственно входяп(ей и выходящей по отношению к (Е)), площади которых разнятся произвольно мало: Можно считать, что (А) и (В) содержатся в упомянутом раньше прямоугольнике (1().
Имеем, полагая для краткости — — — =у: д(г др дх ду ! ц'"'-))'" -~ )) "'- )) "'~« (т)) гл) ~ (т)~ — (А) (л) — (А) /~~йхйу+ $ ~ /У!йх((у~2 $ ~ ~У~((хйу '2Мс, (О) — (А) (л) — (А) (В) — (А) е На деле для верности формулы зго предположение несущественно, 178 гл. хчь двойныв ннтвгвллы [601 где М есть наибольшее значение 1У1 в (1?). Отсюда ясно, что и правая часть равенства (4) при упомянутом предельном переходе стремится к правой части формулы (3). Таким образом, справедливость этой формулы установлена. (дО дР) Ф (6) Для того чтобы подобный интеграл всегда был равен нулю, очевидно, д о с т а т о ч н о предположить, что дР дО ду дх ' (А) Необходимость же условия (А) может быть установлена проще всего, если, предположив интеграл (6) равным нулю, прибегнуть к дифференцированию по области [693]: подинтегральная функция, как «производная» от интеграла (6), и сама тождественно обращается в нуль.
Таким образом, с учетом леммы и' 661, мы получили новое доказательство того, что условие (А) необходимо и достаточно для обращения в нуль интегралов вида (б), взятых по любому замкнутому контуру, если только основная область О односвязна [661, теорема 61. В силу теоремы 4 и' 661 при том же предположении относительно области условие (А) оказывается также необходимым и достаточным для лгого, чтобы криволинейный интеграл Рйх+Яйу 1 в1 » Обращаем внимание читателя ва то, как здесь использована одн освязность области (О). 601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов.
Рассмотрим одно связную [669[ открытую область (О) и предположим, что в ней заданы функции Р и Я, непрерывные вместе со своими производными Ту-н —, Поставим вновь дР дО Зу дх ' [66Ц вопрос: какому условию должны удовлетворять функции Р и Я, чтобы обращался в нуль криволинейный интеграл Рйх+ (гйу, 11 взятый по любому простому замкнутому контуру (Е), лежащему целиком в (О)? Так как мы предположили основную область (О) односвязной, то область (0), ограниченная извне контуром (Е), сама также принадлежит (О), так что мы можем применить к ней формулу Грина«е; тогда криволинейный интеграл (5) заменится двойным интегралом ГУ9 $8. ФОРМУЛА ГРИНА ио.иривой (АВ), соединяющей точки А и В, не вал!!сел от формы пути интегрирования [660, теорема 3].
Формула Г р и н а позволила установить это непосредственно, минуя все рассмотрения, связанные с интегрированием точных дифференциалов. При этом по новому освещена и роль предположения об оды освязнос ти основной области. Теперь, наоборот, отсюда с помощью рзссмотрений п' 666 может быть вновь установлена достаточность условия (А) (необходимость его ясна непосредственно!) для интегрируемости выражения Рйх-(-()с(у (теорема 2, п' 660).
6(гл. Примеры и дополнения. 1) Проверить формулу Грина на функ- циях х х (а) Р= — + „О=, (б) Р= —,-, О= —, х*+у»' х'+у' в круге радиуса 1 с центром з начале координат. д~? дР Указания. В обоих случаях — — — =О,такчтодвойной интеграл дх ду обращается в нуль. Криволинейный же интеграл, взятый по окружности х=созс, у=лют (0(С(2я), лишь з случае (б) равен нулю, а з случае (а) равен 2ж Дело в том, что формула Грина выведена в предположении не п ре- р ы в н о с т и рассматриваемых функций и их производных, а здесь — в обоик случаях — зто условие в начале координат нарушается.
В случае (а) форму- ла Грина оказалась на деле неприложимой; любопытно, что в случае (б), несмотря на указанное обстоятельство, она зсе же верна [ср. 565, 13)]. 2) Преобразовать формулу Грина к виду и ~]( — » — ) -1» — ч * ) дР дО) [дх ду! о) ! ) либо же (б) $ $ (др+ ф) ! у= $ [Р. (, )+ Е (, И д !О) !А) (где» означает направление вне аней нормали). У к А з а н и к, Заменить Р на — О, а О на Р; использовать формулу (!5) п' 553 для преобразования криволинейного интеграла второго типа з криволи- нейный интеграл первого типа. Обратить внимание на направление нормали! 3) С помощью формулы Грина доказать формулы: (» )] )в»»»-' — » Г ди д» .О) 1) (б) ~ ~ ойидхду= — ~ ~ ( — — + — — ) дхду+ о.»сч- да, (о) (т 6) м ]~ м.— »ч»»»=)( — ° — )» ди дв) д» д) !и ) 180 [602 гл.
хщ. двойные интегвллы если положить д»У д»У дУ ду дХ . де= + — — = — — соа(х, ч) + — яп(х, ч). дх' ду" ' д» дх ' ду Указания. (6) получается нз 2) (6), если положихь там Р=о— ди ди С>=о —; (а) есть частный случай (б) при о=1; переменив в (6) роли и, о ду ' и вычитая результат нз (б), получим (в), 4) функция и, непрерывная вместе со своими производными и удовлетво- ряющая в рассматриваемой обласхи (сс) уравнению Да =О, называется г а р- и о ни ч е ской в втой области.
В предположении, что фчнкцня и в области (сс) имеет непрерывные про. ди дсс д'и д и изводные — — — — доказать следующее утверждение: для псого дх' ду ' дх' ' ду' ' чтобы функция и = и(х, у) была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы, какол бы ки был простой замкнутый контур (с.), выполнялось условие — ста = О, ди д» ( с У к л з а н и в. Воспользоваться формулой 3) (а). 5) Если функция и= и(х у) — гармоническая з замкнутой области (1)) то ее значения внутри области однозначно определяютея ее зничениями на контуре (Е).
Иными словами, если да е гармонические в области (с)) функции а„п, имеют на контуре (Е) области одни и те же значения, то они тождественны во всей обаасти. Вводя в рассмотрение разность и = и, — и„ сведем вопрос к доказательству того, что гармоническая а области (ес) функция, обращающаяся е нуль ка контуре (Е) области, пюждеетеенно равна нулю ао всей области. Положим в формуле 3) (б) о=и. Учитывая наложенные на и условии, получим ~ ~ ~( — ) +~ — ) ~дхс(у=О. <ос Отсюда следует, чхо во всей обласхи (е)) ди ди — = — =О дх ду значит, и сводится к постоянной и, обращаясь в О на (Е), равна О повсюду, что и требовалось доказать.
6) Пусть и есть гармоническая функция в области (сс), (х„ у,) — какая- либо внутренняя точка втой области и (Кн) †окружнос радиуса лс с цент- ром в точке (х„ у,) ь. Тогда имеет место важная формула; 1 и(хь, уь) = — ~ и(х, у) дз, '[Й„,) так что значение гармонической функции в центре равно середкемуч ее значению на окружности. Докажем зто. ь Радиус е( предполагается настолько малым, чтобы окружносхь (Ксе) целиком лежала в области (П). $ 3.
ФОРМУЛА ГРИНА Положим о =1п г, где г= гг(х — х,)'+(у — у,)'; нетрудно проверить, что о является гармонической функцией в области, полученной из плоскости исключением точки (х„ у,). В этой же точке функция обращается в бесконечность. Окружив точку (хь, уч) окружностью Фр радиуса з(р ( )7), применим к области (77), содержащейся между окружностями (Кй) и (й ), формулу 3) (б); контур (Е) составляется из (Кн) и (йр) вместе. Так как в этой области обе функции и, о — гармонические, то слева имеем нуль.
Справа уничтожается интеграл о — бз, () ибо, например, на окружности (Кя) и = 1п 77 = сопэ1., а (ввиду 4)1 — ба=О. ди (ня) С другой стороны имеем до б1п) 1 — — = — на (К ) д» бг ~г я )С до б!п г) 1 — — = — — на (й) так что окончательно получаем: При достаточно малом р функция и на окружности (йг) сколь угодно мало отличается от значения и(х„у,) в центре, так что прн ь-О левая часть имеет предел 2п ° и(х„ у,). Переходи к пределу, установим требуемое равенство. 7) Из результата, доказанного в 6), вытекает интересное следствие: если функция и(х, у) непрерывна з замкнутой области (7)), ограниченной контуром (ь), и является гармонической внутри этой области, то своего наибольшего (наименьшего) значения функция не может достигать зну три области, за исключением случая, когда она сводится к постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
