Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Оба интеграла разложить по степеннм Ь; для интеврала справа это разложение нам уже встречалось [440, 13)]. 9) Доказать, что если функции у(х) интегрнруема в промежутке [а, Ь[, а функция н(у) интегрируема в промежутке [с, а[, то функция у(х) л(у) от двух переменных будет интегрируема в прямоугольнике (Р)=[а, Ь; с, с([, У казан и к Вопрос можно свести к интегрируемости в (Р) порознь функций у(х) н и(у), рассматриваемых как функции от двух перемени ых*. Для того же, чтобы установить это, удобно воспользоваться облегченным критерием интегрируемости, указанным в конце и' 591. Заметим, что при этом а ь $ г(х) д(у) гКх Лу = $ ьгу [ ] У (х) и (у) ах~ = Р( с а а ь ь а = [ и (у) [ [ У(х) ах [ Лу = ~ У(х) Ых ° [ и (у) (ту, с а а с так что двойной интеграл приводится здесь к произведению двух простых интегралов.
Иной раз, наоборот, оказывается полезным представить произведение двух простых интегралов в виде двойного ннтегргла. Ниже мы приводим некоторые примеры применения этой идеи. 10) Доказать неравенство: ь ь у(х) Фх ° — )(Ь вЂ” а)', Фх т у(х) где у (х) — положительная непрерывная функция. Без умаления общности можно предположить, что а(Ь. Так как инте- грал не зависит от о б о з н а ч е н и я переменной интегрирования, и можно в любом из интегралов букву х заменить буквой у, то левая часть нера- венства перепишется так: =11~ — '))"-"=1 1у — "х) "." (ГЧ (р(" ' где (Р) =[а, Ь; а, Ь].
Отсюда 1 $ $ ~У(х)+ХО)~И~, ~ $уз(х)+у'(у) (р( (Р, В силу очевидного неравенства 2АВ ( А'+ В' подинтегральная функция гь 1, так что [см. 992, У'] г')(Ь вЂ” а)', что и требовалось доказать. 11) 1(ералснсглло Вуня кол с кого. Мы уже имели дело с этим нера- венством [321]. В виде упражнения дадим новый вывод его для случая функ- ций у(х) и н(х), интегрируемых в [а, Ь] в собственном смысле. Рассмотрим интеграл В= ~ ~ [у(х)н(у) — у(у)н(х)]сс(хс(у, (р( ь Если теорему п 299, В распространить на функции от двух переменных. гд. кть дно[[цыц мнткгвяды где (Р) есть квадрат [и, Ь; и, Ь[.
Раскрывав скобки, имеем [см. 9)[ з ь а а В= ~у', (х) Фх ° ~ уа(у) с(у — 2 ~у(х) д(х) дх ° ~у(у) а(у) Иу+ Ф в О О з а + ~ Уа (у) Фу ° ~ д' (х) г(х илн, наконец, снова пользуясь независимостью ннтеграла от обозначе- н и я везависймой переменной: В=2ЦУ*(х)нх.(а (х)б — [~У(х)а(х) Я. Так как в интеграле В подинтегральное выражение неотрнцательно-, то н В ) О, откуда и следует требуемое неравенство ь ь [~У(х)Ь(х) Нх1 ~~у'(х)бх ~у*(х)Фх. Вам кчлнив. Из него, в частности, вытекает н неравенство нрелыду1 щего упражнения [если'У заменить на у'у, а я на =1. УУ) 12) Неравенство Чебышева, Сходными рассуждениями доказывается неравенство а а а а ~ р (х) у(х) Фх ° ) р (х) и (х) ох ( ~ р (х) Вх ° ) р (х) К(х) л (х) ях, которое принадлежит П.
Л. Чебышеву. Здесь р(х) есть поло жите льная интегрируемая функция, ау(х) н н(х) — монотонно возрастающ и е функции. Пусть а ( Ь. Рассмотрим разность а = ~ р (х) у(х) д (х) Нх ~ р (х) ох — ~ р (х) у(х) Фх ° [ р (х) а (х) Их. Заменяя во вторых множителях обоих членов букву х на у, представим зту разность д в внде аз д = ~ ~ р (х) р (у) у(х) [д (х) — н(у)[ ях Иу. Обменяем теперь ролями х н у: аз ~ь= [ [ р(х) р(у)у(у) [д(у) — д(х)[ с(х ну.
147 $2. Вычисление ЛВОйного интегэала Наконец, если взять полусумму обоих выражений, получим ь ь й = — 1 ~ р (х) Р (у)(Р(х) — у(у)) (и(х) — л (Р)] дх дт. 1 Г а а Так как обе функции у и л монотонно возрастают, то обе квадратные скобки одно г о зн а к а, т. е. подннтегральное выражейие всегда неотряцательно, а тогда и й~б, чем и доказано требуемое неравенство. Легко видеть, что оно остается в силе н в том случае, когда.обе функции у и и убывают. В случае, когда одна из них убывает, а другая возрастает, неравенство меняет смысл. 13) Пусть функция У(х, у) непрерывна в прямоугольнике (Р) = = (а, Ь; с, д), Обозначая через (х, у) произвольную точку в этом прямоугольнике, рассмотрим функцию, выраженную двойным интегралом: к у Р(х, у) = ) ~ у (и, о) до ди.
ас Если представить его в виде повторного интеграла: к у Р (х, у) = ) ди ) у(и, о) до, а с то, дифференцируя сначала по х, затем по у, последовательно получим а д— — — да у(х, о) о, — =у(х, »). дР дтР г Мы пришли к аналогу теоремы о дифференцировании простого интеграла по переменному верхнему пределу. Точно также установим, что и даР дуди =У(х~ У). 14) Пусть у(х, у) интегрнруема в прямоугольнике (Р) = [и, Ь; с, д). Если для этой функции (которую на этот раз мы не предполагаем обязательно непрерывной) существует «первообразнаяк функция Ф(х, у), в том смысле, что дэФ (х, у) У(х.
у) то ~ у(х, у) а'х ду=Ф(Ь, а') — Ф (Ь, с) — Ф (а, д)+Ф(и, с). гч Это — аналог формулы, выражающей обыкновенный определенный интеграл через первообразную. у а Следует учесть, что подинтегральная функция ) у(и, о) до для внешс него интеграла есть непрерывная функция от и (50б). 148 гл. хч!. двойный интпгвллы Наметим доказательство. Разложим прямоугольннк (а, Ь; е, !у], как н в и' 594, на частичные прямоугольники [хь х!+,, уа, уа„,] (!=О, 1, ..., и — 1; Ь=О, 1, ..., и — 1). Дважды применяя к выражению Ф(х! ь уа,) — Ф(хгл„уа) — Ф(хг, ул,)+Ф(х!, уа) формулу конечных приращений*, представим его в анде Ф" (Е!а йга) ах!бул=У(Е!а тна)бх!Ьул где х; =Е!л~хц„ул(Л!л~уа~!.
Суммируя по ! н Ь, получим ~' У(Е!л, йса) ах!дул — — Ф(ь, о) — Ф (ь, с) — Ф (а, л)+ Ф(а, е), г,л Наконец, перейдем к пределу. Как видим, схема рассуждений — та же, что н прн доказательстве основной формулы интегрального исчисления, выражающей простой определенный интеграл через первообразную (310]. В заключение приведем два поучительных примера, устанавливающих взаимную нева в н с н м ость условий теоремы и' 594. 15) Если х — рацнональное число, то, представив его в виде несократнмой дроби с положительным знаменателем, будем обозначать последний через д„.
Определим в квадрате (Р) = (О, 1; О, Ц функцию у(х, у), положив: 1 ! у(х, у) = — + —, если х н у оба рациональны, чл чу У(х, у)=0 — в прочих случаях. Функция будет разрывна во всех точках квадрата, нмеющнх рацнональные координаты, а в остальных — непрерывна. Так как, каково бы ня было е ) О, лишь в к о н е ч н о м числе точек может быть у~ и то условие ннтегрнруемостн, установленное в и' 589, выполняется, н д в о й н о й интеграл ~ '!у(х, у) !ГР 08 существует; он равен О. Прн иррациональном значении у функция у(х, у) обращается в 0 двя всех х, так что н ! у(х, у) !гх=О.
Если же у рационально, то у(х, у) =0 для иррациональных значеннй х, а для 1 ! рацнональных х нмеем:у(х,у)= — + —. Эта функция от переменной х в Чл Чу 1 любом промежутке ее изменения имеет колебанне) —, следовательно, для Оу нее по х не существует интеграла. Значит, не может быть речи н о повторном интеграле ! ! !Гу ~ Г'(х, у) лх. * Ср. преобразование выражения 97 прн доказательстве теоремы о перестановке двух днфференцнрованнй в и'150. 696! 149 а т. вычисления двойного интягеала Аналогично устанавливается, что не существует н интеграл ! ! ~ «х~у(х, у) «у.
16) Положим теперь |(х,у) = 1 во всех точках квадрата, дая которых обе координаты х,у рациональны н притом о,=ею и У(х, у) =0 в прочих точках. Так как в любой ч асти квадрата колебание функции У равно 1, то двойной интеграл ) [,У(х, у) «Р Оэ! на этот раз ке существует, В то же время при постоянном у функция у(х, у) либо тождественяо равна О .(если у иррацнонааьно), либо может быть отлйчна от 0 лишь для к оне ч ного числа значений х (если у рационально).
В обоих случаях ~ у'(х, у) «х = О, 'значит, существует н повторный интеграл ! 1 ~ «у ~У(х, т) «х=о. Точно так же существует н интеграл ! 1 ~ «х ~ у(х, у) «у = О. [Ср. 5Ж) 696. Приведение двойного иитегрили к повторному в случае криволинейной области. Рассмотрим область (Р), ограниченную снизу и сверху двумя непрерыв- ными кривыми: р л' У вЂ” Уа(х)~ У У(х) (а(х(Ь), а с боков — двумя ординатами: х=а и х=Ь (рис. 39). Тогда аналогично теореме и' 694 имеет место следующая тдорема. Если для фуннцигг у'(х, у), определенной в области (Р), существует двойной.
инте- ) )у(х, у)«Р Рис. 39. !т и — при налсдолс ностонннолс лначеющ х из [а, Ь) — простой интеграл У!х! т(х)= ),г(х, у)«у, уе !л) гл. хт!. двойные ннтвгаллы то суи(ествует также повторный интеграл Ь ГГ«! ~ ()х ~ у(х, у)()у л ус !«! и выполняется равенство !'(ю ~ ') ~(х, у) 6Р = ) ()х ~ ) (х, у) (ьу. л тс(«! Показательство строится на сведении этого случая к рассмотренному в и' 594.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
