Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Есть, однако, олин момент, на котором нам хотелось бы задержать внимание читателя. В линейном случае каждая новая точка деления отчетливо разлагает один из старых промежутков на два; общей частью двух промежутков является тоже промежуток. В плоском случае положение усложняется тем, что две кривые могут пересекаться между собой во многих точках (и даже в бесконечном множестве точек). Поэтому связная частичная область может новой 128 гл. хш. двойные ннтигвллы 1590 1„=зпр [в[, 1а=!п1 Я, причем оказывается, что в -1о =1о =8. Наконец, путем буквального воспроизведения доказательства для линейного случая [297] и здесь получается Теорема.
Для существования двойного интеграла необходилсо и достаточно, чтобы было 11 ш (8 — в) = 0 л-о или в других обозначениях Иш ~', ол;Р;=О, л о; (6) где ол; есть колебание М; — т, функции г(х, у) в частичной области (Р ). 690. Классы интегрируемых функций. С помощью установленного выше признака интегрируемости легко доказать: !.
Всякая непрерывная в области (Р) амуниция г'(х, у) интегрируелса. Действительно, если функция г непрерывна в (замкнутой) области (Р), то по свойству равномерной непрерывности каждому о)0 отвечает такое о)0, что в любой части области (Р) с диаметром, меньшим чем д, колебание функции будет меньше чем о. Пусть теперь область (Р) разложена на части (Рл), диаметры которых все меньше д.
Тогда все колебания ол;(о, и ~~~ ол;Р;(о ~ Р; =оР, л откуда и следует выполнение условия (6). Этим интегрируемость функции доказана. Зьмичь низ. Теперь легко уже придать полную строгость выводу формулы (2*) для объема цилиндрического бруса. Это делается совершенно так же, как и при выводе интегральной формулы для плошади криволинейной трапеции [329[ — с привлечением входящих и выходящих тел, объемы которых выражаются суммами Дар бу, кривой рассекаться и на н е с в я з н ы е части; точно так же и общей частью двух с в я з н ы х областей может оказаться н е с в я з н а я область. Вот почему мы с самого начала не исключали из рассмотрения разложения основной области на несвязные части! Далее устанавливаются понятия нияснего и верхнего интегралов Дарбу: 'ИЩ а !.
опввдвлвиив и свойства двойного интвгььль !29 ь(ля того чтобы несколько расширить класс функций, для которых устзиовлеиа иитегрируемосттч мы будем иуждаться еьследуювгей лемме. Лемма. Пусть в области (Р) задана некоторая кривая (Е), имеющая площадь О. Тогда каждому е)О отвечает такое 3)О, что, лишь только область (Р) разложена на части с диаметрами, меньшими 3, сумма площадей тех из них, которые имеют с (Е) общие точки, будет меньше е. По предположению, кривую (Е) можно погрузить в многоугольную область (Я) с площадью, меньшей чем е. Сделать это можно так, чтобы кривая (Е) и контур (К) упомяиутой области ие имели общих' точек.
Тогда расстояние * между переменными точками у обеих кривых достигает своего наименьшего значения 3) О. Ы Разложим теперь область (Р) по произволу иа час- Я1 ти так, чтобы диаметры их были«3. Те из них, кото- бя/ рые задевают кривую (Е), необходимо целиком будут лежать в области (!г), следовательно, об- ри«. 37. Шая их площадь меньше е.
П. Если ограниченная функция З"(х, у) имеет разрывы разве лишь на конечном числе кривых с площадью О, то она интегрируема. Зададимся ироизвольиым числом а) О. По предположеиию„все «лииии разрыва» функции У(х, у) можно заключить внутрь многоугольной области (Я) с общей цлощздью ( е. На рис. 37 эта область покрыта штриховкой. Границей ее служит коиечиое число ломаиых (Е), которые, очевидно, сами имеют илошздь О. В замкнутой области, получающейся из (Р) выделением внутреииости области (Я), функция З (х, у) сплошь непрерывна, значит и равномерно непрерывна.
Следовательно, по заданному в найдется такое число 3,) О, что во всякой чзсти втой области, диаметр которой меньше 3,, колебание функции з (х, у) будет (е. Теперь, в силу леммы, можно найти и такое 3е)О, что всякий раз, как область (Р) произвольными кривыми разлагается иа части с диаметрами, меньшими чем дч, сумма ллощадей тех из иих, которые задевают совокупность ломаных (Е) — границу выделенной многоугольной области (Я), — наверное будет <" х. * См. 336, сноска. б Г, М. Фихтенгольц.
т, !ц 130 гл. хть двойныв ннтвгралы Пусть й будет наименьшее из двух чисел йв оч. Разложим область . (Р) на части (Р,), (Рв), ..., (Р„), диаметры которых меньше 3, в рассмотрим соответствующую сумму ..~~~ асРн Разобьем ее на две суммы: ~ ар Рр + ~~~~ а; Ргч р предполагая, что значок 1' отвечает таким областям (Рр), которые целиком лежат в н е выделенной области (Я), а значок с'" — всем прочим.
Оценим каждую из этих сумм в отдельности. Так как все (Рр) лежат в области, полученной из (Р) выделением (9), и диаметры их (й(йь то все ар(в, так что '5',арРр(в '~~', Рр(вР. С другой стороны, если через Я обозначить колебание функции ~(х, у) во всей области (Р), то будем иметь (так как а,(Я) Здесь 2, 'Р; ° есть сумма площадей тех из областей (Р;), которые 1) либо целиком лежат в выключенной области Я), 2) либо задевают границу (Е) этой области. Общая плошадь первых меньше в, ибо Я(в; то же можно сказать и об обшей плошади вторых, поскольку область разложена на части с диаметрами, меньшими чем й(йв. Итак,,"„Рр (2в, так что ~ч» а, Рс (2Яв.
Окончательно, при ).(в, оказывается: Так как правая часть этого неравенства произвольно мала вместе с в, то выполняется условие (6) и т. д. 591. Нижний н верхний интегралы, нак иределы. В двумерном случае также имеет место 1саорама Дарбу. Для любой ограниченной в (Р) функции У(х, у) выполняюнгся предельные равенства /в= 1!т а, )в=1иа3 ь а ь»а (ср. ЗОЦ. в е опведеление н свойства двойного ннтегтала )з1 Мы наметан доказательство,(например, для верхних сумм), так как оио и одном пункте существенно разнится от рассуждения, приведенного для вииейного случая. Нак и там, по заданному е )О, сначала разложим с помощью сетки кривых область (Р) на части так, чтобы для соответствующей суммы 3' было Упомянутая только что сетка кривых в обозначим их в совокупности через Е) †име площадь О. Тогда, по лемме предыдущего и', найдется такое ) О, что, как бы область (Р) ни разложить на части (Р ) с диаметрами ~а, сумма площадей тех из них, которые задевают хоть одну из кривых (у), будет .С вЂ” ' где й †полн колебание функции у в области (Р).
2О ' Обозначим через $ сумму, отвечающую и р о и з в о л ь н о м у такому разложению, и сравним ее с суммой о", которая получится, если иы к имеющимся налицо кривым делениям присоединим целиком всю сетку (Ц, По 1-му свойству сумм Д ар 6 у (ЕОЩ, Я" ~ Я', так что и подавно 8" ~ )е+ —. 2' Разнятся же суммы 3 и 3" лишь теми слагаемыми, ко~орые отвечают частям (Р,), рассекаемым кривыми (й).
Так как сумма площадей этих е частей ~ — то легко сообразить, что 2Я ' 8 — 3" (Я °вЂ” 2Я 2' Окончательно, )в~я<)ч+е, что и завершает доказательство. Теперь критерий существования интеграла приводится к равенству 1 — уе С его помощью, как и в линейном случае, устанавливается, что для интегрируемости функции достаточно выполнения при любом е ) О неравенства 5 — з < е хотя бы для одной пары сумм Дарбу. 692.
Свойства интегрируемых функций н двойных интегралов. 1'. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в (Р) функции г (х, у) вдоль какой-либо кривой (С) с площадью О (с тем лишь условием, чтобы и измененная функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема з (Р), и ее интеграл равен интегралу от У(х, у). Для доказательства нужно составить интегральные суммы для измененной и исходной функций. Они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям (Р,), задевающим кривую (Е). Но, по лемме п' Б90, общая площадь этих областей стре.
мится к нулю при Х-ьО, откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу. бе гл. хчь двойныв ннтвггллы (592 Таким образом„существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подинтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с площадью О. 2. Если область (Р), в которой задана функция,) (х, у), кривои (Е) (с площадью 0) разложена на две области (Р') и (Р'), то из интегрируемости функции У(х, у) во всей области (Р) следует ее интегрируемость в частичных областях (Р') и (Р'), и обратно — из интегрируемости функции в обеих областях (Р') и (Р ) вытекает интегрлруемость в области (Р). При атом '))Г(х, у)аР=ЦГ(х, у)ИР+))у(х, у)йР. (и) (Р') (Р") Разложим области (Р') и (Р') произвольным образом на части; тем самым и (Р) разложится на части: (Р,), (Ра), ..., (Р„).
Если значком Р отметить части, содержащиеся в (Р'), а значком г— части, содержащиеся в (Р ), то ~~ м(Р(= )~~ меР) + ~~~ чч Р; . Пусть функция У(х, у) интегрируема в (Р), так что при Л-ь-О стремится к нулю сумма слева; тогда каждая из сумм справа и подавно стремится к нулю, так что наша функция интегрируема также в (Р') и (Р'). Обратно, если имеет место последнее обстоятельство, так что при Л-ь О стремятся к нулю обе суммы справа, то и сумма слева также стремится к нулю. Однако нужно помнить, что она построена не для произвольного разбиения области (Р) на части: ведь мы исходили из разложения порознь областей (Р') и (Р").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
