Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так как при стремлении к 0 всех йт! обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует [336], что наша фигура квклрируема и пло- щадью ее служит действительно интеграл (20). П2 гл. хч. кгиволинейные ннтеггллы. ннтегглл стнлтьесл [б82 682. Теорема о среднем, оценки. 1'. Пусть в промежутке [а, Ь[ функция У(х) ограничена: «т«У(х)(М, а Ь"(х) монотонно возрастает. Если существует интеграл С ти лт ьее а 1 от 1(х) по п(х), то имеет место формула 1=~а>$1(х)а(у(х)=р[й(Ь) — д(а)], где т =р~М.
(22) а Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьес а. Лля доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовой суммы а; «т [лт(Ь) — л (а)[ ( а ( М [а(Ь) — а(а)[. Переходя к пределу, получим т [й (Ь) — д(а)) ~ 1 — М [и (Ь) — л.(а)[ или ь 1 т- К(Ь) К(.) -М (2 3) Обозначая написанное отношение через р, придем к (22). Если функция у (х) в промежутке [а, Ь[ непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что р есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (22) приобретает вид ~з>~ 1(х)т(й(х)=1(Т)[н(Ь) — н(а)[, где а~с(Ь. (24) О ь ! ~ у (х) т(д (х) ~ ~ М К л (28) где ь'= ~ а(х).
О М= шах [у(х)(, а~л мь * Мы предполагаем н(Ь)~И(а), ибо случай д(Ь)=«(а) (т. е. «(х) = =сопят) не представляет интереса: тогла обе части формулы (22) — нули. 2'. В практике иитегрнлов С телтьес а наиболее важныи является случай, когда функция у (х) непрерывна, а функция н(х) имеет ограниченное изменение. Лля этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса: ПЗ а ь, ннтегаал стнлтьвса Действительно, для суммы Стилтьеса а будет ~ з ) = ) ~ У(Ц) бЬ (х,) ~ ~,'У', !.1'($~) ) ) бд(х1) ) =. с ! ( М У',(д(хги) — и(х;)! =ЯК так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенства 3; Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы а к самому интегралу Стилтьеса ! (при прежних предположениях относительно функций у и и).
Представив а и ! в виде и почленно вычитая зги равенства, получвм а — (= ~ $ (г(6~) — г(х)) гКд(х). хг Если, как обычно, обозначить через ич колебание функции г'(х) в промежутке (хь х;+,), так что )У(1,) — У(х))(м~ для х;~х -хын то, применяя оценку (25) к каждому интегралу ~ в отдельности, Х~ будем иметь «ыз "!+1 (г (Ц) — г" (х)1 ф (х) ~ ( ич ~Д а (х). Если промежуток.(а, Ь) раздроблен на столь мелкие части, что все м~(е, где а >Π— произвольное наперед взятое число, то заключаем, что а ~ — )~~аУ (х) (26) а Эти оценки будут нами использованы в следующем п'. 114 гл. хч.
кьиволинейные ннтеггллы. ннтегьлл стилтьесл 683. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. 1'. Пусть функции ~„(х) (п=1, 2, 3, ...) непрерывны в промежутке [а, Ь] и ири и-эх равномерно сгпремягпся к предельной функции Т'(х) = 1ип ~„(х) л са [очевндно, также непрерывной, 436], а я(х) — функция с ограни- ченным изменением. Тогда ь ь 111п [ у„(х) йи(х) =Ъ 1 (х) йй (х).
Ю Доклзлтельство. По заданному а)0 найдется такое И, что при и) М будет для всех х [Х ( ) — У(х)!( ° Тогда, в силу (25), для и) М ь ь ( ) ~„(х) <Кй(х) — ) Т(х) Ый(х) 1 = что, ввиду произвольности е, и доказывает теорему. 20. Пусть теперь функция г (х) непрерывна в промежутке [а, Ь], а функции я„(х) (и=1, 2, 3, ...) — все с ограниченным изменением в вгпом промежутке. Если полные изменения атих функций в их совокупности ограничены: ь 1/ я„(х) ~ Ъ' (п= 1, 2, 3...,) О и я„(х) при и-э оо стремятся к предельной функции и(х)= 1нп я„(х), то Нт $~(х) йй„(х) = ) гг (х) Ни(х). л сод О До к азл те л ь от в о.
Прежде всего убедимся в том, что предельная функдия я(х) сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток [а, Ь] произвольным образом на части точками а=ха(хь(... (х;(х„,с ... (х„=Ь, 11б % З. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬВСА будем иметь (при любом и) ь 1 ']8.(хыг) — 8. (Хг)]~78.(х)~ )' 1 а Переходя к пределу здесь при и-» оо, получим Х ~ а(хг, ) — 8(хг)] «=- К 1 откуда и ч.(-)= а Составим суммы С т и л т ь е с а а = ~Ч~~,~(Х1) Дд(ХГ), а„= ~Ч~~У(Х1) Д8 (Х;). Если предположить, что промежуток 1а, Ь] при этом разложен на ' столь мелкие части, что колебание функции у(х) в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа е >О, то, в силу оценки (26), при всех п ь ь ) аа — $У(х) дЮа (х)! ~ е Ъ', ) а — $У (х) дд(х) ! ~ е К (27) а а С другой стороны, если разбиение, выбрзнное под укгззнным условием, фиксировать, то, очевидно, а„-»а при п-»оо, тзк что найдется такое Ф, что для п)1»1 будет ]а„— а]< е.
(28) Тогда для тех же аначений п будем иметь, в силу (27) и (28), ь ь ь 1]г)т 118„— ~ ~1181 = ~ ~ ~дй„— а„1]+] а„— а]+ а а О ь + ~ а — ~1 <Ке ! ( (2 Ъ'+ 1) е, а откуда, ввиду произвольности г, и следует требуемое заключенна 584. Примеры и дополнения. 1) 17редлолагая функцию л(х) монотонно еозраетающей е етрогом еммеле, можно доказать отноеительно чиела Е, фигурирующего а формуле (24), более точное утеерждениег а<1<а, 116 гл. хч.
кэиволинпйныв интвгэллы. интнгэлл стилтьесл [584 Действительно, обозначив через т и М наименьшее н наибольшее знзчения функции у(х) в промежутке [а, Ь] и считая т(Мч, легко найдем такую часть [а,б] этого промежутка, в которой границами у(х) служат числа т'~ т и М'(М, так что [ср. (23)] т [й(6) — п(а)] < т' [6(р) — к(а)] ~ ~з1 $ ( и- М' [з (р) — и (а)] ( М [к (р) — д (а)]. Написав для промежутков [а, а] н [р, Ь] неравенства вида (23) и складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства: т [К (Ь) — к (а) ] ~ с ( М [К (Ь) — К (а)], так что число к (Ь) — к (а) лежит строго между т и М; а тогда найдется и $ строго м е жду а и Ь, для которого и=У(Ы, и т. д.
2) Используя формулу (11) и 579, формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Ст ил ть ес а [577; 582, 1'], очень легко наново установить вторую теорему о среднем для обыкновенн ы х и н т е г р а л о в [306]. Итак, пусть у'(х) интегрируема(з смысле Римана),а з(х) монотонно возрастает чч в промежутке [а, Ь]. Введем функцию Р (х) = ] У(х) дх (а ( х ~ Ь); а она, как мы знаем, будет непрерывна [305, 11']. Теперь последовательно имеем в э э )у(х)к(х) дх=$к(х) дР(х) =к(х) Р(х) ( — $ Р(х) дк(х)= а а а =К(Ь) Р(Ь) — Р(2) [К(Ь) — 8(а)] =к(а) Р(6)+К(Ь) [Р(Ь) — Р($)] = е э =д(а) ),г(х) дх+ к(Ь) ~ у(х) с(х (а ~ 1.= Ь), а что и требовалось доказать.
Если к(х) монотонно возрастает в с т р ого м с м ы с л е, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно $: а-с 1( Ь. 3) еуоказать, что, если в точке х=с одна из функций г и к непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то с в существование интегралов (з) ~ и (з) ~ влечет за собой существование и а с (з) ~ [см.
576, 5']. а ч При т=М функция р(х) сводится к постоянной, н значение может быть вообще взято произвольно. ч" Случай, когда к(х) монотонно убывает, легко приводится к этому, 117 В а. иитпгвлл стилтьнСА С втой келью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы е мы будем включать точку е в состав точек деления, то сумма е будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков [а, е! и [е, Ь[; прн е ь Л=шахдх; — 0 она будет стремиться к сумме интегралов ) ус«К+) удК. и с Пусть теперь точка е не входит в число точек деления. Прнсоединян к ннм точку с, мы от а перейдем к новой сумме Ю, про которую мы уже знаем, что при Л вЂ” 0 она имеет указанный предел.
Таким образом, достаточно показать, что разность и†з будет вместе с Л стремиться к О. Пусть точка е попадает в промежуток [хь, хь„,[; тогда сумма а отличается от суммы а лишь тем, что вместо слагаемого 1(сь) [К (хь «) — К ( ь)! в ней имеетсн два слагаемых: У(К) [К(е) — К(хь)]+У(й ) [К(х + ) — К(е)], где К и с выбираются произвольно под условиями хь ~ Г ~ с и е~ й ~ ха, « Положив для упрощения Е=Г=с, сведем последнее выражение к у(с) [К(хь,) — К(хв)], а — 3 = [у(йь) — у(е)] [К(хьы) — К(хь)].
так что (29) Когда Л вЂ” О, то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, а — К в О, что и требовалось доказа~ь. 4) Если обе функции у(х) и К(х) оказываются разрывными а одной и той зке точке х=с(а(с ~Ь), то интеграл Стилю ь ее а ] у(х) ь«К(х) и (30) заведомо не сугцеетлует. Для доказательства будем разтичать два случая. Пусть сначала а ( с с Ь, н пределы К(е — 0) и К(с+О) не равны. Тогда при построении суммы Ст ил т ье с а мы точку с не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, хь се(хь»г. Выбрав один раз йь~'=с, а другой раз взяв е в качестве йь, составим две суммы а и е, разность которых сведется к выражению (29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
