Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 19
Текст из файла (страница 19)
квнволннвйныв ннтвггллы. ннтегвлл стнлтьесл [576 Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть и р и м е р. Пусть в промежутке [ — 1, 1) Функции у(х) н а(х) заданы следующими равенствами: [ 0 при — 1~х~О, 11 при Осх<1; 10 прн — 1~х(О, л (х) = [ 1 1 прн О~х(1. Легко видеть, что интегралы 1 у(х) ей'(х), ~у(х) ее(х) — ! оба существуют нравныО,ибо соответствующие им суммы Сти лть ес а все равны 0: для первого зто следует из того, что всегда г(х) =О, для второго— из постоянства функции г(х), благодаря чему всегда аг(х;)=О. В то же время интеграл 1 ) у(х) Ей(х) — 1 Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого нз стилтьесовой суммы получается интеграл С т и л т ь е с а, имеет место принцип сходимости Б о льц а но — Ко ш и.
Таким образом, по заданному з)О ввиду существования интеграла~Убй найдется таа кое о) О, что любые две суммы о и о С т и лтье с а, которым отвечают ), и ).(3, разнятся меньше чем на к Если при этом в состав точек деления включить точку е, а точки деления, приходящиеся на промежуток [с, Ь~, брать в обоих случаях одними и теми же, то разность о — о сведется к разности о, — о, двух сумм Сти лтьеса, от,носящихся уже к промежутку [а, с~, ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся.
Применяя к промежутку [а, с[ и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о сущес ствовании интеграла )уий: Аналогично устанавливается и сушеь ь ствование интеграла ~~ф: с Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имею1ций прецеденс ь тов факт, что пз существования обоих ггнтегралов ~У4й и ~Уббч а с ь вообще г оворя, не еытенаеит еущеснтвоеание ттнлтеграла ~УЫу а 677) а а. ннтвгвал стилтьвсл не существует. Действительно, разобьем промежуток ( — 1,1] на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составйм сумму л — ! о = Я у (ц) ал (х!). г=о Если точна 0 попадает в вромежуток [хь, хье!), так что ха (0(хье„то в сумме о останется только одной-е слагаемое; остальные будут нули, потому что ал(х!)=л(хее!) — я(х!)=0 для 1~'А.
Итак, о =у($ь) [л (х!,ы) — л (ха)[ =у($а). В зависимости от того, будет ли 1а(0 или 1а ) О, окажется о=О нлн о=1, так что о предела не имеет, Указанное своеобразвое обстоятельство связано с наличием разрывов в точке х =0 для обеих функций У(х) и л (х) [см.
584, 3) н 4)). Б77. Интегрировиние по частям. Для интегралов Стилтьеса имеет место формула ь о ~ ~(х) е[л'(х) =~(х) Е(х) — ~ а (х) Ц(х), (0) а а в прелположении, что существует один из этих интегралов; сушествование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем ее. о Пусть существует интеграл ~Ь !(~ Разложив промежуток [а, Ь] а на.
части [хп хо+!] (1=О, 1, ..., и — 1), выберем в этих частях произвольно по точке с!, так что а=хо =-(о~.х, *и ... --л,, ~о! о(х,~1! =.х;,, ~..: =.хл,~1„! ~х„=Ь. ь Сумму Стилтьеса для интеграла ~ Ий а л — ! о= л,' У(о!) [Ь'(х;+,) — я(х!)] можно представить в виде о= ~ч~ ~г (1! !) л'(х!) — 'я д((!)у(х!) = '! е=о л — ! = — [д(а)У(Ц)+ 'Я п(х!) К($!) — г (о! !)] — Ь'(Ь)У($„!)]. ! 4 Г. М. Фихтенгольц т. ГЫ 98.
гл. хк кгиволннейныв интеггллы. интегалл стилтьеса [бтй Если прибзвить и отнять справа выражение г'(х) и(х) ~ =~(Ь) и(Ь) —,г (а) и(а), то е перепишется так: е=У(х)л(х) ~ — Я(а) [г (Еь) — ~(а)]+ ь — ! +,'5'„й'(х!) [Х(Е!) — У(Е! !)]+ й(Ь) [У(Ь) — ~(Е„!)] ]. Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла ~й!тг' (существование которого предположено1). а Она отвечает разбиению промежутка [а, Ь] точками деления а ~ Еь ( Е, ~ ...
=. Е! !:и-. Е! -- ... ( ".„ , ( Ь, если в качестве выбранных из промежутков [Е! и Е!] (1=1, ..., и — 1) точек взять хп а для промежутков [а, Еь] и [Е„,, Ь], соответственно, а и Ь. Если, как обычно, положить ) =шах(х!+! — х!), то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2).. При Х вЂ” 0 ь сумма в квадратных скобках стремится к ~ у!К следовательно, суа ь ществует предел и для е, т. е. интеграл )у!ьу, и этот интеграл опрей делается формулой (9). Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функции а(х) в промежутке [а, Ь] интегрируема по функции у(х), то и функции У(х) интегрируема по функции д(х). Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла С т и л т ь е с а к тем, которые были рассмотрены в 67б, переменив роли функций У и и.
578. Приведение интеграла Стнлтьеса к интегралу Римана. Пусть Функция У(х) непрерывна в промежутке [а, Ь], а л (х)"монотонно возрастает в атом промежутке, ипритом в строгом смысле". Тогда, как показал Ле бег ь (Н. ЬеЬеэяае), иптеграл С т и л т ь е с а (а) ~ У(х) !тй(х) с помощью подстаа ковки в=и (х) непосредственно приводится к интегралу Р н м а н а. * Последнее мы предполагаем исключительно в целях некоторого упро щения изложения, $ 3. интеГРАл стилтьеса На рис. 29 изображен график функции и =д (х).
Длв тех значений х = х', при которых функция д (х) испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем а(х) обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертииавьным отрезком, соединяющйм точки (х', д(х' — 0)) и (х', а(х'+0)). Так создается не п р е р ы в на я лнния, которая к а ж дом у значению о между пр —— д(а) и [г=д(Ь) относит одно определенноеэначениехмежду а и Ь.
Эта ункция х=д '(и), очевидно, У удет непрерывной и мопогонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции и =я(х). Именно, если ограничиться лишь темизначениямио, которые функция о =д(х) действительноо принимает при изменении х от а до Ь, тох=д '(о) является обратной для нее в обычном смысле, т. е. относит о именно то значение х, прн котором й'(х)=п. Но из промежутка значений и [д(х' — 0), а(х'+О)], Рис.
29 связанного со скачком функции а(х), лишь одно значение в=в'=ьт(х') имеет себе соответствующим значение х=х", другим значениям и в упомянутом промежутке никакие значениях, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение х =х", геометрически это и выразилось в дополнении графика функции у =а (х) ряаом вертикальных отрезков.
Докажем теперь, что ь !з! )гу(х) Лд (х) = !и> г )у'(й-! (о)) Ло, (10) а рр где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция й ' (о), а с нею и сложная функцияу(й-! (в)), непрерывна. С этой целью разложим промежуток [а, Ь] на части с помощью точекделения а = х, с х, с ...
с х! с х;+, с ... с х„= Ь и составим стилтьесову сумму я — ! р= ~ у(х!) [а(х,„) — а(х!)]а. р-о Если положить пр=д(х!) (1=0, 1, ..., я), то будем иметь прсор с".' орсон! с" стра — И Так как хр=д '(о!), то я — 1 р = Я У (я ! (и!)) Дп! (Ап! = и! ! — и!). о р Для простоты выбнрзя в промежутке [хр, хр+,] именно точку хь 4р Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже прн Ьх1 0 (Л 0) может оказаться, что аео к нулоо не стремится, если, например, между безгранично сближающимися х1 и х;+, будет заключено значение х=л, где функция я(х) испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе. Имеем о л-1 от+1 ~ у(0 '(е)) Ео= ~ ) у(й '(е)) Ге ло 1-о л — 1 о'1+1 о= ~Ч~ ~~ У(Х1) о(О, 1-О тзк что о л — 1 о1+1 о — ~ Г(Е '(О)) ОГО= У ) (Г(Х1) — У(0"' (Е))) Ео.
оо предположим теперь дх1 настолько малыми, чтобы колебания функции у(х) во всех промежутках (хь х;+,) были меньше произвольного наперед задан- ного числа о ) О. Так как прн о1«о«от+„очевидно, хг«е '(о)«о1+о то одновременно и В таком случае 1.5(х1) — ~'(У ' (е)) ( «о. ~ о — 1 У (Л ' (о)) о(о ! «о (1 — о). Этим доказано, что и 1!ш о= ~ л (д '(о)) ото, х о о'о откуда и следует (10). Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла С т и л т ь е с а, Как осуществлять зто вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем и'. б79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
