Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, интеграл Р и м а н а есть частный случай интеграла С т и лтьеса, когда в качестве функции и(х) взята сама независимая переменная х: я(х) = х. о Мы для определенности предполагали а < Ь; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда а ) Ь. Впрочем, он непосредственно приводится и 'предыдущему ввиду равенства ) = — ~, Р 9! а ь. интвголл стилтьвса 674. Общие условия существования интеграла Стнлтьеса Установим общие условия существования интеграла С т и л т ь е с а, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция я(х) моно- тонно возрастает.
Отсюда следует; что при а(Ь теперь все Ьй(х!)ь0, напо- добие того, как раньше было ох! ь0. Это позволяет слово за сло- вом, заменяя лишь Ьх! на Ьй(х!), повторить все построения пп 296 и 297. Аналогично суммам Л а р б у, и здесь целесообразно ввести суммы о — 1 а — ! в= ~~~ т;Ьи(х!), 8= ~ М!Ья(х!), а=о !=о где т! и М! означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции Г(х) в г-м промежутке [хь х!„». Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Д ар бу — С т и л т ь е с а. Прежде всего, ясно, что (при одном и том же раабиении) з~о ".8, 1в = зир [ з» и 1ь = 1п1 [ Ю», то оказывается, что з(1 =1* =8.
Наконец, с помощью сумм скарбу — Ст и лт ьес а легко устанавливается для рассматриваемого случзя основной признак существования интеграла С т и л т ь е с а: Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было Иш (8 — в)=0 л о или 1пп ~ !огйй(х!) = О, т о, (4) причем з и Ю служат точи ы м и границами для стилтьесовых сумм о. Сами суммы скарбу — Стилтьеса обладают, как и в простейшем случае [296», следующими двумя свойствзми: 1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то шгжняя сумма Дарбу — Стилт вес а может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумла — разве лишь уменьшиться.
2е с в о й с т в о. Каждая нижняя сулла Д а р бу — Ст и лт ь е с а не превосходит каждой верхней сулмы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка. Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу — Стилт веса: 92 гл. хж кгиволинвйныв интвгоалы. интвгглл стнлтьвса (это если под ово как обычно, РазУметь колебание М; — т, фУнкции У(х) в (-м промежутке [хо хв+,[. Все доказательства, как указывалось, копируются с соответствующих доказательств, проведенных в пп' 296, 297, и мы можем предоставить их читателю.
В следующем и' мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций г(х) и 5(х), для которых интеграл С т и л тьес а существует. 575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса. 1. Если функция ~(х) непрерывна, а функция 5(х) имеет ограниченное изменение, то интеграл Ст ил т ь е с а ')у(х) Ыу(х) а (5) сувцест вует. Сначала предположим, что а(х) монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего и'. По произвольно заданному а) О ввиду равномерной непрерывности функции Г(х) найдется такое о > О, что в любом промежутке с длиной, меньшей о, колебание Г"(х) будет меньше Ь . Пусть теперь промежуток [а, Ь1 произвольно а(И вЂ” й(в) ' в разбит на части так, что в= шахах,(Ь.
Тогда все м,( о и й(Ь) — е(а» ~~'., 'вв, Ьу (ха) < ° ~~~~ [з" (х;,-,) — в'(х,)1 = в, в и — ! а = ~я~~ ~1 (.;) Ьд(хв) = ~ у((;) Ьдв (хв) — ~»' г (~в) Ьсвв (хв) = и, — ов. в-о в=о в=о Так как по уже доказанному каждая из сумм о, и о, при Х-ьО стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы о, что и требовалось доказать. Можно ослабить условия, налагаемые на функцию У(х), если одновременно усилить требования к функции 5(х): откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла. В общем случае, если функция я(х) имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: я(х) = ав (х) — ев(х) [575, 7'].
В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции 5(х): а а. интеГРАл стилтьесА В. Если функция г(х) интеграруема в [а, Ь[ в смысле Рилгана, а я(х) удовлетворяет условию дипшица: [Е(х) — я(х) [~ Е(х — х)' (6) (5=сопя(, а х(х(Ь), то интеграл (5) существует. Лля того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию я(х) не только удовлетворяющей условию (6)„но и монотонно возрастающей. Ввиду (6), очевидно, бд(хг) ~Еахь так что Π†! л †! )~~ !О15д(х1) = Е ~ О!1бх1.
1=О 1=0 Но последняя сумма при Х вЂ” О и сама стремится к О вследствие интегрируемости (з смысле Р и м а н а) функции Д(х) [297), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5). В общем случае функции а(х), удовлетворяющей условию Лившицаа (6), представим ее в виде разности я(х) = 'х — [Ех — с (х)) = я! (х) — яа (х). яя (х) — Аа (х) = Е (х — х) — [л (х) — я(х)! ~ О [ дЪ (Х) ва (х) [ ( Е (х — х) + [ д (х) — а (х) [ ~ 2 Е (х — х). В таком случае. рассуждение завершается, как и выше. !(!. Если функция У(х) интегрггруема в смысле Римана, а функция я(х) лредставима в виде интеграла с переменным верхним пределом: К (х) = с + 1 !!! (Г) аг и (7) гдв е(!) абсолютно интегрируема в лромеакутне [а, Ь[, то интеграл (5) существует. Пусть <р(Г))О, так что а(х) монотонно возрастает. Если ~р(Е) интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: [7(Г) [ (Е, то для а:=-х(х«= Ь имеем !н [А(Х) — я(х)[ =[[ р(Т)бс ~Е(Х вЂ” х).
Функция я!(х)=Ех, очевидно, удовлетворяет условию Лип шипа и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для фУнкции Яа(х)= Ех — Я(х), так как, в силУ(6), ЛРи а~к(Х~Ь Таким образом, в атом случае Р(х) удовлетворяет условию Липши ца, и интеграл существует в силу П. Предположим теперь, что у (Р) ннтегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем Ь. Прежде всего, по произвольно взятому а >О выберем ТР)О так, чтобы было о 1 Р(Р)РР<4 (8) где Я вЂ” обшее колебание функции Р"(х) в рассматриваемом промежутке. Разобьем промежуток [а, Ь1 по произволу на части и составим сумму л — 1 ~:= ~; м,.дд(х,). о Она разлагается на две суммы 2„=2,'+~'„", из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержашимся в промежутке[а, Ь вЂ” — [, ч1 а вторая — остальным промежуткам.
Последние наверное содержатся в промежутке [Ь вЂ” т1, Ь[„если только Х = шах йхг +; тогда, в силу (8), ™~~С~ ~2 ' о — ч С другой стороны, так как в промежутке [а, Ь вЂ” — ~ функция у(Р) ч1 интегрнруема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом А и сумма 2'„' станет меньше —. Отсюда следует (4), что и 2' требовалось доказать. В общем случае, когда функция в (Р) абсолютно интегрнруема в промежутке [а, ЬР, мы рассмотрим функции (Р) ! Т (Р) ! + Т (Р) (Р) 1'Р (Р) ! 'Р (Р) очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке; Так как т (Р) = ~Р (Р) — тя (Р) то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция 8(х) непрерывна в промежутке [а, Ь) и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, произ- 84 Гл. Кт. КРиволинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА [йтй а ь. интвгвлл стилтьвсл водную л'(х), причем эта производная ь иитегрируема (в собственном или несобственном смысле) от а до Ь; тогда, как известно [470', замечание], имеет место формула типа (7): н д(х) =д(а) + ~й'(1) |К О Если в'(х) абсолютно интегрнруема, то к функции е(х) полно- стью приложимо изложенное в 1!1.
376, Свойства интеграла Стилтьеса. Из определения интеграла С т и л т ь е с а непосредственно вытекают следующие его свойства: ~ я|в(х) = а (Ь) — с (о); ь ь ь ь 2'. ~ [Л(х)-+ Л(х)] я|у(х) = ~Л (х) |КЬ (х).+. ~Л(х) Ыу(х); Ю О О ь ь ь 3'. ~,У(х) 1 [д(х) +.у,(х)] = ~ У'(х) |(Ь,(х) -+.Ь )'(х) г1дь(х) О О а ь ь -4'. ~ Ц(х)|К[!д(х)] = И ~У(х)а|д(х) (А, У=сопз1), При этом в случаях 2ь, Зь, 4' из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.
Затем имеем 5'. г),! (х) Ыл (х) = г),г (х) ал(х) + ) гу(х) ь(Ь (х), в предположении, что ас сс' Ь и существуют все три интеграла. Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки с в число точек деления промежутка [а, Ь] при ь составлении суммы Стнлтьеса для интеграла ~,Яд. О По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, ь пз существовании интеграла )У|(у следует уже существование а г ь обоих интегралов ),г г(К и )УФ а с э ' ° Если ее значения в точках, где она ие существует, выбрать по про- изволу. 96 гл. хт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
