Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вычисление интегралов Стилтьеса. Докажем следующую теорему: 1'. Если функция У(х) инлтегрируема в'смысле Римана в лромежутке 1а, 01, а и(х) представлена интегралом е (х) = с+ ~ р (1) отг, л 100 ГЛ, ХЧ. КОНВОЛННВЙНЫП НитнГОЛЛЫ. НитЕГОЛЛ СтНЛтЬНСа (втй Это выраженме имеет вид римановой-суммы для интеграла !О1 $5. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА где функция ср(1) абсолютно интегрируема в [а, Ь], то ь ь !а!~~(х)а!8(х)=!я! ~~(х) р(х)с!х.
(1 !) Интеграл справа существует [298, 482]. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано [575, !П]. Остается лишь установить равенство (11), Без умаления общности можно предположить функцию о(х) положительной [ср. стр. 94]. Составим, как обычно, сумму Стилтьеса л ! «п+1 л — 1 а= ~',у($!)[А(хл+!) — я(х!)]= ~ ~ у((!) р(х)а!х. ! о «! !=о Так как, с другой стороны, можно написать л-! «!+! ~~(х) р(х)Ых= ~я~ ~ 1(х)р(х)ах, ь=о то будем иметь л-! «г+! о — )г у(х) о (х) а!х = ~ '„~ [! ((!) — т'(х)] ср (х) ь(х. ь=о «! Очевидно, длЯ хь~х~хь+! бУдет [У((!) — У"(х) [(ми где и! означает колебание функции У'(х) в промежутке [хо х,+,].
Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности: л — 1 «ь+! л — 1 о — )г"(х)у(х)а!х ~ ~Ч',м! ~ !р(х)Ых= ~ м!Ья(х!). л !=о «! !=о Но мы уже знаем [67б, П!], что при 1.— 0 последняя сумма стре- мится к О, следовательно, ь 1пп о = ~ З'(х) !р (х) Ых, л о что и доказывает формулу (11). В частности, из доказанной теоремы вытекает [если учесть замечание в конце и' 878] такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике: 2 . При прежних предпололсениях относительно функции г(х) допустим, что функция я(х) непрерывна во всем промежутке [а, Ь] и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, 102 ГЛ, Х7.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕПА (61Э производную ЬГ(х), которая в 1а, Ь1 а бе олю т но интегрируемаа. Тогда ь ь <з> ~ г (х) сКЬ (х) = <и] ) У(х) а'(х) сКх. (12) Она имеет разрыв первого рода — скачок — в точке х=О справа, причем величина скачка р(+0) — р(0) равна 1; в точке х=О слева и в остальных точках функция р(х) непрерывна. функция р(х — с) будет иметь такой же разрыв в точке х=с справа; наоборот, р(с — х) будет иметь подобный разрыв в точке х=с слева, причем величина скачка будет равна — 1. Предположим, что функция У(х) непрерывна в точке х=с, и вычислим интеграл <з1~ г(х)бр(х — с), где а(с(Ь (прн с=Ь а этот интеграл равен нулю). Составим сумму С т и л т ь е с а: а = У, УД) ар (х, — с). ь=а ПУсть точка с попадет, скажем, в Ь-И пРомежУток, так что ха ~с ~хь,и Тогда бр(хь — с)=1, а прн 1 ~ Ь, очевидно, ар(х, — с)=0.
Таким образом, вся сумма а сводится к одному слагаемому: а=У(1ь). Пусть теперь' Л-Р О. По непрерывности У(1») -РУ(с). Следовательно, существует(при а~с(Ь) ь 1з1 ~ ~(х) бр(х — с) =1пп а =/(с). л о (1 3) " См. сноску на стр. 95. Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) форм а л ь н о получается из интеграла слева, если, понимая символ бд(х) буквально как дифференциал, заменить его выражением в'(х)бх. Обращаясь к случаям, когда функция е(х) оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения «станллртнон» разрывной функции р (х), определяемой равенствами 10 при х~О, ),1 прн х»0.
1ОВ ч ь. НнтвгРАл стилтьвсл Аналогично можно убедиться в том, что (при а(с~д) ь !з! ~Дх)ар(с — х)= — г(с) а (14) а=с,(с,(...(сь(...(с =Ь терпит разрыв первого рода. Тогда существуем ингпеграл Стилт ьеса и выражается формулой ь ь рц )гг'(х) Ыд(х) = !я! г)у(х) Ьг (х) йх+у(а) (д (а+ 0) — к(а)) + Ю О г! — ! + ~!г' (сь) 1К(се+0) — я(сь — 0))+ ь=! + г (Ь) (я(Ь) — я(Ь вЂ” О)). (15) Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции к(х) в точках а или Ь вЂ” односторонние *.
Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции я(х) справа и слева: а~=у(се+0) — е(сь) (Ь=О, 1, ..., т — 1), аь=к(сь) — к(сь — 0) (Ь= 1, 2, ..., т); очевидно, для 1 ='Уг --гп — 1, аь+аь — — д(сь+0) — я(сь — 0). Составим вспомогательную функцию: д!(х)= ~ч~ а4р(х — с„) — ~ч~~ аьр(с„— х), которая как бы вбирает в себя все разрывы функции к(х), так что разность яь(х) = к(х) — е! (х), как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной. * Если па деле в какой-лнбо из этих точек скачка иет, то соответствующее слагаемое суммы обращается а нуль. (прн с=а этот интеграл обращается в нуль).
Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую чем 2; а именно, отказаться от требования н е и р е р ы в н о с т и ф у н к ц и и я(х): 3'. Пусть функция У(х) в промежутке (а, Ь'1 непрерывна, а и(х) имеет в э!лом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную е'(х), которая абсолютно интегрируема в (а, Ь). При этол пусть функция я(х) в конечном числе точек 104 гл. хч. кьиволинейные интегедлы. интегь«л стнлтьесв [580 Для значений х, отличных от всех сд, непрерывность функции К,(х) не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе фУнкции К(х) и К>(х). Докажем тепеРь непРеРывность Кя(х) в точке сд(Ь(т) с п р а в а. Все слагаемые суммы К, (х), кроме члена а+др(х — с„), непрерывны при х=сд справа; поэтому достаточно изучить поведение выРажениЯ К(х) — а«Р(х — сд). ПРи х=сд оно имеет значение К(сд); но таков же н его предел при х-ьс +О: !пп [К(х) — а!»р(х — сд)[=К(с«+0) — а«=К(сд).
л с«+о Аналогично пРовеРЯетси и непРеРывность фУнкции Кя (х) в точке с» (Ь ) 0) слева. Далее, если взять точку х (отличную от' всех сд), в которой функция К(х) имеет производную, то вблизи этой точки К,(х) сохраняет постоЯнное значение, следовательно, в ней и фУнкциЯ Кд(х) имеет производную, причем Кд(х) =К'(х) ДлЯ непРеРывной фУнкции Кд(х), по пРедыдУщей теоРеме, существует интеграл С т и л т ь е с а ь ь ь !з> ~)'(х) ЫКь (х) = !и> ~ У'(х) К,' (х) >Кх = (н> ~ У'(х) К' (х) дх.
Точно так же легко вычислить и интеграл [см. (!3)„(!4)! ь ы — ! ь !з> ~ у(х)КК>(х)= ~ч~~~ а+д ° !з> ~ у (х)Ыр(х — сд)— О »-о а д! ь — ~~~~ ад.!з> ~ > (х)г(р(с» — х)= д=! а т — ! ь! аду (сд) + '5' ад~(сд) =у (а) [К(а+ 0) — К(а)[+ «=о д=! ы — ! +,~~~~~ У(с») [К(с«+ О) — К(с» — 0)]+у(Ь) [К(Ь) — К(Ь вЂ” ОЦ. «-! Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (10); существование интеграла Ст ил тьес а оту (х) по функции К(х) =К! (х)+ Кя(х) устанавливается попутно [Б76, 3'[.
580. Примеры, !) Вычислить по формуле (!1) интегралы: ! (а) !з> ~ хдь!>и(!+х), (б) !з> ~ хд>люк, (в) !з> ) х>таге!Кх. — ! а а. иитегвал стилтьеса х' Решении. (а) (з1 ~ х'о!п(!+х)=<к> — пх .! 1+х Ь (! т !2 = ! — х' — х+ 1п (1+х)) ~ =1п 3 и т. д. !2 Оывешыз (б) — — 1; (в) О. 2 2) Вычислить по формуле (15) интегралы: 3 ( О при х= — 1, (а) (з! ) хну(х), где 3(х)= ( 1 при — 1(х~2, — 1 при 2(х~з; — 1 при 0(х( —, 1 0 при — (хс' —, 1 3 (б) !3) ~х'ае(х), где 3(х)= 2 при х=— 3 2' 3 — 2 при — (х(2. Ркшвник. (а) функция б(х) имеет скачок!при х= — 1и скачок — 2 прн х=2; в остальных точках 3'(х)=0.
Поэтому а !в> ') хднф(х)=( — 1) ° 1+2 (-2)= — 5. — 1 1 3 (б) Скачок 1 при х= — и — 2 при х= — (значение функции 3 при 2 2 3 х= — не влияет на результат); в прочих точках и'(х)=0, 2 Имеем: !'! ~ «'Ф(~)=Я 1+(2) ( — 2)= — —. д 3) Вычислить по формуле (15) интегралы: (а) ) хднф(х), (б) ) х'Нп(х), (в) ) (х'+1)Ые(х), где х+2 при — 2~х~ — 1, а(х) = 2 при — 1 ( х с О, х'+Зари О~к~"2. Р к ш в н и к. Функция д(х) имеет скачки, равные 1, при х= — 1 н х = О. Производная 1 при — 2(х( — 1, а'(х)= О при — 1(х(О, 2х прн 0(х~2. Поэтому 3 «К()= [ Ш -2~ « .).( )).).)».) 2 6' Аналогично х' Ых)= П вЂ” и ~ ( '+ !) да(х)=!б —, 1 1 6 20 ' 4) Предположим, что вдоль отрезка [а, Ь] осн х расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так и распределенные непрерывно.
гге делая различия между ними, обозначим для х а через Ф(х) сумму всех масс, расположенных в промежутке ]а, х]; сверх того, положим, Ф (а) =О. Очевидно, Ф (х) — монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти с т а т н ч е с к и й м о м е н т этих масс относительно качала координат, Разобьем промежуток [а, Ь] на части точками ( х) ( ° ° ° ( х) ( хы» ( ..
( хя = Ь. На отрезке (хь х;+,] прн 1) О содержится, очевидно, масса Ф (хг+,) — Ф(хд= = дФ (хг). Точйо так же на отрезке [а, х,] содержится масса Ф (х,) — Ф (х,) = = ЬФ (х,). Считая массу во всех случаях сосредоточенной, нзпрймер, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенное выражение и ! М= Ч; хг»»ЬФ(хг). » о При стремлении к 0 всех Дхь в пределе придем к т о ч н о м у результату: ь М = (3) ] х д Ф (х). а (16) Можно было бы и здесь, как это было разъяснено во втором томе по отношению к обыкновенному ойределенному интегралу [346], сначала установить «элементарный» статический момент дМ=х дФ (х), отвечающий отрезку осн от х до х+а)х, а затем «просуммировать» эти элементы.
Аналогично для м о и е н т а и н е р ц и и г' тех же масс относительно начала найдем формулу ь у=(з> ]х» И (х), а (17) Важно подчеркнул»ь, что интеграл Ст ил ть ее а дал возможно«ть обьеданить однои интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных и сосредоточенных масс» 106 гл. хч. кэиводиинйиын иитигэлды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
