Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ь* Если между хь и х1., вставлена точка х', то слагаемое !У(х1„) — у(х1) ! заменяется суммой /у(х+) — у(х) ! -!- ! у(х) — у(х) ! =- ) у (х1„) — у(хй [. [а„, аь,л! (Ь = О, 1, ..., т — 1; аь = а, а = Ь), в каждой из которых 1(х) монотонна в, то она имеегп в [а, Ь] ограниченное изменение. Разбив произвольным образов промежуток [а, Ь) на части, составим сумму и. Так как от присоединения каждой новой точки деления сумма и может разве лишь увеличиться **, то, присоединив к точкам деления все точки а„, о которых была речь выше, мы получим сумму и )и. Если выделить из суммы и те слагаемые, которые относятся к промежутку [аь, аь+1), то, обозначая' их сумму значком (А) наверху, будем иметь и !"! = [Дал Н) — Даь) [, % Е ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧПННЫМ ИЗМПНВНИВМ где !'.=сонэ(, а х и х — любые точки промежутка Ф, то она имеет ограниченное изменение, причем !Д у(х)~Е(Ь вЂ” а).
а Это следует из неравенства « — 1 « — ! о= ~~' !((Хгэ! — У(х!)! =Е Ч~~ (хьм — х,)=Е(Ь вЂ” а). г=о В частности, 3'. Функция У'(х) будет в промежутке [а, Ь) функциеб с ограниченным изменением, если она имеет в нем ограниченную производную: )У'(х)(~Е (где ! =сопя!). В самом деле, по теореме о среднем в этом случае (з(х) — з(х)!='!Г(с)(х — х)~~Е~х — х! (х~~Б -='х), так что выполнено условие Липшица (3). На основании этого замечания можно, например, утверждать ограниченность изменения функции У (х) = х' з!п — (х ф 0), У (0) = 0 в любом конечном промежутке, ибо производная ее У'(х) =2хз!и — — я соз- (хфО), у'(0) =О х х ограничена.
Любопытно отметить, что в каждом промежутке, содержап!е»! точку О, эта функция «бесконечно колеблется», т. е. бесконечное число раз переходит от возрастания к убыванию, н наоборот. Обширный класс функций с ограниченным дуюшим предложением: 4'. Если У(х) в конечном (или даже в жутке (а, Ь) представима в виде интеграла ним пределом: изменением дается сле- бесконечном) промес переменным верх- У(х)=с+1 р(С)бС, а (4) «Это условие обычно называется условием Лил ю и ц а (ц.
!.!рзс!т!та!. 2'. Если функция Д(х) в промежутке (а, Ь! удовлетворяет условию !у (х) — з (х) ) ( Е ! х — х (, (3) тз гл. хч. кэиволинзйныз интвггллы. интвггал стилтьзса. [000 где р(р) предполагается абсолютно интегрируемой е о этом лромежутне, то У(х) имеет в нем ограниченное изменение. При этом а Ь Д Х(х) ( ~ ! !р (р) [ хрр. Пусть [а, Ь1 — конечный промежуток; тогда л — ! д ! к!+! о= ~ [У(хье!) — р(х!)(= Я ( ~ ~р(р)!хр~( л=а р=о л-! лл+! Ь ~ !Т(р)1!(р=~! Т(р)! (р !=а «! л откуда н следует наше утверждение.
Если же речь идет о бесконечном промежутке [а, + оо), то достаточно заметать, что А А + со '41(х) ~!р(р)1 рр» ~!Т(рк(р. Замв чан ив. Можно доказать, что как в случае конечного, так н в случае бесконечного промежутка на самом деле имеет место точное р а вен ство Ь Ь ~ у(х) = 1 ~ !р (р)! Ж. Если же функция !р(р) в промежутке [а, Ь] ннтегрнруема, но не абсолютно, то полное изменение р (х) заведомо бесконечно. Мы не будем останавливаться на этом, но поясним лишь последнюю часть замечания примерами. Пусть К(х)=х'л!и —, (х~~О), У(0)=0, так что х я 2е я У' (х) = р (х) = 2х л)п —, — — сов —, (х ф 0), Г' (0) = р (0) = О. х' х х' Тогда, например, для 0(х-='2 у (х) = ~ т (р) !рр, * Т.
е. интегрируемой(хотя бы в несобственном смысле) вместе со своей абсолютной велнчнвой ) р(8)[, а е втнкцин с огваничпнным измвнвинвм но в и' ч82 мы показали, что интеграл этот — неабсолютно сходящийся. Поль- зуясь той же идеей, что н там, разложим промежуток [0,2] точками 1 О, = ' )/'л ' ! $' л — 1' 2 1 - ° / 2 — У2* для соответствующей суммы о, очевидно, будет откуда и следует, что ~У(х) =+ со. о Аналогично этому легко показать, жо функндя /(х) = — ог Г э)п С г в промежутке(О, +ел) имеет неограниченное нам ененяе (ср, 476), 069. Свойства функций с ограниченным изменением. Промежуток !а, Ь), в котором здесь рассиатриваются все функции, предполагается конечным.
1'. Всякая функция с ограниченным изменением ограничена. В самом деле, при а(х'~Ь имеем о'=(У(х) — У(а)1+Ьг (Ь) — У(х) ) ( Ду(х), О откуда 1,1'(х') ~ ( ~ г (х') — Д(а) ) + )У(а) ! = ~ у(а) ~+ ~!~,у(х). а 2'. Сумма, разность и произведение двух функций Д(х) и я(х) с ограниченным изменением также являются ф~нкциягги с ограниченным изменением. Пусть з(х)= У(х)-+.
д(х). Тогда ~ з (х1+) — а (х) ~ ~ ~ у(х+,) — у(х!) ~ + ~ я(х,„л) — я(х и ЕО ГЛ. Хч, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА >Еде и, суммируя по значку 1, ! з (х;„) — з (х;) ! ~ > ь ь ~ ~ )У(хь1) — У(х)!+ ~ )и(хгм) — я(х)!«=~Д у(х)+ Д д(х), Ю откуда следует ь ь ь ~ в(х) = 1)г'Х(х)+~у(х). Положим теперь р(х)=)'(х)д(х) и пусть для а -х -.Ь !г"(х))е-К, )е(х)!~).
(К, Ь=сопз() (см. 1'!. Очевидно, !р(х,) — р(х;) != = !Х(хг и) (в" (хьм) — е (хг)1 + Ь'(х ) У(хьм) — У(х )1 ! ~ ~ К ! а(хг,г) — а(х ) !+ (- !бах„>) — л (хь) ! откуда уже легко получить, что Цр(х)~К ЯЬ(х)+ь ДДх). 3 . Если Дх) и а (х) суть функции с ограниченным изменением и, сверх того, )д(х)!)в >О, то и частное — будет функу(х) я (х) цией с ограниченным изменением. Ввиду свойства 2; достаточно доказать ограниченность изменения функпии Ь(х)= —, Имеем 1 ц (х)' !Е(хгм) — я(хд ! ! !" (хь>1) — Ь(х>)1= ! („.')!.! (.,')! -= — !8(х>л) — ~(х>)! > так что ~!~ Ь(х) (Д~е(х) 4.
Пусть функция У(х) определена в промежутке (а, Ь! и а ( с ( Ь. Если функция г (х) имеет ограниченное изменение в промежутке (а, Ь), то она имеет ограниченное изменение и % 4. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ а наагсдом из лромежунсмоа [а, с] и [с, Ь], и обратно. При атом ь с ь ~ г(х)= Д~(х)+ 1/'~(х). (б) Пусть г (х) имеет ограниченное изменение в [а, Ь]. Разложим на части каждый из 1пэомежутков [а, с] и [с, Ь] порознь: уо — — а(у,( ... (у =с, го — с(г,( ... (г„=Ь; (6) зтнм будет разбит на части и весь промежуток [а, Ь].
Составим суммы отдельно для промежутков [а, с] и [с, Ь]: и = Х [У(уь,1) — У(уьн по=х~У(г1,1) — х(г1)!' о соответствуюшая сумма для промежутка [а, Ь] будет о = э1 + оо. Таким образом э1+эо ( ДУ(х) ь и, следовательно, каждая из сумм п„ео порознь ограничена, т. е. функция у(х) оказывается с ограниченным изменением в промежутках [а, с] и [с, Ь]. Выбирая подразделения (6) так, чтобы суммы о, и эо стремились к соответствуюшим полным изменениям, в пределе получим с ь ь =п1+,» 1[ У(х)+ ЧХ(х). Отсюда сразу вытекает ограниченность изменения у(х) в промежутке [а, Ь] и неравенство. ь с ь Я у (х) ~ 1[( у (х) + 1[г У (х).
(8) о См. сноску ** на стр. тб. Допустим теперь, что,т(х) имеет ограниченное изменение в каждом из промежутков [а, с] и [с, Ь]. Произведем произвольное разбиение промежутка [а, Ь] на части. Если точка с не входит в состав точек деления, то мы ее дополнительно введем, отчего, как мы знаем*, сумма о может лишь увеличитьск Сохраняя прежние обозначения, будем иметь 82 гл. хч. квиволинвйныв интегралы. интегвлл стилтьзсл ]б7й Наконец, из (7) и (8) следует (6). Из доказанной теоремы, в частности, вытекаег.
5 . Если в промежутке [а, Ь] функция т (х) имеет ограниченное изменение, то для а -ха Ь полное изменение й(х) = 7И) а будет монотонно возрастающей (и ограниченной) функцией от х. действительно, если а -'х'<' х" ~Ь, то х' х' х" Чт=Чт+Чт, так что (так как по самому определению полного изменения оно ие может быть отрицательным числом). Теперь становится ясным, что определение полного изменения в бесконечном промежутке [а, +ос] вместо (2) может быть дано в следующей форме: +СО А ~7(х) = йщ 1(УУ(х). О а (2*) С помощью этого замечания теоремы настоящего п' легко обобщаются и на случай бесконечного промежутка. * Можно было бы, впрочем, ограничиться и неравенством без знака абсолютной величины: У(х") — У (х') -= Р (х") — Г (х'). 570.
Критерии для функций с ограниченным изменением. Пусть функция у(х) определена в конечном или бесконечном промежутке [а, Ь]. 6'. Для того чтобы функция т (х) имела в промежутке [а, Ь] ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этом промежутке существовала монотонно возрастающая и ограниченная функция Р(х), такая, что в любой части [х', х"], (х' х") промежутка [а, Ь] приращение функции З по абсолютной величине не превосходит соответствующего приращения функции Р: )~(х") — У(х') ! ~ Р (х") — Р(х') в 83 $ Е ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧВННЫМ ИЗМЕНИНИВМ [Функцию Р(х), обладающую этим своистаом, естественно было бы назвать мажорантоп для функции У(х)) Нвовходимость следует из того, что для функции г(х) с ограниченным изменением роль мажоранты может играть, например, функция й(х) = 7И) а монотонно возрастающая и ограниченная в силу 5'.
Неравенство [г (х") — Ях') ) ~ и(х") — п(х') = Ч8!)(У г (1) х вытекает из самого определения полного изменения функции. Д о с т А т о ч н о с т ь для случая конечного промежутка видна сразу из неравенства а — ! а — 1 '= Х [У(х!.!) — У(х;) 1- ч; [Р(х!„) — Р(х!)) = Р(д) — Р(а), с-о ю-а а для бесконечно~о — получается предельным переходом. Очень важной является другая форма критерия: 7 .
Для того чтобы функция г"(х) имела в промежутке [а, Ь) ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в атом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих и о~раниченных функций: у(х) = я(х) — й(х). (10) Нвовходимость. В силу бь, для функции г(х) с ограниченным изменением существует монотонно возрастающая и ограниченная мажоранта Р(х). Положим я(х) = Р(х), й (х) = Р(х) — г" (х), так что (10) выполнено. Остается убедиться в монотонности функции й(х» но при х'(х" л (х") — Ь (х') = [Р (х") — Р(х')) — [У(х") — У(х')) ~ 0 по самому определению мажоранты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
