Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Мы получим Ф(х, у, )=) Р(х, у, г) бх+Ф(хы у, г). «« ПолагаЯ во втоРом из УРавнений (16) х=ха и интегРиРУЯ по У от уч до у (с~уз у ~б), найдем У Ф (хы у, ) = ~ Я (х, у, ) бу+ Ф (хь ум г). Уе Наконец интегрируем третье уравнение (16), полагая в нем х=ха и У=Ум по г От га до г (е(гь 2~~У): Ф(хм уа г) ~Й(хм уы г)аг+Ф(хо уа га) Если постоянное значение Ф(хь у„га), которое, очевидно, остается произвольным, обозначить через С, то окончательно придем к такому выражению для искомой функции: Ф(х, у, г)=~Р(х, у, г)дх+$ Я(хы у, х)ду+ «а У« + $ Й (хо уа .г) бе+ С. (17) Применяя, в случае надобности, правило Лейбница, теперь легко проверить, что эта функция, действительно, удовлетворяет всем условиям (16).
Это непосредственное построение первообразной убеждает нас в том, что, по крайней мере, лля параллелепипедальной области ($/) условия (Б) досгнаточны для того, чтобы выражение (14) 565] э а: услОВия ПВВАВисимОсти иитпгРАлА От пути 67 было -точным дифферен((иалолг, а значит и длн того, чтобы интеграл (13) не зависел от пути. распространение на общий случай возможно и здесь, с тем лишь, что область (]г) удовлетворяет некоторому условию (аналогичному односвязности плоской области).
Но так как на этот раз проведение всех рассуждений представляет трудности, мы от него отказываемся. Ниже ]641], после ознакомления с поверхностными интегралами н формулой Стокса, мы к этим вопросам вернемся. 565. Примеры. 1) Будет ли кряволинейный интеграл ] (х'+у') (х ах+у ау) (7( по любому замкнутому контуру равен нулю? Ояыею утвердительный, так как подннтегральное выражение явно представляет собой полный дифференциал от функции — (х'+у')'. 4 2) Не прибегая к условию (А), выяснить, зависит ли от пути интегрирования интеграл хлу — улх. ( н) Отвею: зависит (вообще говоря), ибо подобный же мнтеграл по непересекающему себя замкнутому контуру выражает удвоенную площадь ограниченной этим контуром области ]551] и, следовательно, отличен от О.
3) Установить существование первообразной и найти ее для следующих дяфференциальных выражений: (а) (4х'у' — Зу'+ б) Ех ]- (Зх'у' — бху — 4) с(у, (б) (1Оху — 8у) с(х+ (бх — 8х+ 3) ау, (в) (4х'у' — 2у') ах+ (Зх'у' — 2ху) ду, (г) ](х+у+ 1) е" — еУ] «Кх+]е" — (х+у+1) еу] ву. Р вш в ни в. С помощью условия интегрируемости выясняется, что в случавх (а), (б), (г) ны имеем точный дифференциал, а в случае (в) нет. (а) По формуле (8), полагая х,=уэ= О, имеем Р,э-]ь +]~з э' — в~ — оь~-с= 5х+ х'у' — Зху' — 4у+ С.
То же получается и по формуле (7): = х'уэ — Зху'+ бх — 4у + С. (б) Выгодно, взяв хэ=уэ=О, вычислять по формуле (8), ибо тогда первый интеграл обратится в нуль: У. ф (х, у)=((бхэ — Зх+3) Еу+С=(бхэ — Зх+3)у+С. 3 63 гл. хч. квнволинпйныи интнгвалы. интнгвлл стнлтьвса (666 (г) По любой из указанных формул получим: Ф (х, у) =(х+у) (е» вЂ” ет) +С. 4) Доказать, что условие — = — равносильно тождеству дР д() ду дх » » У ~ Р(х,у) ах+ ~ Я (х„у)ау= ~ Р(х, у,) ах+ ~ Я(х, у)ду У« «» в предположении непрерывности функций Р, 9, — и — ) .
дР д0~ ' ду дх)' 5) Иногда рззыскание первообразной (если условие ннтегрируемости выполнено) оформляют иначе, чем зто сделано в 558. Покажем зто на примере 3 (а). Из условия — = 4х»у» — Зу» + 5, дх интегрируя по х, найдем для Ф вырзженйе х'у' — Зху'+5х с точностью до «постоянной интегрирования» Эта последняя не зависит от х, по которому мы интегрировали, но может зависеть от «параметра» у; позтому мы возьмем ее в виде 7(у). Итак, Ф = х'у' — Злу + 5х + ч. Условие дФ ду — = Зх'у' — бху — 4 дает нам, при подстановке, вместо Ф его выражения откуда 7 = — 4у + С.
Окончательно Ф = х'у» — Зху» + 5х — 4у+ С 6) Если тот же прием применить к примеру 3) (в), н е о б р ащ а я в ним а ния на нарушение условия ни т ег рир уе м ост н, тодляопределения 7 получим условие дв — ' =2ху, ду Оно явно и р о т и в о р е ч н в о, нбо справа стоит выражение, содержащее х, в то время как в от х не зависит! 7) Интересно в общем виде выяснить, какую роль в осуществлении укаэанного приема играет условие интегрируемости.
Интегрируя по х равенство — = Р(х, у), дФ найдем, как и в частном примере, Ф (х, у) = ) Р (х, у) дх+ в (у). 565! % 3. услОВия незАВисимОсти интегвллл От пути 69 Второе равенство — =1;)(х, у) даст затем для определения Т(у) условие х х' ач д ~ ~ дР— '-=О(х, у) — — 1 Р(х, у) дххх()(х, у) — 1 — ах, (18) хо хо Если послеанее выражение фактически от х не зависит (т. е, при у = сопл! не меннется с изменением х), то простая квадратура поу приводит к выражению для Т. Если же выражение (18) содержит х, то полученное для Т условие прот н в ор е ч и в о, нбо Т не должно зависеть от х.
'Гаким образом, успех зависит исключительно от того, свободно ли от х или нет выражение (!8), а это проще всего установить по тому, обращается лн в нуль илн нет частная производная от выражения (18) по х. Но производная эта равна до дР дх д — — —. таким образом, выполнение условия (А), и только оио, гарантнр>.ет У т2 успех! ! 8) Какому условию должна удовлетворять функция Р(х, у), чтобы ух — — — -у — — — -4. выражение Р(х, у) (х ах+у ау) (7)) было точным дифференцналому дР дР г) Х, х Х Ошвеш: х — =у —. ау — ах Рис. 28.
9) Вывести формулы (7) и (8) п' 558 для первообразной, воспользовавшись выражением первообразной через криволинейный интеграл(556 (4)) н выбрав в кзчестве пути интегрирования один раз ломаную ЯСМ, а другой раз Ас)М (рис. 28). 10) Чтобы дать другой пример применения общей формулы (4) п 556 для разыскание первообразной, решим наново по этой формуле задачу 3) (а), взяв в качестве путиинтегрирования яр я м о линейный от резо к, соедйняющнй начало координат с произвольной точкой (х', у') плоскости (мы иначе обозначаем ее координаты, чтобы не путать их с координатами х, у переменной точки пути интегрирования). В интеграле !х', у') Р (х',у') = ~ (4хоу' — Зуо+ 5) ах+ (Зх'уо — бху — 4) оту !о, о1 нужно у заменить на — „(ибо у= —, как раз и будет уравнение пути пну'х у'х х" х' тегрировання) и тем свести дело к вычислению обыкновенного определенного интеграла по х от О до х'. В результате получим х' г 7у охо 9у охо 4у т х' х' х') =хоуо Зхуо+5х 4у что с точностью до обозначений совпадает с найденным выше выражением.
70 Гл. хч. кРиВОлинейные интВГРАлы. интВГРАл стилтьисА [666 11) Установить область, в которой выражение Р«х+ () «у=])»)' ха+у~ — х ах+[l Ух" +уз+ х ау ч ° является полным дифференциалом, и найти первообразную для этой области. Р к ш к н и н. Имеем (при у~ 0): дР 1 [/»]) .а [ э ду 2]/ ))'лл -]-уэ — к ф' х'+у' 2 ~'х'+у' 2 [г»]Гх'+у" + к ]Гх +У' ) 2 ]) х" +У' причем в первом случае знак плюс или минус берется в соответствии со знакому.
Таким образом, условие интегрируемости выполняется лишь для у) О. Ограничиваясь, в силу этого, верхней полуплоскостью, воспользуемся для восстановления первообразной тем же приемом, что и в 10),но уравнения прямолинейного отрезка возьмем в параметрической форме: к=ха, у=у'Г (0(Г(!). Тогда (»' л') Р(х, У) = ~ Р «х+ О «у= (о,о) ! =](» У "-~»! — »-)»Ф'~' "--» )- ) гга= - -', ( Ю'~~. )-* т')' .)»' -)*) 12) Положим »~т ).ее= — ',* )» с, ~~ — »' О). Проверить выполнение условия (А) и найти циклическую постоянную, отвечающую особой точке (О, О).
У к А за ни к. Проще всего вычислить криволинейный интеграл по эллипсу Ах' + 2Вху + Сут = 1, (В) ибо тогда Р «х+ О «у = — х «у — у «х ) 1 Г =г~ ( ) сведется [661 (10)] попросту к ил о ща ди этого эллипса, которая нам известна [339, 6)]. Ср. 649, 9). 13) Если соблюдено условие интегрируемости, криволинейный интеграл иной раз может оказаться н е з а в и с я щ и и о т и у т и, а первообг"-"тя функция о д н о з н а ч н о й — даже при наличии особой точки! Г ер: для выражения х «х+у «у ха+ т Символом э' обозначен, как обычно, а рифме т н ческий корень. 555[ Э 3.
УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 71 имеющего особой точкой начало координат, первообразной будет, например, функция 1п(х'+у), однозначная и непрерывная вместе с произ. водными во всей плоскости (нсключая начало). Читатель легко уяснит себе что эхо связано с фактом обращения в нуль циклической постоянной, отве. чающей началу.
14) Проинтегрировать дифференциальное выражение г (— 1 1 1 г ( х 11 [дх+ — д +( — — ! о'г. х'у х'+г"! +ху' у ' !хс+гэ ху~ Р к ш в н и к. Легко проверяются сусловпя интегрируемостны дР дУ г дУ д)7 1 д)7 др 1 г' — х' ду дх х'у' ' дг ду ху' ' дх дг х'у (х'+ г')' Вычисление проведем по формуле, аналогичной формуле (17), по с нереста. павкой ролей х и г, и полагая при этом г,=О, а х, и у, )О.
Тогда сакра. иится яишь один из трек интегралов„и мй сразу найдем: х 1т г г Ф (х, у, г) = —,, — — ! дг + С = агстп — — — + С. д тхс+ г' ху) х ху 566. Приложение к физическим Задачам. Вернемся в свете изложенная теории к некоторым ранее рассмотренным задачам нз областя механики п фи. гики. !) Работа силового поля.
В и' 554 мы видеяи, что работа силового поля при перемещении материальной точки с массой 1 вдоль по траектории(К) выражается криволинейным интегралом [см. 554 (18)[: А= [Хдх+У' ду, (1г1 (! 9) где Х=Х(х, у) и 1 У(х, у) суть проекции напряжения поля на координатные оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
