Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 9
Текст из файла (страница 9)
За время и< через этот элемент протечет количество жидкости, равное сл бз йг, (19) где с„есть проекция скорости с на нормаль л к,элементу йз, н а п равленную в выбранную сторону от кривой. Действительно, это количество равно площади параллелвграмма со сторонами ба и с ° лТ, высотой которого как раз и является произведение сл~й (рис. 16; б). Для подсчета количества жидкости, протекающей через элемент ил в едийнцу времени, суммируем выРажениЯ (19) по элементам йг, что дает алба. сУммиРУЯ же найденные выражения по всем элементам кривой (К), мы йредставим искомое количество О жидкости в виде криволинейного интеграла п е р в о г о т и п а Π— ~ <лба.
1К1 (20) Если угол между осью х и нормалью к кривой есть (х, л), то угол между нормалью и скоростью с будет (л, с) =(х, с) — (х, л) = Т вЂ” (х, л); поэтому сл=ссоз(л, с)=с[созус<и(х, л)+апуап(х, л)[=иож(х, л)+пзщ(х, л), и выражение (20) принимает вид Ц = $ [и соз (х, л) + о з)п (х, л)[ гй. (21) 1гб 42 ГЛ. ХЧ. КРИИОЛИНЯЙНЫЯ ИНТЯГРАЛЫ.
ИНТЯГРАЛ СТИЛТЬЯСА (664 Теперь, согласно формуле (15) п'553, этот интеграл можно представить и в форме криволинейного интеграла в т о р о г о т и и а: ()= '1 па'х — и(гу, (к» (22) причем важно подчеркнуть, что направление на этой кривой должно быть взято так, чтобы угол между соответствующим направлением касательной и выбранным заранее направлением нормали был равен+ — [ибо именно в 2 этом предположении и выведена была формула (15)). Если (К) есть замкнуты й контур и интеграл (22) считать взятым (как обычно, 548) в положительном направлении, то нормаль в формуле (22) должна была бы быть направлена вы у т р ь области; ограниченной контуром (К) (чтобы было соблюдено упомянутое только что условие).
Следовательно, в этом случае формула (22) дает количество жидкости, протекающей через контур (К) в единицу времени внутрь области, Если желаем получить количество жидкости, вытекающей н а р у ж у из области, ограниченной конт ром (К), то следует лишь в формуле (22) изменить знак. алее, если поле.не имеет ни «источниковы ни «стоковь жидкости, то в любой ограниченной области количество жидкости остается постоянным. Поэтому, какую бы замкнутую кривую нн взять, интеграл (22), взятьгй по ней, должен быть равен нулю. Итак, если и и о суть слагающие скорости в плоском установившемся течении нееиеимаемой мсидкоети, то ири отсутствии источников и стонов ) обх — Лбу=О, (К1 каков бы ни бмл замкнутый контур (К). Впоследствии [566, 2)[ мы увидим, что этот результат, полученный с помощью физических соображений, позволяет дать и некоторую аналитическую характеристику функций и и о. 3) Тепло, иоглои(енное газом.
Рассмотрим некоторую массу, например, 1 моль газа. Состояние газа характеризуется тремя величинами: его объемом У, язвлением р и абсолютной температурой Т. Если считать газ и деа л ь н ы и, то эти три величины оказываются связанными между собой уравнением К ланей рона: рУ=ВТ, где В есть постоянная. Таким образом, любая из величин р, У и Т может быть выражена через две лругие. Поэтому для определенна состояния газа достаточно знать две из этих величин. Пусть это будут, например, У и р, Тогда т о чк а с абсциссой У и орлинатойр служит изображением состояния газа. Если состояние газа меняется от начального состояния, отвечающего точке А, до конечного состояния, определяемого точкой В, то весь п р оцес с и ам е пения характеризуется кривой (К)=— (АВ», устанавливающей последовательность непрерывно меняющихся состояний ь.
ь И здесь, и впредь мы имеем в виду так называемые к в аз нет ац и он а р н ы е процессы, т. е. представляем изменение состояния газа происходящим настолько медленно и сопровождающимсн настолько хорошим перемешиванмем, что в си масса газа одновременна проходит чЕрез всякое промежуточное состояние. 5541 $2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА 43 44 гл. хч. к~иволинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА [554 Поставим теперь себе задачу установить, какое количество тепла (7 (кал) поглощается данной массой газа во время всего этого процесса, характеризуемого кривой (К). С этой целью,как обычно, рассмотрим некоторый «бесконечно малый> элементарный процесс, переводящий газ из состояния (И р, Т) в бесконечно близкое состояние ()г+ ьйг, р + ь(р, Т+ «(Т). Ему отвечает элемент кривой (К) (рис. 17).
Определеийе того элементарного количества тепла ь((l, которое при этом ему было сообщено, мы однажды уже произвели [прн выводе формулы П у а осана, 361, 3)). Воспользуемся полученным там выражением: Л(7= — ')ль(р+ - '-р аИ )( )7 Для того чтобы найти общее количество тепла (7, сообщенное газу з течение всего процесса его изменения, характеризуемого кривой (К), остается лишь «просуммировахь> Ълементы а(У вдоаь этой кривой: 1'= сэ 1Яр+ -'л'- ра(г. (23) ,\ '9 (~О р> Итак, количество тепла У непосредствейно выражается криволинейным интегралом второго типа, Если бы мы выражали элементарное прирюцение тепла «((Уне через «71" нар,а через а)ги аТиаичерезариаТ, п и Фа то и тогда дело свелось бы к криволиРис.
!7. нейному интегралу, который, однако, пришлосьбыбратьпокривой,лежащей, соответственно,в плоскости)>Тихи рТ, 4) Действие шока на лжазнит. Закон Б и о и С анара, характеризующий действие тока на магнит, имеет «дифференциальную> форму.
Согласно этому закону, э л е м е н т аьз проводника, по которому идет ток силы х, действует на отстоящую от него на расстояние г «магнитную массу> ш с силой, величина которой равна уж з(п Т аьз (24) где Т(0(у ~я) есть угол между вектором г, соединяющим магнитный полюс с элементом тока,и направленным в сторону течения тока элементом ьхз проводника. Направление же этой элементарной силы перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами г и Уз, и идет в ту сторону, с которой вращение от г к Йз на угол Т кажется происходящим против часовой стрелки.
[Ср. 356, 8).[ Поставим себе задачей охарактеризовать м а г н и т н о е и о л е тока, идущего по конечному замкнутому проводнику (К) произвольной формы и произвольно расположенному в пространстве; яными словамн, установить силу, с которой весь этот проводник в целом действует на «магйитную массу> ш, помещенную в любой точке М пространства. Получение закона Б и о и С аз а р а в «интегральной> форме затрудняется, однако, тем обстолтельством, что отдельные элементарные силы, о которых была речь выше, по-разному направлены и складывать их надо ге о м е тр и чески.
В подобном случае обычно переходят, к проекциям векторов на оси какой- либо прямоугольной системы координат в пространстве, ибо проекции элементарных снл складываются уже а л г е б р а и ч е с к и, йбб) $3. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 45 Для упрощения выкладок используем аппарат векторной алгебры. Если переписать выражение (24) для величины элементарной силы лтг в виде ю1 га ' — ° г лзапт, ш1 то легко заметить, что оно лишь множителем —, отличается от величины в е к торного пр о изведения г у( лз.
Так как и направление зг; олределвемое законом Био и С анара, совпадает с направлением этого произведения, то можно написать (Р= —,~(г Х Б) Рассмотрим теперь произвольную (правую) прямоугольную координатную систему Охул. Если через х, у, з обозначить координаты (начальной точки) элемента лл, а через 4, ч, ь — координаты рассмзтриваемой точки М пространства, то проекциями вектора г на осн будут х — йу — ть л — С; вектор же 4з имеет проекции нх, иу, лл. ю1 В таком случае проекциями ЛГ будут произведения множителя —,, соответственно, на (у — Ч) ((з — (л — С) оу, (л — С) Их — (х — $) Нл, (х — $) г(у — (у — ч) лх.
Таким образом, суммируя по всем эзементам кривой (К), окончателыю получим выражения для проекций искомой силы г' на оси в виде криволинейных интегралов по пространственной кривой (К): г 'х™ (у — ч) нз — (з — ь) лу ( (л — С) г(х — (х — с) с(л Рг ю1 ()о Рл = гл1 (х — $) ~(у — (у — Ч) лх ( причем направление на кривой определяется направлением течения тока. Это и дает решение нашей задачи. й 3, Условия независимости криволинейного интеграла от пути 666. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
