Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть дана непрерывная кривая (АВ) (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция 1(х, у) л. Разложив кривую точками А;(хь у;) на чзсти, выберем нз отрезке кривой А(А(„, по произволу точку М;(ес, яс) и вычислим в ней, как и раньше, значение функции 1(Мс)=Я), т)с). Но это значение мы умножим на этот раз не на д л и н у дуги А,А; „а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось х, т. е. на хыс — х;=Ьхй затем составим сумму л-1 о= '5;,р(М() Ьхс=',~,7($1, .4,) т)хс. с-о Если при стремлении р. = шах А,А)+, к нулю эта сумма имеет конечный предел 1, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек М„то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от 1(М)йх, взятым по кривой или по пути (АВ), и обозначается символом 1= ~ с (М)йх= ( Д(х, у)йх.
(АВ) (АВ) Аналогично, умножая значение с(М)) не иа Ьхь а на Ьуь т. е. на проекцию дуги А(А(+, на ось у, н составляя сумму л-1 л — 1 "=;ЕУ(М;) йу;=,'ЕУ((и ти)йЛ с-о как предел ее получим криволинейный инт еграл (второго типа) от У(М)йу 1л = ~ У(М) йу = ~ ~'(х„у) йу. (2) (АВ) (АВ) Если вдоль кривой (АВ) определены две функции Р(М) =Р(х,у), Я(М)=Я(х, у) и существуют интегралы ~ Р(М) йх= ~ Р(х, у) йх, 1) ц(М) йу= ~, О(х,у)йу, (АВ) (АВ) [Ав) (АВ) " См. примечание иа сгр.
12. З46] в х кгиволинвйныв ннтвггалы зтогого типа 21 то и их сумму называют криволинейным интегралом (чади(его аида») н полагают ~ Р(х,у)(1х+ Я(ху)(1у= ~ Р(х,у) Ых+ ~ Я(х,у)>»у. (АЗ> (АВ) (АВ) Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла вто. рого типа (1) [нли (2)] с определением криволинейного интеграла первого типа [см. 543 (1)]. Прн очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого хипа при составлении интегральной суммы значение функции у(М>) умножается на длину а)=аз( участка А;А; ) кривой а в случае интеграла второго типа это значение у(М)) Умножается на проекцию Ьх) (или Ьу>) упомянутого участка на ось х (или на ось у).
Мы видели, что направление пути (АВ), вдоль которого пронзво. дится интегрирование„ не играет роли в случае интеграла первого типа, ибо длина е, дуги А;А;+, от этого направления не зависит. Иначе обстоит>дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет ~ Х(х, у)Ых= — ( у(х,у)Ых (ВА) (АВ) и, аналогично, 1 У(х, у)((у= — ) г(х,у)((у, (АЗ) (ВА) причем нз существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно, Подобным же обрззом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распрострзненного на пространственную кривую (АВ).
Именно, если функция г(М)=г(х,у,г) задана в точках этой кривой, то, как и выше, строим сумму ь-) а= 'Я У(Е) Чь ч)) ь)х) ) 0 и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю (ь= =шах А;А,+). утоли предел называется криволинейным интеграломм (Второго типа) от У(М))ьх и обозначается символом ~ г(М) Фх= ) ) (х, у, В) Ых. (АВ) (АВ) гл. хч. кгнволннвйныя интвггалы. ннтвггал стнлтьвсь (647 Аналогично определяются интегралы видз ~ 1(М) с(у= ( У(х,у, г)йу (АВ) (АВ! ~ У(М) (Ь = ~ У(х, у, г) (1г.
(АВ! (АВ) Наконец, рассматривается и интеграл («обшего вида») ~ Рс(х+Я()у+1с((г= ~ Р а)х+ ~ Я((у+) Р(1г. (АВ) (АВ) (АВ) (АВ) Здесь тзкже изменение направления интегрирования меняет знак интеграла. Заметим в ззключение, что простейшие свойства обыкновенного определенного интеграла [302, 303) легко переносятся на рассматриваемый криволинейный интеграл; останавливаться на этом не будем. 347. Сушествоиание и вычисление криволинейного интеграла второго типа.
Пусть кривая (К) =(АВ) задана параметрическими уравнениями х =.)ь (Г), у = Ф (1), (3) причем функции е и () непрерывны, и при изменении параметра г от а до р кривая описывается именно в направлении от А к В. Функцию Д(х, у) вдоль кривой (АВ) также будем предполагать непрерывной. Если речь идет об интеграле (1), то дополнительно обусловим еше сушествование и непрерывность производнон )ь'(1). При этих предположениях криволинейный интеграл (1) существует, и имеет место равенство $ ~(х, у) (Кх=(п) $у()р(1), )))(1)) )ь'(1) йй (АВ) 'Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла (1) надлежит заменить в подинтегральной функции переменные х и у их выражен(сими (3) через параметр, а множитель с(х — дифференциалом переменной х, как функции от параметра.
П о р ядок расстановки пределов в последнем интеграле отвечает на этот раз выбранному на кривой направлению. Переходим к докззательству. Пусть точки А;(1=0, 1, 2„„ ..., и), взятые на кривой, определяются значениями 1( параметра, а б47] а л. кзиволинайныв интзггллы втозого тнпл з выбранная нз дуге А1А,.„точка А41 — значением т1 (очевидно, лежащим межву г1 н 81+,).
Тогда интегральная сумма л — 1 а= ~~!~ у(11, т!!)ьхь 1=0 если учесть, что '1+1 лх =!у(в!лл) — т(в)= ~ 'т'(1) "1 1 может быть переписана в виде л- ! 1+1 а= Я у(<р(т1), ф(т!)) ~ р (1)гвг. 1-0 С другой стороны, и интеграл в (4) справа л можно представить в виде суммы: в л-1 1+1 ! у=]у(р(в) Ф(в))в'И)!~в= Х ~ ХИ(в) Ф(в))р'(в)1тг. л 1=0 11 Отсюда и — ! 1+! а — 1= ~," г) [~(ср(т1), ![!(т1)) — асср(!), ф(1))]~р'(!)в(г. 1-0 Задавшись произвольным з)0, предположим теперь все дг1 настолько малыми, чтобы в промежутках [11, Гга1] колебания непрерывнойй функции у(р(г),ф(г)) были (л. Так как непрерывная функция !у'(!) ограничена [су'(1)[ =Е, то будем иметь [а — 1[(ль[р — а[.
Таким образом, при стремлении к 0 величины Х= шах [Ьт! [*з, Иша=г, чем одновременно доказано как существование криволинейного интег- рала, так и требуемое равенство. * Самое существование интеграла очевидно злаку непрерывности подинтегрлльной фувкпнн. *" А это (в случае незамкнутой кривой) равносильно стремление к О наибольшей из хорд [24б]. 24 ГЛ. Хт. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА ьЕ42 Переходя к интегралу (2), подобным же образом можно установить его существовзние и доказать формулу ~ у (х, Р) ((у = (н) ( у (ф (~), ф (Г)) ф' (т) (гг (АВ) а при условии существования неп р ер ы зной производной ф (г). Наконец, если речь идет об интеграле общего вида Р(х, у) ((х+ Я(х, у) Ыу, (АЛ) где Р и Я суть непрерывные функции, то на кривую (АВ) наложим требование, чтобы обе функций (3) имели непрерывные производные.
В этом предположении будет справедлива формула 1 Ргх+Я(я= (АВ) ')(Р(ф(ь), ф(8)) ф'(Г)+ Я(ф(Г), ф(Г)) ф'(Г)) (ьь. (6) Определение кривелинейного интеграла и указанный здесь способ сведения его к обыкновенному определенному интегралу непосредственно распространяются и на случзй кривой (3), которая сама с е б я п е р е с е к а е т, если только направление на ней по-прежнему определяется монотонным изменением параметра г от а до р. В заключение укажем некоторые случаи, когда вычисление криволинейного интегрзла представляется особенно простым. Пусть интеграл (1) берется по кривой, заданной явным уравнением: у=у(х) Аналогично, если интеграл (2) распространяется на непрерывную кри- вую, заданную я в н ы м же уравнением, но другого типа: х=х(у) (где у изменяется от с до д), то 1 у(х, у) ду = (я) ) у(х(у) у) сну, (АВ) ь (8) причем перемещение точки из А и В происходит при изменении х от а до Ь.
Тогда без каких-либо предположений о кривой, кроме ее непрерывности, имеем ь у(х, у) о)х=(я) $1(х,у(х))дх, (АВ) а 548) в». кгиволннвйныв ннтвггллы вто»ого типа 25 Наконец, если интеграл (1) рзспространяется на прямолинейный отрезок (АВ), параллельный оси у, то он равен О (ибо в этом случае равны О все Ьхо а с ними и все суммьг в).
Аналогично равен О и интеграл (2), взятый по прямолинейному отрезку, параллельному оси х. Ясли путь интегрирования (К) распадается на конечное число примыкающих одна к другой кривых и вдоль каждой из них в отдельности криволинейный интеграл существует и вычисляется по одной из указанных формул, то, как легко показать, существует интеграл вдоль всей кривой (К) и равен сумме интегралов по ее частям. 548. Случай замкнутого кон- А тура. Ориентация плоскости.
Обратимся к оассмотрению замкнутого контура (К), т. е. к случаю, когда -ряс. 4. начало А и конец В пути интегрирования совпадают. Взяв иа кривой отличную от А точку С, полагают по определению, с учетом выбранного на кривой направления (на рис. 4 оно указано стрелкой): 1=1+1 (к) (Амс> (смл) в предположении, что интегралы справа существуют.
Легко показать, что существование и величина интеграла не аависят от выбора точек 'А и С. Кроме того, и для замкнутого контура (К) оказываются применимыми формулы (4), (5) и (6), выведенные в предыдущем номере. 3 ь м в ч ь и и з. Впрочем, можно и здесь криволинейный интегрзл получить в результате предельного перехода (как и в случае незамкнутой кривой), ио ограничив предельнйй переход, например, требованием, чтобы две наперед фиксированные точки А, А' неизменно входили в состав точек деления.
Ничем не ограниченный предельный переход при щахГАгАг+, — О здесь к цели не привел бы (ср. 330). Особенность рассматриваемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления, в котором описывается кривая (К). Можгю было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Так и приходится делать, если речь идет о пространственной кривой.
В случае же плоского замкнутого контура (К) обыкновенно поступают иначе. Из двух возможных для данной плоскости н а п р а в л е и и й в р ащ е н и я — «против часовой стрелки» н «по часовой стрелке» вЂ” одно выбирается за положительное: этим создается определенная ориемлгацггд 26 Гл. хч. кРиволинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА г546 Прявив ° По часовал аижме О О' Рис. 5. (рис. 5, а). Правда, это опредеаение имеет достаточно ясный характер лишь для контуров, близких к окружности. Поэтому мы условимся более точно так: положительным напр велением обхода (простого) замкнутого контура на- Ю зывается то, при котором ближзйшая к наблюдателю часть области, ограниченной контуром, оказывается лежащей слева от наблюдателя (рис. 5, а).
В случае левой у ориентации плоскости положительн ы м будет обход контура п о ч а с о в о й с т р е л к е, так что область остается справа ог наблюдателя (рис. 5, б). Заметим, что самое расположение координатных осей на плоскости всегда стае/ вится в связь с ее ориентацией: ось у по- аб Рис. 6. лучается из оси к поворотом ее на 90' и р отив часовой стрелки при правой ориентзции плоскости и по часовой стрелке — при левой (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
