Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Суммирование рядов обобщенное Регулярная точка 434 Риман 429, 432, 619, 631 Римана метод суммирования 616, 618 Ротор 373, 374 Рунге 564, 569 Силовая функция 71 Силовое поле 40, 71, 372 Синус-преобразование Фурье 535, 545 - - - для функции двух переменных 547 Синус, разложение обратной величины на простые дроби 452 Скаляр 366 Скалярное поле 367 - произведение 367 Смит 632 Соленоидальное поле 375 Сонин 400, 407, 409 Сопряженные функции первого и второго рода 536 Сопряженный тригонометрический ряд 480 Спрямляемая кривая 11, 88, 89 Среднее значение, теорема 112, 116, 134, 311 Среднее квадратичное отклонение 583 Статические моменты кривой 18 - - - поверхности 281 - - плоской фигуры 166 - - прямолинейного отрезка 106 - - тела 324 - - цилиндрического бруса 166 Стеклов 585, 595 Стилтьеса — Дарбу суммы 91 - интеграл 90 - - вычисление 100 - - геометрическая иллюстрация 111 - - интегрирование по частям 97 - - классы случаев существования 92, 98 - - непрерывность по верхнему пределу 118 - - оценка 112 - - предельный переход 114, 119 - - приведение к обыкновенному 98 - - свойства 95 - - теорема о среднем 112, 116 - - условие существования 96 Стилтьеса сумма 90 Стокса формула 297, 373 Сторона поверхности 241, 242, 248 Стоячих волн метод, см.
Фурье метод Струны колебание 549 Суммирование рядов обобщенное, метод Римана 619 - тригонометрических рядов в конечном виде 469 - - - обобщенное, метод Пуассона— Абеля 601 - - - - - Римана 616 - - - - - Чезаре — Фейера 607 Сфера, притяжение и потенциал 328, 329 Сферические координаты 266 - - обобщенные 360 - - элемент площади кривой и поверхности 267 Сферический слой, притяжение и потенциал 284, 285 Сходимость интеграла Фурье, признак Дини 528, 531 - - - - Дирихле — Жордана 529, 531 - рядов Фурье абсолютная 593 - - - неравномерная 495, 497 - - - признак Дини 434 Сходимость рядов Фурье, признак Дирихле 438 - - - - Дирихле — Жордана 438 - - - - Липшица 435 ---равномерная 419 - - - - признак Дини 487 - - - - - Дирихле — Жордана 489 - - - - - Липшица 489 Телесный угол 272, 337 Тепла распространение в круглой пластине 561 - - - стержне бесконечном 557 - - - - конечном 553, 559 - - - - полубесконечном 559 - - - теле 370 Тепло, поглощенное газом 43, 73 Теплопроводности уравнение 380, 554, 561 Томсон 383 Тригонометрическая система функций, замкнутость 586 - - - полнота 578, 610 Тригонометрический многочлен 424, 580, 585 - ряд 416 - - лемма о коэффициентах 620 - - не являющийся рядом Фурье 624 - - сопряженный 480 Тригонометрическое интерполирование 424 Тройной интеграл 309 - - как аддитивная функция области 311 - - классы интегрируемых функций 310 - - несобственный 315 - - приведение к повторному 312, 314 - - свойства 310 - - условие существования 310 Угол видимости кривой 63 - - поверхности 338, 371 Узлы 553 Улучшение сходимости рядов Фурье 516 Умножение рядов Фурье 592 Упорядоченная переменная 636 - - предел 636 - - сведение к варианте 645 Упорядоченное множество 632, 633 Фату теорема 611 Фейер 497, 607 Фурье 417 - интеграл 524 - коэффициенты 419, 432, 586 - - обобщенные 424, 560, 562 - - порядок малости 509 - - экстремальное свойство 584, 586 - метод 550, 553, 555, 560, 561, 606 - преобразование 534, 537 - - для функции двух переменных 547 - ряд 419, 427 - - двойной 483 - - комплексная форма 477 - - обобщенный 424 - формула, различные виды 525, 532 - - для функции двух переменных 545 Центр тяжести кривой 18 - - поверхности 277 - - плоской фигуры 166 - - тела 324 - - цилиндрического бруса 167 Центробежная сила 332 Центробежный момент 169, 331 Циклическая постоянная 59, 70 Цилицдрические координаты 343, 354 Цилиндрический отрезок 172 Циркуляция вектора 372 Частичная сумма ряда Фурье, ограниченность 610 - - - - оценка 503 - - сопряженного ряда, оценка 504 Чебышев 146 Четная функция 443, 534, 535, 546 111атуновский 632 1Пварц 248, 603, 614, 616, 629 Эйлер 417 Эйлера метод суммирования 470 - - Фурье формулы 419 Эйлерова постоянная 463 Эквивалентная нулю функция 579 Экстремальное свойство отрезков ряда Фурье 584, 586 Элемент площади в криволинейных координатах 192, 195, 257 - - - полярных координатах 192, 195 - - - сферических координатах 267 - обьема в криволинейных координатах 348, 350 - - - сферических координатах 350 - - - цилиндрических координатах 350 Эллипс 35 - инерции 169 Эллипсоид 172, 173, 268, 269, 363, 396 Эллипсоид инерции 332 Эллиптические интегралы 270, 363 - координаты 189, 228, 229, 345, 355 Энтропия 74 Юнг 463, 590 Ядро положительное 600, 612, 619 - Дирихле 610 - Пуассона 603 - Фейера 608 Якоби 230, 394, 403 Якобиан как коэффициент растяжения 193, 349 гллвл пятнллцлтля КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЪЕСА ф 1, Криволинейные интегралы первого типа 643. Определение криволинейного интеграла первого типа. Лля того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит. Пусть на плоскости дана непрерывная простая з спрямляемая кривая (К) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность р(М) во всех точках М кривой. Требуется определить массу т всей кривой (К1 У С этой целью между концами А и В кривой вставим произвольно ряд . точек А„А„..., А„, (Аа и А; для симметрии обозначений Р 4" отождествляются с А и В).
Мы 4 считаем, что точки эти перенумеро- /И/ наны в направлении от А к В 1см. 246), хотя ничто не мешало бы « г нам нумеровать их и в обратном Рнс. 1. направлении. Взяв какую-нибудь точку М, на дуге А, А,+, кривой, вычислим плотность р(М;) в этой точке. Приближейно считая, что такова же плотность во всех точках этого участка, и обозначая длину дуги А;А,.„через ап для массы т, этой дуги будем иметь приближенное выражение т~ — — р (М;) ен а для всей искомой массы — выражение т= ~я~ ~р(М,)чь Ограничимся для определенности случаем незамкнутой кривой. 12 гл. хт. кгнволннвйныв ннтвггдлы. ннтвгэлл стнлтьяса [543 Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины о, всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через ) наибольшую из длин е„для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу: л-! т= 11ш ~ р(М;) аь ! о! о Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» у(М) =у (х, у), заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой (К) л, и повторим указанный процесс: разбив кривую (К) на элементарные дуги А(А;+, и выбрав на них произвольно по точке М; (1ь т(!), вычислим значения У(М!) =у (Ц, т(() в них и составим сумму л-! ,Я У(М!)о(= ~я~У(1! »1()а(' г-о она представляет собой также своего рода «интегральную сумму».
Аналогичный процесс может быть применен н в случае замкну« т о й кривой, если за точку Аэ (Ал) вйбрать любую ее точку, а остальные точки А, расположить в соответбгвии с тем или другим направлением на кривой [2461. Если при стремлении ) = шах а к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел 1, не зависящий ни от способа дробления кривой (К), ни от выбора точек М! на участках А(А,+„то он называется кр и е о л и пейн ы м и н т е гр а лом (переого типа л*) от функции у(М) =у (х,у), взятым по кривой или по пути (К), и обозначается символом !'= ~ у (М) аз = ) У(х, у) бз (К! (к) т=~ р(М)йж ((о (2) л При этом предполагается, что в основу положена некоторая прямоугольная система координат.
** В отлично от криволинейныхинтегралов второго типа, рассматриваемых ниже [й46). (где з есть длина дуги кривой и аз напоминает об элементарных длинах о,.). Точную характеристику предельного процесса можно предоставить читателю. Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так: ' .$ !. кРЯВОлинеЙные интегРалы пеРВого типа )з Отл(етим особо, что е приеедеппол( определении ~е играет никакой роли и а пр а е ле н и е, которое может быть придано нута (К). Если, например, зта кривая не ззмкнута и под (АВ) и (ВА) разуметь разно направленные кривые, то ~(М)()з= ~ 1(М)((з.
(лв) (вл) Аналогично рассмотренному, мы могли бы ввести понятие интеграла, распространенного на пространственную кривую (К): ~ ((М)(Ь= ~ т(х,у, е)(Ь*. ~К) (К) Ввиду отсутствия новых принципиальных моментов нет надобности вдаваться здесь в подробности. 644. СВЕДбиив К ОбыййОНЕННОМУ ОПРЕДЕЛЕННОМУ ННФЕРРй)ГУ. Предположим, что на кривой (К) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки М на кривой может быть определено длиной дуги г= АМ,отсчитываемой от начальной точки А, Тогда кривая (К) параметрнчески выразится уравнениями вида". х=х(з), у=у(з) (0(з~8), а функция Г(х,у), заданная в точках кривой, сведется к сложной функции Д(х(з), у(з)) от переменной з. Если через з! ((=ОП, ..., п) обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на кривой точкам деления Ап то, очевидно, а, =з(+, — з! =(тз!.
Обозначив через з! значения з, определяющие точки М! (причем, очевидно, з! -.з((з(+!), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла л — ! ч — ! Р, 'У(М!)а)= ~ Д(х(з!), у(з!)) Оз! ( 0 (-о является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного иптегралз, так что сразу имеем: ~ ДМ) ((з = (и) ~ ~(х (з), у (з)) (Ь ч ч, (3) (К) о причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого. ч В основу кладется некоторая прямоугольная система координат. Функ.пня г" определена 'лишь з точках кривой (К).
"* Значок (я) указывает, что интеграл понимается здесь в согласии с обыкновенныы, р и и а н о а ы м определением. 14 гл. хч. кэиволинвйныв ннтвггалы. ннтигвал стилтьвса [644 где функции у и ф непрерывны со своими производными р' и ф'. Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги в=АМ=в(1) отвечает возрастанию пара метр а 1, то з' = [' [~у' (1)Г + [Ф' (1)Г [248 (10)]. Заменяя переменную в интеграле (3) справа, сразу получим: т $ У(М) йл=$ ЧЬЯ Ф(1)) [' [4'(1)Г+[Ф'(г)Рйу (4) (л) ц Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в подинпаегральной функции переменные х и у выражениями координат через параметр, а лаго- житель йв — дифференциалом дуги, как функции параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
