Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть в некоторой связной области (1)) заданы две непрерывные функции Р=Р(х, у) и ьт=ь1(х, у). 46 гл. хч. Кгиволинейнме интегРАлы. интеГРАл стилтьесл 1656 Рассмотрим криволинейный интеграл второго типа ~ Рйх+ Яйу. <лз> Здесь А и В' — какие-нибудь две точки из области (с)), а (АВ)— произвольная соединяющая нх кусочно-гладкая " кривая, которая целиком лежит в этой области.
Основная задача настоящего параграфа состоит в выяснении условий, при которых величина этого интеграла оказывается не зависящей от формы пути (АВ), т. е. однозначно определяется начальной и конечной точками А и В, где бы эти точки не лежали. Поведение интеграла (1) определяется свойствами дифференциального выражения Рак+ Яйу, (2) стоящего под знаком интеграла. Напомним, что мы уже имели, дело с подобного рода выражением, когда речь шла о дифференцируемой функции Р(х, у) от двух переменных и о (полном) ди фференцн а ле ее 11791 (3) которое отождествляется с выражением (2) при дг" дг" дх' ~ ду' Однако далеко не каждое выражение вида (2) есть «точный дифференциал», т.
е. не для каждого такого выражения существует «первообразная функция» Р(х, у), для которой это выражение служит (полным) дифференциалом. И вот оказывается, что интеграл (1) не зависит от пути именно в тех случаях, когда его подинтегральное выражение есть точный дифференциал! Сформулируем это фундаментальной важности утверждение в виде теоремы, доказательству которой будут посвящены ближайшие два пп'. Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение (2) было в рассматриваемой области дифференциалом от некоторой (однозначной*э) функции двух переменных.
666. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути. Допустим сначала, что интеграл (1) не зависит от пути. э Мы ограничимся э этом параграферассмотрением только таких путей интегрирования; этим заведомо обеспечивается существование интеграла (1). «э Читателю впоследствии (5621 станет ясной необходимость водчеркивания однозначности перэообрэзной функции. а э. услОВия незАВисимости интеГРАлА От пути 47 В этом случае интегрзл однозначно определяется заданием точек А(хо,уо) и В(х„у,), в связи с чем его обозначают символом (оь Уо) ~ Р(1х+ (;)Ыу или ~ Р()х+ (4 ((у. А (ло Уо) Здесь указаны только начало и конец пути интегрирования; сам путь не указан, но 'он безразличен — можно интегрировать по любому.
Конечно, без сделанного предположения о независимости от пути такое обозначение не имело бы определенного смысла. Если точку А (хо,уо) фиксировать, а точку В заменить произ'вольной точкой М(х,у) области (В), то полученный интеграл представит собой некоторую ф у н киню от точки М, т. е.
от ее координат х, уг в области (О): (м у) Р(х„у)= $ Р()х+()((у. (4) (ло, Уо) Займемся теперь вопросом об ее частных производных как по х, так и по .у. Взяв произвольную точку В(х„у,) в области (Р), при- Рис. 18. дадим х, приращение Ьх и перейдем к точке С(х) + Ьх, у)), которая при достаточно малом ()х будет тркже принадлежать (Р) вместе со всем отрезком ВС (рис.
1в). Соответствующие значения функции будут (хь Уо) Р(х„у,) = ~ Р()х+ ()Ыу, (оо Уо) (ю + ом уо) Р(х)+ Ьх,у))= ~ Р((х+ Я((у. (ло. Уо) Первый из этих интегралов мы возьмем по произвольной кривой (К), соединяющей точки А и В, а для второго интеграла путь интегрирования составим из этой же кривой (к) и из прямолинейного отрезка ВС. Таким Образом, приращение функции Р будет Р(х,+Ах,у,) — Р(хну )= ~ Р(1х+(4(ту= ~ Р(х,у)г(х) (вс) (вс) интеграл, содержащий ()Ыу, обращается в нуль, так как отрезок ВС перпендикулярен к оси у. 43 Гл тч. кгиволинейные интеггалы. интегРАл стилтьеса [556 Оставшийся интеграл непосредственно приводится к обыкновенному определенному интегралу: для этого в подинтегральной функции нужно заменить у на у, (из уравнения у=у, прямой ВС) и в качестве пределов интегрирования по х взять абсциссы точек В и С.
Окончательно кг+ьк Р(х1-+ Ьх, у,) — Р(хиуг) = йй ~ Р(х, удг(х. Применяя к полученному обыкновенгюму интегралу теорему о среднем и деля обе части равенства на Ьх, найдем "У' =Р(х,+бах,у,) (О ='9(1). Ьх Устремим теперь ах к нулю. В силу непрерывности функции Р(х,у), правая часть равенства, а с нею и левая, стремится к Р(хьу,).
Следовательно, в точке (х„у,) частная производная функция Р по х существует и выражается равенством дР(хи У,) дх — =Р(хиуг). Аналогично устанавливается и формула ( ) ц( ду Так как точка (х„у,) была взята произвольно внутри области (г)), то для всех точек этой области будем иметь д'У =Р(х,у), 'У =Я(х,у). дх Поскольку эти частные производные непрерывны, функция Р(х,у) имеет дифференциал: д +д У +~с(У' совпадающий с подинтегральным выражением для интеграла (1) (1791 '".
Таким образом, для криволинейного интеграла, не за в и с я щего о т и у т и, нам удалось установить результат, вполне аналогичный теореме о дифференцировании обыкновенного определенного интеграла по переменному верхнему пределу 130б, 12'1. Вместе с тем доказана необходимость условия, сформулированного в теореме предыдущего и'. Бели интеграл (1) не * Отсюда, между прочим, вытекает и непрерывность самой функции Р(х,у) по обеим переменным.
997) В 3. УСЛОВИЯ НВЗАВИСИМОСТИ ИНТВГРАЛА ОТ ПУТИ 49 зависит от пути, то выражение (2) действительно будет точным дифференциалом: сзм интеграл (4) при сделанном предположении и дает нам однозначную первообразную функцию для подинтегрального выражения! 557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную. Предположим теперь, обратно, что в ы р а ж е н и е (2) представляет собой (полный) дифференциал от некоторой однозначной функции Ф(х у), так что дФ до дх' ) ду' Рассмотрим какую-нибудь кусочно-гладкую кривую (К), соединяюпгую две данные точки: А с координатами хл, ул и В с координатами х , у .
Пусть параметрическое представление ее будет х=~(0 У=т(0 и при изменении параметра от к до р кривая описывается в направлении от А к В. Таким образом, ~р(а)=хл, ф(к)=уд, Тф)=х, ф(р)=у . Вычисляя теперь криволинейный интеграл вдоль кривой (ц) путем сведения его к обыкновенному интегралу [по формуле (6) и б47), получим 1=) Рс(х+Ог(у= йо з =$(Р( (т). Ит)) '()+а(ж ф(т)И'(жа а или, принимая во внимание (5), а с= ~ (г аОЬф Ги~а= ~ А~ЬМ Ичь а й — по правилу дифференцирования сложной функции. Окончательно )=Ф(7(Т), ф(8)) ~=Ф(~р(р), ф(р)) — Ф(е(з), ф(а)) = а Ф (хв Ув) Ф(хл~ УА).
Итак, при наличии первообразной функции Ф(А4)=Ф(х, У) Я) Гл. хч. ЕРиволинейные интеГРАлы. НнтегРАл стилтьесл 1йлй криволинейный интеграл вычисляется по простой формуле ') Рдх-«-Яс(у=ф(хв, у ) — Ф(х, ул)= (АВ) <Лв Гв) =ф(х,у) (6) 1ЛА РА) или, короче, слв) Эта формула вполне аналогична основной формуле интегрального исчисления «308«, выражающей обыкновенный определенный интеграл через первообразпую. Подчеркнем, однако, еще раз, что она приложима только к таким интегралам, для которых подинтегральное выражение есть точный дифференциал.
Одновременно эта формула показывает, что в р а с с и а т р и в а емом случае интеграл (1) не зависит от выбора крив о й АВ Р, чем устанавливается и д о с т а т о ч н о с т ь условия, указанного в теореме по 666. Таким образом, эта теорема теперь полностью доказана. 668. Признак точного дифференциала и нахождение перво- образной в случае прямоугольной области. Теперь естественно возникает вопрос о том„по какому признаку можно установить, является ли предложенное дифференциальное выражение (2) точным дифференциалом или нет. Ответ на этот вопрос позволит окончательно выяснить и условия независимости криволинейного интеграла от пути. Для того чтобы получить признак в простой и удобной для проверки форме, мы впредь будем дополнительно предполагать, что в рассматриваемой области (О) существуют и не- дР дО прерывны обе частные производные — — и —.
ау ах. При этом предположении искомый признак получается сразу. Если выражение (2) есть дифференциал некоторой функции Ф(х,у), так что имеют место равенства (5): дФ дФ дх' ~ ду' то дР д'Ф дЯ д'Ф ду дх ду ' дх ду дх' " Ибо, именно ввиду о л и о з н а ч н о с т и функции Ф, ее значения Ф (А) и Ф(В) вполне определяются лаланием точек А и В. 558[ $ 3. услОВия независимости интегэалл От пути 5 производных — и дР дьг ду дх производных [190), следо Предположенная непрерывность частных обеспечивает равенство двуя смешанных ватель но, дР дЯ дт дх дФ дФ дх ( 'У)' ф Действительно, ввиду непрерывности функций Р и Я отсюдз ужа следовало бы, что выражение (2) является для упомянутой функцию полным дифференциалом [179). ' Взяв любые значения ха и х в [а, Ь), проинтегрируем первое и;" уравнений (бк) по х от ха до х при любом фиксированном знзчении ) из [с, г(); мы найдем к Ф(х,у)=~ Р(х, у)г(х+Ф(хму).
Если теперь во втором из уравнений (5*) положить х=ха и про интегрировать его по у между любыми значениями уа и у из [с, и[ то получится, что Ф (хм у) = $ ~ч' (хо у) ну+ Ф (ха уа). Уч Таким образом, искомая функция Ф(х, у) необходимо имеет вид к У Ф (х, у) = ~ Р (х, у) дх+ ~ () (ха, у) Ыу+ С, (7 где С=Ф(хм уа)=сопай Остается теперь проверить, что функция, определяемая формулой (7 (какова бы ни была постоянная С), в действительности удовлетворяе[ Тзким образом, это замечательное по простоте соотношение ока зывается необходимым условием для того, чтобы выражение (2; было точным дифференциалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
