Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Изложенное исследование читатель без труда распространит н на случай, когда налицо несколько особых точек нлн «дырокач Пусть, например, имеется Га особых точек А'1я " М» Если А и  — две (отличные от особых) точки области и через (АВ)а обозначена какая-либо определенная кривая, соединяющая этн точки (и не проходящая через особые точки), то общая форма интеграла по любой подобной же кривой (АВ) будет Рг(х+ () ду = ~ Рг1х+ Сгс(у+ л,а~+ ляля+ ... + Льаь, ~АВ1 (.авн Здесь аа (1=1, 2...„д) есть циклическая постоянная, отвечающая 62 гл.
хч. квнволинкйнык интегвалы. инткгвлл стнлтьксл (563 особой точке Ми т. е. величина интеграла 1 Р(тх+ ЯФу, (ь)) взятого в положительном направлении по простому замкнутому контуру ((.(), содержа)нему внутри себя особую точку М, и не содержап(ему других особых точек. Коэффициенты лп пз, ..., л„независимо друг от друга могут принимать любые целые значения. г) 563. Интеграл Гаусса. В некоторых вопросах математической физики приходится рассматривать криволинейный интеграл первого типа: соз(г, л) 6= г )(ар ( ) связываемый с именем Гаусса. Здесь через г обозначена длина г = )г (х — с)'+ (у — т))' Рис. 25 вектора, соединяюп(его внешнюю точку А 6,,) с переменной точкой М(х, у) .кривой (т) (рис, 25), через (г, л) — угол между этим вектором и нормалью к кривой в точке М.
пм(г, л) Так как точка А неизменна, то подинтегральное выражение г представляет собой функцию от координат х, у точки М. Представим интеграл Гаусса в форме криволинейного интеграла второго типа. Если (х, л) и (х, г) суть углы между положительным направлением оси х и направлениями радиуса-вектора и нориали, то, очевидно, (г, л) =(х, л) — (х, г), так что соз(г, л)=сов(х, л) сев(х, г)+ми(х, л) звт(х, ))= х — $ у — ч . = — соз (х, л) + — з)п (х, л). г Г Подставляя зто в интеграл Гаусса, приведем его к виду и= ~ ~ †, з(п (х, л) + †, сов (х, л)~ ((з. (К) Если же воспользоваться формулой (15) и' 353, то и получим искомое выраже- ние интеграла л в виде криволинейного интеграла второго типа: Г у — ч х — а д=.+- —, )(х — —,' ((у, г' г' ( ) где двойной знак отвечает тому или иному выбору направления нормали.
у — ч х — Е Функции Р = —, и 9 = — — е г' — ).е с рывин во всей плоскости ху за исключе точках, отличных от А, удовлетворяется Тельно, равно как и нх производные, непреннем точки А, где г= О. Во всех условие интегрируемости. Действи- д х — ч г' — 2 (у — ч)' (х — $)* — (у — ч)' ду~ г' ) г' ге д ( х — Е! г' — 2(х— дх ( г' ! ге ч)' (х — С)э — (у — т))' так что эти производные равны, Если кривая (Ц замкнута, но не охватывает точки А (и не проходят через нее), то необходимо а=0. Если же замкнутая кривая (Е) охватывает точку А, то интеграл Г а у оса может быть и отличным от нуля, но, как мы видели в предыдущем п', его значение должно быть одним и тем же для всех таких кривых.
Для выяснения этого значения возьмем в качестве кривой (Е) окружность радиуса )ч с центром в точке А. Тогда г=)( н сов(г, я)=1 (если считать, что нормаяь и радиус-вектор имеют одно и то же направление), так что я = — с(в = — ° 2яд( = 2я. ! г ! =л~ () Итак, длв каждой замкнутой кривой (Е), внутри которой находится точка А, будет дв=2я, Г с(м(г, а) г () если нормаль направить во в н е ш н ю ю сторону, как мы это сделали в случае окружности.
Полученные результаты можно было бы легко предвидеть, если предварительно установить геометрический смысл интеграла Г а у с с а: уесть мера угла, лод которым видна иэ точки А кривая (Е) (есаи угол, описывае- У мый радиусом-вектором, идущим из А, при обходе кривой брать со знаком). Для обнаружения этого обстояй! тельства, предположим сначала, что кривая (Е) пересекается с каждым исходящим из А лучом ие более чем в одной точке (рис.26). Пустть далее, нормаль л к кривой напра- лс(е звена в сторону, противоположную точке А, так что 0<(г, я) < —.
2' (! Рис. 26 Возьмем на кривой (Е) элемент дз и опредеяим угол, под которым этот элемент виден из точки А..Если М есть (например, начальная) точка этого элемента, то опишем вокруг А окружность радиусом АМ н спроектируем на эту окружность ваемент дв. Пусть элемент окружности, который 6631 э 3. услОВия ннзависимости интигвлла От нутн 63 64 гл. хи, кзиволинейные интеГРАлы.
интеГРАл стилтьесА )564 служит проекцией элемента г(з, будет >Та. Так как угол между ниии (считая оба элемента приближенно прямолинейными) равен углу (г, л), то л>а = соз (г„п) л>з. С другой стороны, очевидно, >та = гл>Т, где >ту есть центральный угол, отвечающий дуге я>а, т. е. именно тот угол, под которым элемент л>з виден из точки А. Отсюда имеем для этого зле м е нт арного угла вид и мости выражение соз(г, и) >ГТ = ' >тз.
г Наконец, суммируя все элементарные углы, мы получим, что угол видимости для всей кривой (/.) как раз и выражается интегралом я. Если кривая пересекается лучами, исходящими из точки А, более чем в одной точке, но может быть разбита на части, каждая из которых пересекается этими лучами уже лишь в одной точке, то нужно лишь просуммировать интегралы Г а у с с а, относящиеся к этим частям. Выберем на кривой (/) определенное направление, а нормаль будем направлять, например так, чтобы угол между положительно направленной касатель- в ной н нею был+ —. Тогда в одних частях кривой нормаль окажетсв направ- 2' ленной в сторону, противоположную точке А, и интеграл Г а у с с а даст угол ви- димости с плюсом, в других же частях У нормаль будет направлена в сторону точки А, и угол видимости получится с минусом.
В общем интеграл Г а у с с а в этом случае даст алгебраическую сумму углов //л/ видимости. Впрочем, именно эту сумму и 'а, называют углом видимости длл всей крис вой (т'.), понимая„таким образом, под углом видимости полную и е р у в р а щ е н и я луча / зрения от начала к концу кривой. Ф Если кривая замкнута и окружает точ- ку А, то непосредственно ясно, что угол 0 видимости кривой есть 2к. Если же замкну- тзя кривая не охватывает точку А, то углы Рнс. 27.
видимости, взаимно уничтожаясь благодаря разнице знаков, в сумме дают нуль. Для простого случая, изображенного на рис. 27, кривая (Е) распадается на две части:(/.>) и (/а), видные из А под одним и тем же углом; но для кривой (7.>) этот угол получается с плюсом, а для (/.а) — с минусом. Все'это полностью согласуется со сказанным выше. 3 А м в ч А н и к. Геометрическая трактовка интеграла Г а у с с а позволяет усмотреть, что в случае, когда замкнутая кривая (/.) проходит через точку А и в этой точке имеет касательную, значение интеграла будет я, Если точка А будет у г л о в о й и угол между односторонними касательными в ней равен а, то таково же будет и значение интеграла Гаусса.
Для аналитического обоснования указанного результата следовало бы сначала выделить из (7) некоторую окрестность точки А, а затем перейти к пределу> сжимая эту окрестность. Б64. Трехмерный случай. Все проведенное выше исследование может быть повторено и для трехмерного случая.
Пусть в некоторой трехмерной области ((/) определены н непрерывны трн функции: Р(х, у, г), Я(х, у, х), Я(х, у, л); станем 1 Р г)х+ Я йу + Рс г(« (Ав) (13) по произвольной лежащей в этой области кривой (АВ). Рассуждения пп' 666 и 667 переносятся на рассматриваемый случай непосредственно и без изменений. Таким образом, и здесь имеет место теорема, аналогичная теореме 1 п' Ббб: вопрос о независимости интеграла (13) о)и пути интегрирования приводится к вопросу о том, будет ли дифференциальное выражение Р Нх + О г(у + й )(« (14) точным дифференциалом, т. е. будет ли существовать такая (епервообразнаяъ) функция Ф(х, у, «), полный дифференциал которой дФ дФ дФ дх ду де — )(х + — г(у+ — а)« совпадает с выражением (14). Отметим попутно, что если такая функцня существует, то интеграл (13) выражается разностью двух ее конечных значений; ~ Р,(х+Оду+Яб«=Ф(В) — Ф(А)=Ф(А4) („в (Рб) 1АВ) 1ср.
Б67 (6*)1. Затем, как и выше, встает вопрос о признаках точного дифференциала. Допустим существование в области (1г) непрерывных производных дР дР д0 дЯ д1~ д)1 ду ' дг ' дг ' дх ' дх ' ду ' Тогда, если выражение (14) есть дифференциал некоторой функции Ф(х, у, «), так что имеют место равенства дФ дФ дФ Р= — О= — Я=— дх' ду ' д« ' (16) то дЯ д'Ф дЯ д'Ф дв дудг ' дх дудх) дД д'Ф ду=д ду.
др д'Ф др д'Ф ду дхду' дг дхд«' дР дгФ дх д«дх' Все этн производные, по предположению, непрерывны; а тогда [191) имеют место равенства др дЯ дЯ д/~ д)7 др ду дх' де ду' дх дв' 3 Г. М. Фяхтенгольц, т. )П (Б) йй4) а а. гсловия независимости интвп алл от пяти 65 рассматривать криволинейный интеграл 66 Гл. хч. ЕРиволинейные интеГРАлы. НнтеГРАл стилтьесА 1М4 Таким образом, какова бы ни была область (Ъ'), условия (Б) являются необходимыми для того, чтобы выражение (14) было точным дифференциалом, а следовательно, и для того, чтобы интеграл (13) не зависел от пути Переходя к вопросу о достаточности этих условий, мы ограничимся здесь случаем, когда область (Р) есть прямоугольный параллелепипед Щ=1а, Ь; с, 4 е, Я. Здесь мы повторим построения п' 558. 11ля определения функции Ф(х,у, г) из условий (16), проинтегрируем первое из ннх по х между х, и х(а .хм х(д), считая у и г произвольно фиксированными в соответствующих промежутках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
