Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 8
Текст из файла (страница 8)
13). Доказать, что объем Ъ'тела выражается формулой ,, й Р,+4(),+(),) (13) где Ь означает высоту тела,. а 14„ 1е, и ()в суть площади его оснований й среднего сечения. Мы знаем, что объем ьг по площади 0 = Ьг(х) поперечных сечений выражается формулой ь р=) () (х) в(х а и [сч, 342[юС другой стороны, фориула Симпсона: Ь () (х) в(х= — (()в+4(),+()в), Ь а если 9 (х) есть многочлен степени не ЗЩ сноска).
На деле, как мы увидим, в т о р о й степени. Пусть Рис. 13. выше третьей, является т о ч н о й [см. ()(х) представляет собой многочлен (13) у=ах+2, * С соблюдением, конечно, высказанных условий, о которых для простоты мы здесь уже не будем упоминать. йй гл. лщ каиволиицйиыв иитвгвллы. интвгвлл стилтьвсл 15И будут уравнения образующей той лииейчатой поверхности, которая ограничивает наше тело.
При атом можно предположить, что коэффициенты а, З, 1, Ь являются функциями от некоторого параметра С, при изменении которого (скажем, от Г, до Т) образующая и описывает поверхность. Если теперь пересечь поверхность плоскостью, параллельной плоскости ух, на расстоянии х от иее, то в сечении получится кривая, проекция которой (без искажения!) на плоскость ул как раз и будет иметь уравнения (!3) своими параметрическими уравнениями.
Предположим, что при изменении С от С до Т контуры всех сечений описываются (соответствующими точками образующей) в положительномиаправлении. Тогда площадь сечения, например, по формуле, аналогичной (10), выразится так: Д (х) = ~ у лл = $ (ох+ й) И (Тх+ Ь) = ,1, = х' ° ( ос!1 + х ° ~ (а тЬЬ + Ь ИТ) + г1 Ь па, ~о то го т. е. действительно представится квадратным трехчленом от х. Легко показать, что формула, аналогичная формуле (12), применима и к вычислению статического момента нашего тела относительно плоскости ул. Этот момент выражается интегралом [356, 1)), и здесь подинтегральиая функция будет полиномом т р е т ь е й степени.
663. Связь между криволинейными интегралами обоих типов. Рассмотрим г л а дк у ю кривую (К)=(АВ) и, выбрав в качестве параметра дугу з= АМ, представим ее уравнениями х=х(з), у=у(з), (О =.з~8). функции х(з), у(з) будут иметь непрерывные производные- х'(з), у'(з). Если через а обозначить угол, составленный с осью х касательной, направленной в сторону возрастания дуг, то, как известно 1249 (16)), соз а=х'(з), з!пи=у'(з). Если вдоль кривой (К) задана непрерывная функция у (М) = =Т(х, у), то последовательно имеем ~ У(М)т(х=)гУ(х(з), у (з)) х'(з)сЬ= !К! о = ~ У(х (з), у (г)) соз к тЬ = г) т (М) соз а сЬ, о (К! н криволинейный интеграл второго типа оказался сведенным к криволинейному интегралу первого типа.
ййй) 0 3. КРИВОЛИНВЙНЫВ ИНТВГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА Аналогично получается )г г(М)((у = г) т (()() з<п ав(з. (К1 <(О Если же заданы две непрерывные вдоль кривой (К) функции Р(М)=Р(х, у) и Я(М) = Я(х, у), то ~ Р(ах+ ЯЫу= ~ (Рсоа а+Я 01п а)((з. (<О <(О (14) Подчеркнем, что во всех этих формулах угол а связан с тем направлением касательной, которое отвечает направлению самой кривой (К).
Если изменить направление кривой, то не только интеграл слева изменит знак: ввиду изменения направления касательной угол а изменится на <-в, в связи с чем изменит знак и интеграл справа. Очсвидно, выведенные формулы остаются справедливыми и для кусочно-гладкой кривой без кратных и особых точек; в этом легко убедиться, если написать их для каждого из гладких кусков кривой и почленно сложить. В виде упражнения предложим себе преобразовать формулу (11) для яяощади к криволинейному интегралу и е р в о г о т и и а: 1 1 Г Р= — 1 хну — уз(х= — (х япа — усова) <(з, =2,1 2 (к) ( Если перейти к полярным координатам г, О, то получим, далее, 1 г 1 )) = — г(з1п чс<аэ — соя а за 0) ((з= — гяп(а — 0) л'и.
2 ~ 2 Д ( (К) Заметив, что ч — 0 есть угол (г, г) между радиусом-вектором точки и касатель- ной в ней, можно придать формуле такой окончательный вид: В= — гяп(г, Г)((з. 1 г ( Аналогичные соображения можно развить и для криволинейных интегралов по пространственной кривой. В результате получится формула Г )Р(1х+(с~У+Я(Ь= ~ (Рсоз а+Ясозр+г< сову)((з, <к1 <К( где сова, совр, сову суть направляющие косинусы касательной, в предположения, что ее направление отвечает направлению пути интегрирования. Для случая плоской кривой иногда удобна формула, связывающая криволинейные интегралы обоих типов и содержащая угол между 40 Гл, хУ.
криволинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА (564 осью х и и о р м а л ь ю к кривой, на которую распространены интегралы. Если приписать нормали такое направление, чтобы угол у.(г, и) между касательной и нормалью был равен+ — *, так что то соз а= з1п (х, и), з1п а= — соз (х, п). Тогда, например, формула (14) может быть написана в виде ) Рггх+ ЯАу= ~ <Р з!п (х, л) — Я соз (х, и)) сЬ. (15) <к! <к) 554.
физические задачи. Остановимся в заключение на нескольких физических задачах, в которых криволинейные интегралы находят себе применение. 1) Рабожа силового поля. Пусть в каждой точке М плоскости ху (или определенной части плоскости) на помещенную в нее единицу массы действует определенная сила Р, величина и направление каморой зааисяю малько опт положения жанки М; если масса т помещенной в точке М материальной точки отлична от единицы, то действующая на нее сила будет равна щР.
При этих условиях плоскость (или рассматриваемая ее часть) называется (плоским) силовым полем, а сила Р, действующая на единицу массы, — напряжением поля. Задание Г силы Р по величине и направлению рав- носильно заданию ее проекций Х, г" на < 44, < оси, очевидно, являющихся функциями от координат х, у точки М: < су д х Х=Х(х, у), У=у'(х, у).
Если обозначить через Т угол, составленРис. !4. ный вектором Р с осью х, то (рис. 14) Х=РомТ, У=Ра!пТ. (16) Предположим теперь, что материальная точка М с единичной массой, находящаяся в поле, движется и описывает некоторую непрерывную кривую(К) в определенном направлении. Задача состоит в вычислении работы А, которую при этом движении совершают силы поля. Если бы действующая на точку сила сохраняла постоянную величину Р и постоянное направление, а само перемещение точки происходило прямолинейно, то, как известно, работа А выразилась бы произведением перемещения ! на проекцию силы на направление перемещения: А =Р1 сов 0, где 3 — угол между силой Р и направлением перемещения.
а Направление отсчета углов должно быть согласовано с ориентацией плоскости! 5541 0 2. КРИВОЛИНВЙНЫВ ИНТВГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА 41 В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы работа определяется с.помощью некоторого предельного процесса. Можно, впрочем,прибегнуть для краткости к привычному в приложениях сметоду суммирования бесконечно малых>(ср.34Щ.
Станем определить положение точки М на кривой (К) (рис. 15) длиной з дуги АМ, Рассмотрим бесконечно малый элемент МАГ= дз кривой и будем приближенно считать, что сила Р н угол В на перемещении дзсохраняют своювеличину, Тогда соответствующий элемент работы будет дА = Рсоа 0 дл. Теперь остается лишь спросуммирозатьа эти элементы вдоль всей кривой (Х), в результате чего работа А выразится криволинейным интегралом первого типа: А= ~ Рссмбда. (17) 1Хс1 -( Ах,)- хс Хсн Рис. 15. Введем угол а между напра- влением элемента стз(т..е.направле- нием касательной к кривой в точке М) и осью х.
Очевидно, В = Т вЂ” а, тан что ссм 0 = соз Т соз а+ яп Т яп а, и элемент интеграла пишется так: (Рсозу ° сова+ Ряпу ° япа) дз или, ввиду (16): (Хсоза+ Уяпа) йз. Само выражение (17) для работы примет вид: А= ~ (Хсоэа+ Узш а) дз. РО Если теперь учесть формулу (14), устанавливающую связь между криволинейными интегралами обоил типов, то, окончательно, работа силового поля выразится к)виволинейным интегралом второго типа: А = ~ Хдх+ У1у. (18) " Которую мы и выберем за плоскость ху. Это и есть наиболее употребительное выражение для работы, удобное дли исследования ряда важных, связанных с нею вопросов: зависит ли произведенная работа от формы траектории, соединяющей данные две точки; будет лн работа по замкнутой траектории всегда равна нулю (об этом см.
ниже и'и' 555 — 562). 2) Плоское устиноеилшееся течение несжимаемой жидкосгии. Такое движение характеризуется тем, что, во-первых, в с е ч а с т и ц ы, л е ж а щ и е на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же с к орос т ь, параллельную этой плоскости, так что для характеристики всего движейия достаточно изучить движение в одной лишь плоскости*, и, во вторых, скорость с частицы жидкости зависит 'только от положения частицы, но не от времени.
Таким образом, с каждой геометрической точкой рассматриваемой плоскости (или ее части) связана определенная по величине и направлению скорость; иными словами, задано некоторое <поле скорости». Если обозначить угол, составленный вектором с с осью х, через Т,а проекции этого вектора на координатные осн (слагающие скоростй по осям) через и и о, то (рис.
16, и) и=ел=егозу, п=ст —— сапу. Возьмем теперь в плоскости ху какую-нибудь кривую (К) и постараемся определить количество 0 жидкости, протекающей через нее в о п р е д е л е ни у ю о т н е е с т о р о н у в единицу времени. Предполагая жидкость несжимаемой, можно количество жидкости измерять площадью закрытой ею фигуры, Рис. 16. Если фактически жидкость течет в сторону, противоположную выбранной, то количество протекающей жидкости будем считать отрицательным. Рассмотрим элемент йл =АВ кривой (К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
