Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. не пересекающему себя) замкнутому контуру его ни взять, то он будет нулем и при всягсом замкнутом контуре, хотя бы и самопересекающемся, В силу леммы, установленной в и' 660, достаточно доказать зто утверждение для любой замкнутой ломаной, хотя бы и самопересекающейся. Пусть (Е) н будет такая ломаная, определенным образом направленная. Исходя из некоторой ее точки Мь и следуя направлению ю лома ной, опишем часть ломаной до первого самопересечения — в точке Мь Отбросив получившуюся замкнутую ломаную (Е,), продолжим путь М«Мг до нового самопересечення, что позволит выделить еще одну замкнутую ломаную (1.,), и т. д. После конечного числа шагов ломаная (Е) окажется распавшейся на конечное число не пересекающих себя замкнутых ломаных (С,), (~я), ..., вдоль по которым интеграл заведомо нуль.
Значит, он равен нулю и вдоль ломаной (Е), что и требовалось доказать. Таким образом, нами доказана полезная Теорема 4. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от пути, необходимо а достаточно, чтобы интеграл, (9) по любому замкнутому контуру был равен нулю. При этом условие остается достаточным и в тол« случае, если ограничиться лишь простыма (т. е. не пересекающими себя) замкнутыми контурами.
Теперь ясно, что об обращении в нуль интеграла (9) по замкнутому пути можно судить с помощью того же критерия, который в теореме 3 был установлен для независимости интеграла (1) от пути; Теорема 5. Для того чтобы интеграл (9), по какому бы замкнутому контуру в пределах области (О) его ни взять, обращался в нуль, необходимо, а в случае о дно связности областии (11) и достаточно выполнение условия (А).
Это условие остается необходимым и в том случае, если ограничиться лишь простыми (т. е. не пересекающими себя) замкнутыми контурами. Ниже [6011, располагая более развитым аппаратом (двойные интегралы, формула Гр и на), мы вернемся к вопросам, рассмотренным в настоящем параграфе, и некоторые из установленных здесь результатов получим вновь и притом более экономным образом. 662. Случай неодиосвязной области или наличия особых точек. Вся теория, развитая в настоящем параграфе и связанная с использованием условия интегрируемости (А), основана на предположении, что 1) рассматриваемая область (11) односвязна, т.
е. лишена «дырок», 58 гл. хч. кгиволиньйныв интвг»АЛы. иитЕГ»АЛ Стилтьвол )562 и 2) функции Р и Я вместе со своими производными — и — в области дР д(;) ду дх (В) непр ер ы вн ы. Если эти условия нарушены, то высказанные выше у~верждения, вообще говоря, перестают быть верными. Разобраться в представляющихся при этом особенностях и составляет цель этого п'. Отметим, что «особые» точки, в которых нарушены условия непрерывности 2), тоже могут трактоваться, если их выключить из области, как своего рода точечные «дырки». Таким образом, вопрос сводится к рассмотрению области (Е)), в которой выполнены все требования непрерывности и условие (А), но зато имеется одна или несколько «дырок», точечных или нет.
Впрочем, для определенности в дальнейшем изложении мы предпочтем ограничиться именно случаем точечных «дырок», т. е. особых точек. Общий случай трактуется совершенно ана- ЛОГИЧНО. Предположим сначала, что область (Р) содержит одну особую точку М (но не имеет других «дырок»).
Возьмем в этой области простой замкнутый контур (Е) и рассмотрим интеграл (9) ') Р(Ех+ Яс(у. Рис. 23 Если этот контур не охватывает особой точки, то интеграл по-прежнему равен нулю. Если же точка М лежит внутри контура (Е), то интеграл может оказаться и отличным от нуля. Весьма замечательно, однако, что Все интегралы, взятие в положительном направлении [Б48) по всевозможным контурам указанного типа, окружающим то«ну М, равны между собой. В самом деле, рассмотрим два кусочно-гладких контура (Е,) и (Еч), окружающих точку М. Можно считать их взаимно не пересекающимися, ибо в противном случае мы ввели бы третий контур (Е»), охватывающий оба контура (Е,), (Е,) н не пересекающий их, и рассмотрели бы отдельно пары контуров (Е,), (Е,) и (Еа), (Е,).
Кривые (Е,) и (Е,) вместе составляют контур кольцеобразной области (Ь), заключенной между ними (рис. 23). С помощью двух разрезов (А)А») и (В)В«) разобьем эту область на две уже одиосвязные части (с)') и (Ь''). Тогда мы имеем право писать: +~+ ~ +~=о (А~Муз~) (В1зд) (В»М»А») (А»А~) 1 +1+ 1 +3= (В1Н,А~) (АгА») (А»наВ») (В»ВД 994 ч а.
условия незАвисимости интеГРАлА От пути 59 При складывании интегралы, взятые ло разрезам в противоположных направлениях, взаимно уничтожатся, и мы получим + ~ =о, (А[М>В>н>А>) (АРМРВ~М1АР) откуда, наконец, или (А>М>В>н>А>) (А1М„В,В1лд (> ) (Е ) причем последние интегралы берутся оба в положительном направлении.
Наше утверждение доказано. Обозначим общее значение всех подобных интегралов через а', его называют циклической постоянной, отвечающей особой точке М*. Покажем теперь, что если (1.) — л ю б о и вамкиутый контур в области (В), хотя бы и пересекающий себя, но не проходящий через особую точку М, то ~ Рс(х+ Я[(у=па, (Е) где и есть целое число (положительное, отрицательное или нуль). Это очевидно для многоугольного контура, так как он распадается на конечное число не пересекающих себя замкнутых многоугольных контуров, вдоль каждого из которых интеграл равен нулю или + а. В общем же случае мы снова воспользуемся леммой, установленной в и' Б50 (и замечанием к ней) и прибегнем к предельному переходу, исходя из вписанной в кривую ломаной. Так как выражение вида па (при а =,с 0 и целом п) может стремиться к конечному пределу лишь того же вида (с тем, что число и в конце концов перестает изменяться), то формула (12) оказывается верной для любого контура (А).
Перейдем теперь к рассмотрению интеграла по кривой, соединяющей точки А(хм у,) и В(хн у[) области (О), но не проходящей через особую точку. Ясли (АВ), есть одна из таких кривых, а (АВ)— любая другая, то (АВ) и (ВА)а вместе составят замкнутый контур, так что, в силу (12), г) Рйх+ б)(()>+ ~ Рйх+ (.)[(у = па, (АВ> (ВА)о откуда ') Рйх+ЯЫу= ) Рйх+Яйу+па. (АВ) (АВ)а * Соверщенно так же определяется и циклическая постоянная, отвечающая настоящей — неточечиай — чдыркек 60 гл.
хч. кяиволннвйныв интвгяалы. интягялл стилтьвсл (662 Здесь интеграл резльно зависит от пути интег р и р о в а н и я, но лишь в смысле прибавления целого кратного циклической пос~оянной в. Присоединяя к кривой (АВ)о то или иное число петель, окружающих точку М (рис.
24), можно добиться того, чтобы множитель и принял любое наперед выбранное целое значение. Иными словами, в рассматриваемом случае символ (хь уо) Р(ох+ Я(()) = ~ Р(ох+ Оду (хо. уо) (Аз) Ори заданных А и В уже не является (если вф0) однозначным; он определен с точностью до слагаемого вида пв, где и = О, +.
1, .+. 2, Если точку В заменить переменной точкой М(х, у), то интеграл (х, у) Р(х,у)= ~ Рйх+ЯЫу (хо уо) по-прежнему представит пер в о образную Яуннцию 0 для выраженияР(ох+ Я 0у,нери«. 24. прерывную (исключая, конечно, точкуМ),но многозначную. Важно дать себе отчет в существенном отличии рассматриваемого случая от изученного выше (566, 558, 559).
И там можно было бы говорить о «многозначности» первообразной, поскольку последняя со. держала з своем выражении произвольную постоянную. Однако стоило лишь фиксировать эту постоянную, чтобы получить одноз н а ч н у ю функцию во всей рассматриваемой области; никакой принудительной связи между отдельными «ветзями» многозначной перво- образной там не было. Здесь же «ветви», р аз н я щие с я на кр атное циклической постоянной, уже нельзя рассматривать обособленно, ибо при вращении вокруг особой точки они непрер ы в н ы м образом переходят одна в другую «.
Для иллюстрации всего изложенного здесь в качестве примера положим У Р= —. +у" Я=;+;. Эти функции с их производными непрерывны во всей плоскости за исключением начала координат 0(0, О), которое, таким образом, «С подобным обстоятельством мы имеем дело в случае многозначных функций комплексной переменной (ср., например, 458); нетрудно усмотреть, что и то, и другое связано со свойствами плоск ости. 062) $3. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ О1 является единственной особой точкой. Непосредственно проверяется, что условие интегрируемости везде (разумеется, кроме начала координат) выполнено: дР дч1 у' — х' ду дх (х'+ у")' Легко Вычислить, что интеграл хду — удх ха +уа У йн взятый в положительном направлении по любой окружности с центром з начале, равен 2я.
Такова здесь циклическая постоянная, отвечающая начальной точке. Первообразная для дифференциального выражения хду — удх х'+у" легко угадывается: это — полярный угол 0, в чем легко убедиться, если подставить сюда х=г соз О, у=гзш О. Следовательно, общий внд первообразной будет 0+С (С=сова(). Однако с каким бы значением полярного угла 0 мы не исходили в данной точке плоскости, отличной От начала, если заставить точку сделать и оборотов вокруг начала в ту илн другую сторону, угол 0, непрерывно изменяясь, получит при возвращении точки в исходное положение приращение + 2ля, кратное циклической постоянной. Таким образом, если рассматривать здесь первообразную во всей плоскости или в ее части, содержащей внутри начало координат (конечно, само начало исключается), то приходится считаться с многозначностью, как с неотъемлемым ее свойством; ветви ее, разнящиеся на целое кратное 2я, в известном смысле неотделимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
