Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Весьма естественно заняться выяснением условий, при которых работа сил поля зависит лишь от начального и конечного положений точки, но не от формы траектории. Этот вопрос, очевидно, равносилен вопросу о независимости значения криволинейного интеграла (19) от пухи интегрирования.
Поэтому искомым условием является равенство дХ д)' (Ю) в предположении, конечно, что область, окватываемая полем, односвязна н что особые точки отсутствуют. То же условие можно выразить и в такой форме: работа сил поля при перемещении материальной точки из одного положения в другое нс зависит ов формы траектории в вом и только в вом случае, когда з л ем с и т ар и а я работа Хдх+ г'ду служив полным дифференциалом ов некоторой однозначной функции У(х,у).
Эту функцию обычно называют силовой или потенциальной; в случае се существования само поле пояучает наименование потенциального. Работа потенциального поля при перемещении точка из положения А(х„у,) в положение В(хиус) равна [см.557 (6)[ просто соответствующемт приращению силовой функции: У(хи у,) — У(хм у,)=У(В) — У(А). 72 гд. хч. «вмволннпйныв ннтнгвлды. ннтвгвлл стнлтьнса 1ббб В качестве примера рассмотрим иоле ньютоновского притяжения.
Есяи в начале координат О поместить массу и, а в точку А — массу 1, то эта последняя будет притягиваться к центру О с силой Р, равной по величине Р л где г = )г х' +у' есть расстояние точки А от начала. Так как косинусы угх у лов, составляемых этой силой с осями, будут — — и — —, то проекции сиг г' лы Р нз оси выразятся так: Х= — — 1'= — —. рх иу г г ав з. Непосредственно ясно, что ньютоновское поле является потенциальным, поскольку выражение — — лх — — г(у их иу гз (21) служит дифференциалом для функции и= в-, г которая и играет здесь роль потенциальной функции; ее называют ньютоновским потенциалом (поля точки О), Несмотря на наличие особой точки (начало координат), функция эта однозначна: интеграл от выражения (21) ло замкнутому контуру будет нулем, даже если контур охватывает начало(чцикгическая постояннаяь здесь равна нулю!).
Прн перемещении точки из положения А в поаоженне В силы полл произведут работу А= — — —, с р гн гл ' где гл и гл суть расстояния точек А и В от центра. При удалении точки В в бесконечность работа превратится в — †; она будет равна как раз велигл чине ньютоновского потенциала —, если точка перемещается из бесконечногл' сти в положение А. Примерами не потенциальных полей могут служить поля, образованные силой Р=йг или Р= — (а=сопл!), й л направление которой составляет угол + — с направлением радиуса-вектора г. 2 Все сказанное здесь легко переносится и на случай и р о с т р а н с т в е ни о г о силового поля. 2) Плоское установившееся течение несжимаемой жидкости, Если через и, о обозначить слагающие по осям вектора-скорости, то, как мы вывели в п' йбч, 2), количество жидкости, втекающей в единицу времени через замкнутый контур (К) внутрь, равно О = 1 о йх — и ау (Ус) 565] в з, хсг!овия независимости интегвлпл от пити 73 [см.
554 (22)[. В случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источянков и стоков этот интеграл всегда будет нулем. Отсюда следует, что слагающие и, о вектора-скорости необходимо подчинены условию ди до — + — =О. дх ду Тогда подинтегральное выражение и дх — и ду имеет первообразную функцию у(М)=7(х, у), которую в гидромеханике называют функцией шока, Если взять любую кривую (АВ), соединяющую точки А и В, то, как известно [554 (22) [, количество жидкости, протекающей через нее в едннйцу времени в определенную сторону, .выражается интегралом о дх — и ду, !лв! причем направление на кривой (АВ) должно быть таким, чтобы нормаль,направленная в упомянутую сторону, составляла с положительно направленной касательной угол-1- —.
Теперь мы видим, что эта величина попросту равна раз- 2' ности 7(В) — 7(А) значений функции тока на концах кривой! 3) Тепло, поглощенное газом. Рассмотрим вновь [554, 3)[ вопрос о количестве тепла, полученном данной массой (скажем, ! молем) идеального газа при изменении его состояния. Если самый процесс измененив состоянив газа характеризуется кривой (К) на плоскости !г, то, как мы видели в и' 554, 3), помянутое количество тепла выразится криволинейным интегралом см.
там (23)]: (7= ь '— рд + — "Рдр ~ 77 ! ) (мы сохраняем прежние обозначения); Если, как это делачтся обычно, считать теплоемкости с н ср газа (прн постоянном объеме и при постоянном давлении) неизменнымй, то условие интегрируемости здесь явно нарушено. Действительно, введу того что срфсэ, будет д(сл ) е д (Ее ) с„ Отсюда следует, что количееглао шелла У ке являемся функцией ою сосжояния газа и зависит от того процесса, который к атому состоянию привел.
Даже при циклическом процессе, возвращающем газ в его первоначальное состояние, газ может приобрести (или потерять) некоторое количество тепла. Если выражение элементарного количества тепла умножить на — где Т= — есть абсолютная температура газа, то придем к р)г Т' !2 выражению Жг Ж' ар — =с — +с л1;+ которое явно представлнет собой полный дифференциал. Первообразной здесь служит функция 3 = ер !п )г+ св !и р.
74 Гл, хх кРиВОлинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА 1567 Криволинейный интеграя (Ро.Ро1 уже не зависит от пути интегрирования, соединяющего постоянную точку (унр,) с переменной точкой ($~, р) и лишь постоянной отличается от указанной выше Функции 8. Этим интегралом определяется некоторая физическая величина(гая называемая з н т р о п и я), уже являющаяся функцией состояния газа и играющая важную роль в тепловых расчетах. ф 4.
Функции с ограннченным нзмененмем 567. Определение функции с ограниченным изменением. Настоящий параграф представляет некоторое отступление от основной линии этой главы. Он посвящен ознакомлению читателя с важным классом функций (указанным в заголовке), который был введен в науку Жорданом (С. Логдап). Этот класс функций будет играть основную роль в том обобщении понятии определенного интеграла, которым мы займемся в следующем параграфа Впрочем, и во многих других вопросах математического анализа класс функций с ограниченным изменением имеет важное значение.
Пусть функция )'(х) определена в некотором конечном промежутке '(а, Ь), где а(Ь. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления: а=х,(х,(хо( ... (х,(х,,( ... (х„=Ь (подобно тому, как мы это делали при составлении интегральных или римановых сумм„устанавливая понятие определенного интеграла). Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму я-1 и = ~ч '„(дхыс) — ) (хс) !.
с-о Теперь весь вопрос в том, будет лн множество этих чисел, отвечающих различным способам дробления промежутка [а, Ь] на части, ограничено сверху или нет. Если сулслсы (1) в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция л(х) в промежутке ')а, Ь) илсеет огранссченное изменение (или ограниченную вариацию). Прн этом точную верхнюю границу этих сумм называют полным измен е н и е м (или полной вариацией) функции в указанном промежутке н обозначают символом ~1(у(х)=зцр (в). а 75 007! ч е екнкцин с огэлниченным изменением Можно применять это понятие и ' в случае функции не ограниченного изменения, но тогда полное изменение будет равно + со.
По самому определению точной верхней границы,в обоих случаях, надлежаще выбирая подразделения промежутка [а, Ь], можно достигнуть произвольной близости сумм о к полному изменению а 7 ,г(х). Инымн словами, можно выбрать такую последовательность а подразделений, чтобы полное изменение служило пределом для последовательности соответствующих сумм о. Иногда ставится вопрос об ограниченности изменения функции у(х)в бесконечном промежутке, например, в промежутке [а, + со]. Говорят, что функция у(х) имеет ограниченное изменение в промежутке [а, +со(, если она является функцией с ограниченным изменением в любой его конечной части [а, А( и полные измене- А ния Д,у(х) ограничены в их совокупности.
Во всех случаях мы а полагаем ~[~р(х)= апр ( 1[( г(х)~, Отметим, что в этих определениях никакой роли не играет вопрос о н е п р е р ы в н о с т и функции у (х). Примером функции с ограниченным изменением в конечном или бесконечном промежутке [а, Ь( может служить любая ограниченная монотонная функциц Если промежуток [а, Ь) конечный, то это сразу следует из того, что а — 1 а — ! о = ~ (У(х!а!) — уа (х ) ( = ~ ~ [г (х! !) — у (х!)( ) = (,г (Ь) — уа (а) (, ю-о Ф=а а так что и Д,г(х)=~У(Ь) — У(а)(. Для промежутка [а, +ос(, очеа видно, будет +оа 1( у (х) = апр ( ) у (А) — у (а) ( [ = (у (+ оо) — у (а) (, А>а а разумея под у(+ос), как обычно, предел йщ Д(А).
А +со Дадим теперь пример непрерывной функции, которая, однако, не будет Функцией с ограниченным изменением. Положим У (х) = х соз — (дая х ф О), у (О) = 0 76 гл. хч. кгиволннейные интегвллы. интегвлл стилтьеса )666 1). Если за точки деления этого про- н рассмотрим, например, промежуток [О межутка принять точки 1 1 О< — < — ( 2п 2п — ! ! 1 < — с — <1 3 2 то, как легко убедиться, +2+ "'+ 1 1 и и [см. 365, 1Ц 1 1!( у(х)=авр(о) =+ еа. о 668. Классы функций с ограниченным изменением. Мы уже упоминали о том, что монотонная функция имеет ограниченное изменение.
Можно следующим образом расширить этот класс функций: 1'. Если функцияУ(х), заданная в промежутке [а, Ь1, такова, что этот промежуток может быть разложен на конечное число частей так что м-1 и= "', )~(аь„,) — у(аь)[. Так как произвольная сумма и не превосходит этого числа, то оно и будет полным изменением функции. *Протакуюфункциюговорят,чтоона кусочно-монотонна в промежутке [а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
