Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Достаточность ясна из того, что при наличии равенства (1О) функция Р(х) = я(х)+ и (х) служит мажорантои, нбо )у(х) — у(х)) ~ [й(х) — ь (х))+ [й(х") — й(х)) =Р(х) — Р (х). 84 гл. хч. кливолинвйныв ннтвггллы. интвгллл стилтьвсл 1871 В виде упражнения предлагается читателю: 1) опираясь на установленные критерии, наново доказать утверждения 1' — 4' предыдущего п'; 2) для рассмотренных в п' 868 классов функций с ограниченным изменением непосредственно установить наличие монотонной мажоранты и возможность представления в виде разности монотонных функций. По поводу теоремы 7' сделаем дополнительное з а м е ч а н и е. Так 'как функции и и й обе ограничены, то путем прибавления к ним одной и той же постоянной всегда можно добиться того, чтобы они обе стали положительными.
Точно так же, прибавляя к функциям д и й какую-либо возрастающую в строгом смысле, но ограниченную функцию (например, агс1пх), придем к такому разложени1о вида (10), где обе функции будут уже строго вопр встающими. Установленная в 7' возможность сведбния функций с ограниченным изменением в некотором смысле к монотонным функциям не должна создавать у читателя иллюзий относительно «простоты» поведения функций с ограниченным изменением: ведь б е с к о н е ч н о колеблющаяся функция 1 У(х)=х' з1п — (х ~- '0), У(0)=0, которая была рассмотрена в п' 868, тоже допускает представление в виде разности двух монотонных функций! Тем не менее, именно в связи с представлением (10), некоторые свойства монотонных функций переносятся и на функции с ограниченным изменением.
Так, если вспомнить, что для монотонной ограниченной функции у(х) при любом х=хл существуют односторонние пределы, слева и справа, У(хл — 0) = 1пп У(х) гг(ха+ О) = 1пп У (х) (11) л «л — а лл+ з 171, 1'1, то, применяя зто свойство к каждой из функциИ и и й, заключим, что и 8 . Для функции 7'(х) с ограниченным изменением в лромежутке [а, Ь~1 в любой точке х=хл этого промежутка существуют конечные односторонние пределы (11)'". 871. Непрерывные функции с ограниченным изменением.
9'. Пуста в промежутке (а, Ь| задана функция г (х) с ограниченным изменением. Если г(х) в некоторой точке х=хл непрерывна, то в этой же точке непрерывна и функция * Конечно, если х, есть олин нз концов промежутка, то речь может идти только об одном нз зтнх пределов. В 4.
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ Предположим, что х, » Ь, и докажем, что е(х) непрерывна в точке хо справа. С этой целью, взяв произвольное л)0, разложим промежуток 1х„д! точками х,»х,» ... »хо=а на части так, чтобы оказалось л — ! ь и= чУ )Дхол!) — ~(х;)! >~У(1) — о. (12) о=о хо Опираясь на непрерывность функции Г(х), можно предположить при этом, что х, уже настолько близко к х„что выполняется неравенство .
)у (х!) — у (хо) )» л (в случае надобности, можно было бы вставить еще одну точку деления, отчего сумма и разве лишь увеличилась бы). Тогда из (12) следует, что ь л †! Д'У'(1)»л+ ~~ )Х(хь+!) — г (х!) !» хо о-о л — ! ь »2а+ ~~У(хол!) — У(х!)~ ~~2л+ Д г'(1) ! хо стало быть, хо 7у(1)»2л хо или, наконец, д(х!) — и(хо)» 2а. Отсюда и подавно 0 = и(хо + О) — и(хо)» 2л, следовательно, ввиду произвольности а, е(хо+ О) = и(хо). Аналогично доказывается, что (при хо)а) и(хо — О) = и(хо), т, е.
что и(х) в точке х, непрерывна слева. Из доказанной теоремы вытекает такое следствие: 10'. Нелрерывнан сдункция с ограниченным изменением предсеоавима в виде разносном двух непрерывных аге возрасеоаюи1их Функций. 86 гл. хж квиволинейныв ннтвггалы. интегвлл стилтьвса [571 В самом деле, если вернуться к доказательству предложения 7' (в части, относяшейся к необходимости) и в качестве монотонной мажоранты взять именно функцию непрерывную в силу 9', то и получится требуемое разложение. В заключение покажем, что для не пр е р ы в ной функции в определении полного изменения; ~у(х)=апр [о[ О и составив сумму и — 1 и= ~ч, [у(хгн) — у(х;)[, г=о будем иметь Вш и= ДУ'(х), » о (13) где Л= шах(хьн — х;)».
Как уже отмечалось, сумма о не убывает от добавления новой точки деления**. С другой стороны, если эта новая точка попадает в промежуток между х» и х„+„то увеличение суммы о, проистекающее из появления этой точки, не превосходит удвоенного колебания функции Дх) в промежутке [х», х»+,[. Заметив это, возьмем какое-лнбо число ь А('~7У(х) а и найдем сумму о» такую, что о")А.
(14) » Здесь имеется в виду предельный переход такого же типа, яак и дая римановыя сумм иаи сумм Дар бу [259, 30[. »» См. сноску»» на стр, 76. зпргешшп можно заменить пределом как в том случае, когда полное изменение конечно, так и в том, когда оно бесконечно. 11 . Пусть функция у(х) непрерывна в конечном промежутке [а, Ь]. Разложив этот промежуток, на части точками х»=а(х,( ... < х„=д 5721 зг з д эгнкцни с огглничзнным измзнвнивм Пусть эта сумма отвечает следующему способу леления: хо=а(х!(...
х* =Ь. Выберем теперь столь малое й)0, что 4м лишь только !х" — х'!(Ь (это сделать можно ввиду равномерной непрерывности функции 7). Докажем, что для любого способа деления, которому отвечает Л(й, будет и' >А. (15) В самом деле, имея подобный способ деления (!), составим новый способ (В), получающийся из (!) добавлением всех точек ха.
Если способу (В) отвечает сумма вм то во~о*. (16) С другой стороны, способ (Н) получается из (1) путем (самое большее) Фг-кратного добавления по одной точке. Так как каждое в" — А лобавленне вызывает увеличение суммы в, меньшее, чем, то вь — А ' — ( 2 Отсюда, а также из (16) н (14), следует, что в" — А А+ ва 2 ~ 2 )4' Итак, при Л(о выполнено (Щ но, поскольку всегла о в( Ду(х), о о действительно имеет место (13), что и требовалось доказать. 672.
Спрямляемые кривые. Понятие функции с ограниченным изменением находит себе применение в вопросе о спрямляемости кривой линии, в связи с которым названное понятие н было впервые введено Жорданом. Изложением этого вопроса мы хотим взключить настоящий параграф. Пусть кривая (К) задана параметрическими уравнениями х=1(1), Х=Ф(Г) (17) где функции у(1) и ф(1) предположены только непрерывными. Допустим при этом, что кривая не имеет кратнцх точек, Взяв вершины вписанной в крнвую ломаной в точках кривой, отвечающих вначенням параметра ге(1г(Га( ° ° ° (го= Т. (18) ОО ГЛ. ХЧ.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [Е72 будем иметь для периметра ломаной выражение р=,Е]' [ф(Г!,!) — ф(1!)]'+ [ф(1! ) — ф(1!)1'. Как мы знаем [247], длина в рассматриваемой дуги кривой определяется как точная верхняя граница множества всех периметров р. Если эта граница конечна, кривая и называется с п р я м л я е и о й.
Достаточные условия спрямляемости мы указали уже в первом таме [278], Нижеследуюшая теорема устанавливает самые обшие — необходимые и достаточные условия для этого. Теорема Жордано- Для спрямляемости кривой (17) необкодимо и достаточно, чтобы функиии ф(1) и ф(1) обе имели ограниченное изменение в промежутке [гл, Т]. Н Воз ходи мость. Если кривая спрямляема и имеет длину а, то прн любом подразделении (18) промежутка [1л, Т] имеем р = Х [ф ((!.!) — ф (1!)1' + [ф (Гьь!) — ф (Г!)]' ~ е !=О откуда, в силу очевидного неравенства ! ф (Гг ) — ф (Г!) ! ~ У [ф (Гс,!) — ф (Г!)]' + [ф (Г!,!) — ф И!)!' следует, что л — 1 ;У', [ф(1!л!) — ф(г!)[~в, г=о так что функция ф(г), действительно, имеет ограниченное изменение. Аналогичное заключение применимо и к функции ф(Г).
Достаточность. Допустим теперь, что обе функции ф(Г) н ф (г) имеют ограниченное изменение. Ввиду очевидного неравенства л — ! р= ~~.', [Р(1сь!) — ф(Г!)]'+ [ф(гг,!) — ф(1!)]'~ ю=о л — 1 л — ! «,)'.; [ф (Гаь!) — ф (г!)[+ Х [ф(1! ) — ф(Г)! ! — О ! О можно утверждать, что все числа р ограничены сверху, например, числом т Г т~ ф (г) -]- ~ ф (1), !л !л а отсюда по доказанному выше уже вытекает спрямляемость кривой (7(). % а. интеГРАл стилтьесА Присовокупим еще два важных замечания. Из только что сказанного явствует, что вся длина в кривой (17) удовлетворяет неравенству г г -У (1)+УИ1) ы ы Рассматривая переменную дугу в=в(1), отвечающую промежутку [1ь, 1] изменения параметра, применим написанное неравенство к промежутку [1, 1+ Ы], где, скажем, М) О.
Тогда 1+ьг с+ы 0(йв( 1( 7(1)+ 7 ф(1). Так как при бесконечно малом аг обе вариации справа [в силу 671 9'], а с ними и ав, также бесконечно малы, то мы приходим к заключению: для непрерывной спрямляемой кривой переменная дуга в(1) является непрерывной функцией параметра. Так как зта функция монотонно возрастает от 0 до длины 8 всей кривой, то, каково бы ни было натуральное число и, можно себе 5 представить кривую разделенной на и частей длины — [теорема л Коши, 82]. Если плоскость покрыта сеткой квадратов со стороной 3 —, то каждая из упомянутых частей не может встретить больше четыи' рех таких квадратов. Таким образом, сумма площадей всех квадратов, $1 встречающих нашу кривую, во всяком случае не превосходит 4п— л' и может быть сделана сколь угодно малой: кривая имеет плоиьадь нуль. Отсюда — такое интересное следствие: область, ограниченная спрямляемой кривой (или несколькими такими кривыми), заведомо к в адрируема, т.
е. имеет площадь [337]. 9 6. Интеграл Стнлтьеса 673. Определение интеграла Стилтьесз. Интеграл Сти лтьеса (тн..). Зиеи1еа) является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Р и м а н а [296]. Определяется он сведующим образом. Пусть в промежутке [а, Ь] заданы две ограниченные функции у(х) и и(х).
Разложим точками а=ха(х,«ха(... (х„,(х„=Ь промежуток [а, Ь] на части и положим А=шахдхе Выбрав в каждой из частей [хь х, а] (1=0, 1, ..., п — 1) по точке аь вычислим йй гл. хч. кгиволинзйныв интвгвллы. интвголл стилтьвсл [573 значение у(л!) функции у(х) и умножим его на соответствующее промежутку [х!, хсь!) приращение функции д(х) йй(х,.) = и(х!,!) — и(х!). Наконец, составим сумму всех таких произведений: л — ! а= ~~~' ~(с!) йд(х!). Эта сумма носит название интегральной суммы С т и л т ь е с а. Конечный предел суммы Стил тле с а о при стремлении А=шах глх! к нулю называется интегралом Стает леса функции У(х) по фу ницсси и(х) и обозначается символом о и — 1 $У(х)йд(х)= !!ш о= Вщ ',", 'г"(6!)Ьи(х!)о.
(3) а л о л о, Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле С т и л т ь е с а, употребляют обозначение о л (8) $ г (х) йя(х) или ЯД(х) Ый(х). Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число !' называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа л)0 существует такое число 6)0, что лишь только промежуток [а, Ь) раздроблен на части так, что Х(3, тотчас же выполняется неравенство [ — )~<" как бы ни выбирать точки ч! в соответствующих промежутках. При существовании интеграла (3) говорят также, что функция у(х) е промежутке [а, Ь[ интегрируема ло функции и(х). Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что у(л!) умножается не на приращение ах! независимой переменной, а на приращение йй(х!) второй функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
