Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 21
Текст из файла (страница 21)
иитнгэад Отиптьнбл [666' 107 а 3. интеГРАл стилтьеса Ф' (х) = Р (х). В каждой же точке х=е)(у=1, 2,..., й) функция испытывает скачок, рав- ный именно массе шд в втой точке сосредоточенной. Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим а ь а М=(З1 ~ Х ~уф (Х) =1П> ~ ХР(Х) ОХ+ ~ гужр О О / ! Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический мо. мент непрерывно распредеаенных масс, а во втором — статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится и для интеграла (!7). 5) Чтобы лучше уяснить себе содержание предыдущего упражнения, предлагается: (а) составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точкак х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1, 3]; (б) то же в для такого распределения: массы величины 2 при х=2 и 4 н непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [О, 5]! (в) выяснить распределение масс, если Ф (х) равна функции п(х) задачи 3).
Ошаеты. (а) В промежутке [1, 3] имеем 0 для х=1, 2х — 1 для 1(х(2, 2х для 2~х(З, 7 для х =3. Ф (х) = (б) В промежутке [О, 5] имеем ха для 0(х(2, Ф (х) = ха+2 для 2 ~х( 4, ха+4 для 4~х~5, (в) Массы величины 1 в точках х= — 1 и О, в промежутке [ — 2, — 1] непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке [О, 2]— массы с плотностью 2х. Рис. 30. 6) Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стя ат ье с а играет такую же роль, как и в упражнейин 4). Предположим, что на балку (рис. ЗО), покоящуюся йа двух опорака, кроме непрерывно распределенной нагрузки О Это предположение мы делаем лишь ради простоты. Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность Р (х); кроме ник пусть в точках х=с„см ..., са расположены сосредоточенные массы мп шм ..., ша.
Тогда, исключая зтй точки, функция Ф (х) имеет произ- водную 108 гл. хч. кгиволинцйные интегэлльь интвгвлл стилтьвсл 1880 действуют и сосредоточенные силы, Расположим ось х вдоль по оси балки, а ось у вертикально вниз (см. рис.). г(е делая различий между дейежеуюиитми силами, обозначим для х )0 через Р(х) сумму всех сил, приложеннмх иа отрезке [О, х) балки, включая и реакции опор; далее, пусть Р(0) =О, Силу Р(х) называют не ререз ы в ающим усилием в сечении х балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх— отрицательными.
Поставим задачей определить так называемый и з г и б а ю щ и й м о- »1 е н т М в произвольном сечении х =3 балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части — обратное правило). Так как на элементе (х, х + дх), скажем, правой части балки приложена сила Р(х+дх) — Р(х)=дР(х), создающая элементарный момент дМ = (х — 8) а'Р (х), то, чсуммнруя», получим М М(е) =<З1 ~(х — 6) 'Р(х). Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учиты- вая изменение положительного направления для отсчета моментов) т М(1)=1э) ~(1 — х) дР(х), (18) Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны.
Их равенство равносильно условию х дР (х) — 8 Р (1) = О, которое является следствием из условий равновесия Пусть сосредоточенные силы Р)(/=1,2,...,л) приложены в точках х=хр Тогла, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственно равные Р. Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим т М(1)=~($ — х)а(х)дх+ ~', ($ — х))Рр )с» выражающих равенство нулю суммы всех сил н суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на бааку.
Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через 0(х), то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет дР(х) — = л (х). а'х е з, интвгтдл стилтьвсл 109 ййЕО] В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой и сосредоточенными силами: йнюеграл С ю я лю ь в с а охваюываею пх единой анмвгралвной фора»улой, установим еще один факт„интервсный для теории сопротивлении материалов.
Произведя в формуле (18) ивгегрирование по частям, получим ~Е Е Е М(Е)= ~ (Š— х) дР(х) =(Š— х) Р(х) ~ — ~ Р(х) д(Š— х)= ~ Р(х) дх. о Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство —:= Р(Е). дМ йЕ 7) Пример. Пусть балка длины 1=3 несет (рис. 31) лтреугольную» 2 нагрузку с интенсивностью — х; кроме того, пусть к ней приложены сосре- 3 доточенная сила, равная 3, в точке Х= 1, и реакции опор, обе равные — 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие Р(х) и изгибающий момент М(Е).
О при х=О, 1 х' — 3 при 0«х«1, 3 1 3 х' при 1«х«З 0 при х=З; Оювею. Р(х) = —.Е» — ЗЕ при 0«Е«1, 1 М(Е)= — Е» — 3 при 1 «Е «3. а=Е,«Е, «...«Ел=3 так, что в каждой иэ частей функция т(х) представляется полиномом не выше и-й степени, Заменив значения фучкцип ч(х) и всех ее производных в тччках а н й нулями, обозначим через Ь~~" ()=О, 1,..., М !=О, 1,..., л) веаи- Р чину скачка 1-й производной т'н (х) в уьй точке х= Еь Пусть, далее, у(х) — любая непрерывнаи функция; положим Р, (х) = ) У (х) йх и, воабЩе, Рл (х) = ) Р, (х) дх (в ) 1).
Е Рис. 31 8) формула (15) может оказатьсн полезной в для вычисления обычныя интегралов (в смысле Римана). П1юиллюстрируем это на следующем об. щем примере. Пусть т(х) — лкусочно-полиномнавьная» функция в промежутке [а, Ь]; Зто означает, что промежуток раэлагаетсл на конечное число частей точками 1 >9 ГЛ. ХЧ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬВСА [Пав Тогда имеет место следующая формула: ь ) У(х) Т (х) о>х = а ь ь Х " (Е>) Ву + Х Ра(су) Ву —" +( — 1)~' Х Ра+ (Е>)'~Ы'. у=о у-о у=о Действительно, последовательно находим ь ь ~ь ь <и> ) у'(х) т(х) г(х= <о> ~ т(х) иР, (х) =т(х)Р,(х) ~ — >о> ) Р,(х) от(х); а а а а двойная подстановка исчезает, а интеграл $ Р, (.к) йр(х) =У; Р, (Ц) ВЯ'+~ Р, (х) В (х) Гх; аналогично ~ Р,( ) (х) х = — Ч, 'Р,(1))а/' — $ Р,(х) р"( ) Пх и т. д. 9) Установим, в заключение, с помощью формулы (1!) одно полезное обобщение формулы интегрированна по частям для обыкновенных интегралов.
Именно, если и(х) и о(х) обе абсолютно интегрнруемы в промежутке [а, Ь[, а 0(х) и У(х) определяются интегральными формулами: (у(х) = 0(а)+ ~ и(г) Ф, а а У(х) = У (о) + ~ о (Г) Ф, а то справедлива формула ь >ь ь $ (г(х) о(х) ах= 0(х) У(х) ~ — ) У(х) и(х) Их. (19) а а а Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса и проинтегрируем по частям [577[: ь ь ) (у(х) о (х) ах = $ 0(х) а У (х) = (/(х) У (х) — ) У (х) о(l (х), а а $ а.
Ннтпгвлл стилтьпсА Остается еще раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19). Здесь функции и(х), о(х) играют как бы роль производных от функций (у(х), )г(х), не будучи ими на деле. При непрерывности функций и(х) н о(х) мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда наверное (г" (х)=и(х), Р(х)=о(х), 331, Геометрическая нллюстрпцня интеграла Стилтьеса.
Рассмотрим интеграл э !в1 $ У(с) Уп (!), (20) а предполэгая функцию у(!) непрерывной и положительной, а п(Г) — лишь нонотонно возрастаюп1ей (в строгом смысле); функция и(!) может иметь и разрывы (скачки). Система параметрических уравнениИ У л() У=У(!) (21) выражает некоторую „„ вообще говоря, разрывную (рис. 32). Если при некотором Г=Г, функция п(Г) испытывает скачок, тал Чта 3((о — 0)<К(со+О), тО (у уЮ х этим предельным значениям х = =и (Г) отвечает одно и то же Рис. 32. предельное значениеу =у (!), равное У(го), Дополним кривую (К) всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек М(со 0) У(со)) н (3 (Го+0) ог(со))~ отвечающие всем скачкам функции и(!) (см. рис.).
Таким образом, составится уже непрерывная кривая (с). Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой (с), осью х п двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам п(а) и д(Ь). С этой целью разложим промежуток [а, Ь] на части точками а=с,сг,с...<г!«!им<...<г„=ь и в соответствии с этим промежуток [йо(а), п(Ь)] на оси х — на части точ- а (а) <3 (Г) < ... С н(С!) < д (Го„) С ... < 3(Ь), Введя наименьшее и напбольшеезначеиияюоиМ;функции У(Г) в Ьм промежутке [Го, с!э!], составим нижнюю и верхнюю суммы С т ил т ь е с а — Д а р б у г=~шгйй(г,), 3= у;Мгйд«,). ! о Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматризаемая криволинейная фигура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
