Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в кажлой фигуре (Р;) по точке: (Ц, т„). Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной апликате у (3п тл), то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным у(тн «и) ° Рп * Если Функцию у(х,у) предположить непрерывной, а плоскую область (Р) — квадрируемой, то самое с у щ е с т в о в ание объема дяя данного случая легко вытекает из соображений, изложенных в пп 341 и 337. 687) а !. опаеделение и свойства двойного ннтеггалл 123 где Р, означает плошадь фигуры (Р,).
В таком случзе приближенное выражение объема всего тела будет Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок (Р!), увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей (Р!), это равенство делается точным, так что (2) и поставленная задача решена. предел этого вида н есть двойной интеарал огн фунннии,К(х,у) по обласлги (Рд он обозначается символом ')) У(х, у)г(Р, так что формула (2) для объема принимает вид* (г=')) У(х, у)пР. (2") Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он игрзет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.
637. Сведйине двойного интеграла к повторному. Продолжзя трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, мы дадим здесь же указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу. Во втором томе мы уже имели дело с задачей вычисления объема тела (У) по его поперечным сечениям [342).
Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостями х=а и х=Ь (рис. 34). Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси х и отвечающей абсциссе х(а =х~Ь), имеет плошадь Я(х). Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой 1/= 1 Я(х) пх. в Выводу этой формулы нетрудно придать и вполне строгую форму; сн.
замечание в и' б90. 124 !557 гл. хвь двойные интегяалы Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором была речь в предыдущем и'. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник [а, Ь; с, с(] (рис. 35). Сечение бруса плоскостью х=х, (а (ха =.Ь) 'есть криволинейная трапеция абор Для нахождения ее площади спроектируем эту Рис. 34. Рис. 35. фигуру на плоскость уг; мы получим конгруентную с ней трапецию аДЬП, (ибо проектирование происходит без искажения). Итак, О(хо)=пл. ана8'[=пл.
а1йд8гТв Но уравнение линии Тг8г на плоскости уа, очевидно, будет г=)(хм у) (с =у~Н). Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для а~х(Ь Я (х) = ~ г" (х, у) с у *. с Подставляя это значение Я(х) в формулу (3), получим Ъ'=~Их ~г(х, у)г(у. ч Эта функция от х н тому жс не пре р из на [506], что мы н пред- полагали прн выводе Формулы (3).
Но мы имеем для объема У и выражение (2), следовательно, » Ф Ц У(х, у) ЫР= ~ г(х ~~(х, у)ду (4) а а — двойной интеграл приведен к повторному. Аналогичный результат можно получить и для более общего случая, когда область (Р) на плоскости ху представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми: у=у»(х), у= *г"(х) (а(х =Ь) и двумя ординатами х=а и х = Ь (рнс. 36). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: гг Ю раньше при любом фиксирован- Рис. 36.
ном х=х« изменение у происходило в одном и том же промежутке (с, И), а теперь этот промежуток [у»(х«) «'(х«)1 сам зависит от х«, так что У(»н (г(х«) = ~ У(х«, г)Ф уа (хн Окончательно получим » гол (г= $ )У(х, у) йР= ~ г(х '$ Дх, у) <Ку '. а грод Познакомив читателя с понятием двойного интеграла и с его вычислением в геометрической трактовке, мы перейдем теперь к более общему изложению вопроса с уисто аналитической точки зрения. 688 Определение двойного интеграла, Впрочем, и здесь нам не обойтись без геометрии или, по крайней мере, без г е о м е т р ического языка (160 — 163).
Мы будем говорить о «двумерной области» (Р), где определена рассматриваемая функция двух переменных, «кривыми» делить ее на частичные «области», будем брать «площади» этих «областей» и т. п. На деле это — «области» и «кривые» из а р и ф м е т и ч е с к о г о двумерного пространства, их «точками» служат пары чисел. Но обыкновенно все эти «образы» заменяются для удобства соответствующими им настоящими геометри- * И здесь внутренний юпеграа представавет собой непрерывную функцию от х (см. 609), йЯЦ а ь опявдвлвнив и свойства двойного ннтвгвллл 125 ГЛ.
ХШ. ДВОЙНЫВ ИНТЕГРАЛЫ ческими образами, нелепая никакой разницы между ними. В частности, под «плошадью области» из арифметического двумерного пространства разумеется всегда площадь соответствующей геометрической области. Напомним, что для квадрируемости области, ограниченной какой- либо кривой, необходимо и достаточно, чтобы эта кривая имела площадь 0 13371.
Широкий класс таких кривых образуют гладкие кривые или кривые, состоящие из конечного числа гладких кусков (так называемые кусочно-гладкие кривые)*. Мы будем пред« полагать впредь, что как контур области (Р), так и кривые, которыми мы разлагаем ее на части, все имеют площадь 0 (например, принадлежат к указанному классу); этим обеспечивается существование всех нужных нам площадей.
Вернемся теперь к понятию двойного интеграла, фактически уже введенному в и' 386, и дадим в развернутом виде общее его определение. Пусть в области (Р) определена функция г(х, у) *ь. Разобьем область (Р) сетью кривых на к о н е ч н о е число областей (Р»), (Ря), ..., (Р„), площади которых будут Р„-Р„..., Р„. Хотя проще всего эти частичные области представлять себе связными, но для облегчения дальнейшего изложения выгодно не исключать для ни х возможности быть и несвязными.
В пределах 1-й элементарной области (Р,) возьмем по произволу точку (чо ти), значение фУнкции в этой точке 1(чп ти) Умножим на плоШадь Р, соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму а = ~~~~~1 («и ян) Р~ э ! будем называть интегральной суммой для.функции г(х, у) в области (Р).
Обозначим через ) наибольший из диаметров**в частичных областей (Р ). Конечный предел'* 1 интегральной суммы о при ),-»О называетск двойным интегралом функции У(х,у) в области (Р) и обозначается символом 1= ~ ') 1 (х, у) йР. (Р) функция, имеющая интеграл, называется интегрируемой. ь Можно, не нарушая укаэанного свойства, допустить даже наличие конечного числа особых точек. ьь Никаких предположений о непрерывности ее мы при этом не делаем. 'ьь Напомним, что д и а и е т р о и точечного множества называется точная верхняя граница расстояний между двумя произвольными точками множества.
В случае плоской замкнутой области, ограниченной непрерывной кривой, диаметром служит попросту наибольшая хорда. См. 174. 'ь Читатель легко сам установит точный смысл этого нового «предела». а !. опяеделвнив н свойства двойного ннтвггьла 127 589. Условия существования двойного интеграла. Интегрируемая функция необходимо должна быть ограниченной. Действительно, в противном случае при любом заданном способе разложения области.(Р) на части можно было бы за счет выбора точек (чг, ц!) сделать интегральную сумму произвольно большой.
Обращаясь к рассмотрению условной ннтегрируемости данной функции з(х, у), мы будем поэтому наперед предполагать ее ограниченной: т = г"(х, у) = М. Как и в случае функции от одной переменной, здесь также удобно ввести так называемые нижнюю и верхнюю суммы Дарбу: л е з= Ч', т,.Р, 8='~', МгРг, г-! ! 1 где лг, и М, означают, соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы значений функции з (х, у) в области (Р,). При данном способе разложения области (Р) на части, неаависимо от выбора точек (сг, в!), будут выполняться неравенства Но за счет надлежащего выбора этих точек можно значения у($1, тл) сделать сколь угодно близкими к гн,(М!), а вместе с этим сумму а сделать сколь уголка близкой к в(о).
Таким образом, верхняя и .нижняя суммы Дар бу являются, соответственно, точными верхней и нижней границами интегральных суМлс, отвечающих тому же способу разложения области. Для сумм Дарбу, как и в линейном случае„могут быть установлены следующие свойства. 1-е свойство. При дальнейшем дроблении частей (Р), с добавлением к старым линиям деления новых, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя — не возрастает. 2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому способу разложения области (Р). Доказательство проводится аналогично прежнему 1296); лишь в тех случаях, когда там говорилось о точках деления, здесь приходится говорить о линиях деления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
