Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Чтобы от произвольного разложения области (Р) перейти к разложению этого частного вида, достаточно присоединить к линиям деления кривую (Е). Соответствующие им суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем элементарным областям, которые задевают кривую (Е). Но, по лемме п'590, их общая плошадь стремится к нулю при Л-+ О, и обе суммы разнятся на бесконечно малую. Таким образом, условие (6) выполняется в полной общности, и функция у(х, у) оказывается интегрируемой в (Р). Наконец, доказываемая формула получается переходом к пределу при Л-+О из равенства ;у,У (~Ю тй) Р) = ~~ 16Е т(() Р + ~ 1(Г' Ъ") Р)ьч Аналогично, из рассмотрения интегральных сумм с помощью перехода к пределу получаются и следующие три свойства; а 1.
опгеделвннв н свойства двойного интвгвлль 133 3'. Если умножить интегрируемую в (Р) функцию > (х, у) на постоянную 7(, гпо полученная функция танисе будет интегрируема, и при етом ~ ) йг (х, у) г)Р = й ~ ) г (х, у) бР. 4". Если в области (Р) интегрируемы функции г" (х, у) и а(х, у), то интегрируема и функция г(х, у) +я(х, у), причем ') ~К(х, у) + я(х, у))ЙР=~~У(х, у)г7Р(-~~я(х, у)бР.
б'. Если для интегрируемых в. (Р) функций у'(х, у) и а(х, у) выполняется неравенство у(х, у) «=д(х, у), то ~ )Дх, у)(г'Р( ~ ~я(х, у)й~. (е> (е> Далее, 6'. В случае интегрируемости функции у(х, у) интегрируема М функция >Х(х, у)'„и имеет место неравенство )~~У(х у)бР!~$~!У(х, уКаР. (е> (Р> Интегрируемость функции >у> следует из простого замечания, что колебание а> втой функции в любой области Рг не превосходит соот* ветствую>пего колебания а> функции г.
действительно, тогда '~~,ар> = '~~ар, и стремление к нулю второй суммы влечет за собой стремление к нулю первой. Доказываемое же неравенство получается предельным переходом из неравенства ! ~Х~ ~~(Е>, ч») Р> / ~ ~Хч~~ !У(Ео»>) ) Р>. 7'. Если интегрируемая в (Р) функция г (х, у) удовлетворяет неравенству т(У(х, у)~М, то тР~ ~ ~у(х, у) бР(МР. (7) рч> Это получается предельным переходом из очевидного неравенства тР~-",'У(Е;, ч»)Р, =.МР.
гл. хтп двойныв ннтвгвллы 1З4 Если разделить все части неравенств (7) на Р: Ц Г(х, у) еР т ~~ (М Р и через р обозначить среднее отношение, то получим другую запись неравенства (7) ~~Г(х, у)ЙР=РР (т(р.=--М), (8) (и) которая выражает так называемую теорему о среднем значениии. Предположим теперь, в частности, что функция г(х, у) непрерывна в (Р), и возьмем в качестве т и М ее наименьшее и наибольшее значения в области (Р) — по теореме Вейерштрасса, 173, они существуют! Тогда по известной теореме Больцано— Коши, 171, непрерывная функция у(х, у), принимающая значения т и М„должна пройти и через каждое промежуточное значение.
Таким образом, во всяком случае в области (Р) должна найтись такая точка (х, у), что р=у(х, у), и формула (8) принимает вид: Цп.х, у)й =ай, у) Р. (9) (Р) Это — особенно употребительная форма теоремы о среднем. Так же легко переносится на рассматриваемый случай и обобщенная теорема о среднем значении 1304, 10']; преюставляем это читателю. 393. Интеграл как адднтнвная функция области; дифференцирование по области. Рассмотрим (замкнутую) плоскую область (Р) .и содержащиеся в ней частичные (замкнутые) области (р). Мы будем предполагать все области к в ад р ир у ем ым и (по обстоятельствам они могут подлежать и другим ограничениям), Если каждой части (р) облает«(Р) сопоставляется некоторое определенное число Ф=Ф((р)) то етим определяется «функция от области (р)» для указанных (р).
Примером такой функции от области может служить 'площадь области, непрерывно распределенная по ней масса, статические моменты этой массы, непрерывно распределенная нагрузка нли вообще действующая на нее сила и т. п. Если при произвольном разлозкении области (р) на взаимно не налегающие части (р) = (р') + (р') всегда оказывается, что Ф ((р)) = Ф ((р')) + Ф ((р'))к 693] а и опгеделенне и свойства двойного интегььль 135 то функиию Ф((р)) опь области называют а д д и т и в н о й.
Все функции, приведенные выше в виде примера, обладают этим свойством аддитивности. Алдитивные функции от области представляют особую важность, ибо часто встречаются при изучении явлений природы. Пусть в квадрируемой области (Р) зздана интегрируемая функция точки у(М)=у'(х, уу тогда она будет интегрируема в любой квадрируемой же части (р) области (Р), так что интеграл Ф((р))=]]Х(х, у)йР (10) Х(М) =у'(х, у). Действительно, взяв область (р), о которой говорится в определении производной, имеем по теореме о среднем [см.
(9)] Ф((р)) =у(х, у) р, где (х, У) есть некоторая точка области (р). Если диаметр области (р) стремится к нулю, то точка (х, у) безгранично сближается с (х, у) и, по непрерывности — =У(А У)-ьу(х, у), Р что и требовалось доказать. 1Р) также есть функция от области (р). Ввиду 692, 2' и она будет, очевидно, аддитивной функцией. Обратимся теперь к едифференцированию функпии Ф((р)) по области».
Пусть М вЂ” фиксированная т о ч к а области (Р), а (р)— любая содержащая эту точку частичная область. Если отношение Ф((Р)) Р где р есть площадь области (р), стремится к определенному конечному пределу У'=У(М) при безграничном убывании диаметра области (р), то зтот предел называется производной от Ф((р)) по области в точке М.
Если Ф((р)), например, есть масса, непрерывно распределенная по плоской фигуре (р), то у(М) есть не что иное, как плотность распределения масс в точке М; если Ф((р)) означает силу, действующую на фигуру (р), то г"(М) выражает удельное давление в точке М, и т. п. Особый интерес для нас представляет случай, когда функция от области выражается интегралом вида (10), где у(х, у) — непрерывнаяя в области (Р) функция. Мы покажем, что производной по области в точке М от интеграла будепь подинтегральная функйая, вычисленная именно в ивой точке, т.
е. (393 136 Гл. хчь дВОйные интеГРАлы Таким образом, двойной интеграл (10) по переменной области является в особом смысле «первообразной» для подинтегральной функции точки: он восстанавливает функцию области, для которой эта функция точки служит производной по области. Естественно встает вопрос, в какой мере однозначно вообще «первообразная» определяется своей производной. В этом направлении можно доказать такое предложение: две аддитивные функции от области, Ф,((р)) и Фч((р)), имеющие во всех точках основной области (Р) одну и ту же производную по области, тождественны.
Если перейти к рассмотрению разности Ф((р))=Ф1((р)) — Фч((р)) дело сведется к доказательству того, что аддити вная функция области Ф((р)), производная которой во всех точках области (Р) равна нулю, и сама тождественно обращается в нуль. 11ействительно, по самому определению производной, каково бы ни было число а)0, каждую точку М области (Р) можно окружить такой окрестностью, чтобы для любой заключенной в ней части (р) этой области, содержащей М, было ) 1(е С помощью леммы Еореля [1761, примененной к системе этих окрестностей, удается затем разложигь область (Р) на конечное число взаимно не иалегающих Областей: (Р)=(р1)+(ря +" +(рь) так, чтобы для каждой из них было (1=1, 2...„й) 1 ' ~(е или ( Ф((р;)) ! (р,.е.
Ввиду же предположеиной а д д и т н в н о с т и функции Ф((р)) имеем Ф((Р)) = Х Ф((р;)). Отсюда, в связи с предыдущим неравенством, ! Ф ((Р))! ~,'Е ~ Ф ((р;))1<Р . Но е здесь произвольно, значит Ф((Р))=0. Этим и доказано наше утверждение, поскольку вместо (Р) могла быть взята и любая частичная область (р). Сопоставляя все сказанное, мы приходим к такому заключительному утверждению: двойной интеграл (10) по переменной области представляет собой е да и с т в е н ну ю аддитнвную, первообразную» для стоящей под знаком интеграла функягги точки*.
* Эта функция предполагается, как и выше, непрерывной. 1зт в х вычислвннв двойного ннтвгвала Поэтому, например, без вычислений ясно, что по заданной плотности р(М)=р(х, у) распределения масс в точке М вся масса, распределенная по фигуре (Р), выразится интегралом т = ~ ~ р (х, у) йР; если д(М)н й(х, у) есть удельное давление в точке М, то вся действующая на фигуру (Р) сила будет Р=)') у(х, у)йР, 1г1 и т. п. Злмвчлнив.
Выше нам приходилось уже говорить об аддит и в н ы х ф у н к ц и я х о т п р о м е ж у т к а [348; 684, 8)[. Так как такая функция всегда представляет собой разность двух значений некоторой функции точки, то не было надобности для «линейного» случая развивать теорию вроде изложенной выше для «плоского» случая. Однако в теореме о дифференцироззнии определенного интеграла по переменному верхнему пределу [306, 12'[ читатель легко усмотрит аналог доказанной только что теоремы о дифференцировании двойного интеграла по области, а рассуждения п' 348 можно трактовать как доказательство того, что интеграл есть единственная аддитивная функция от промежутка, служащая «первообразной» для данной функции точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
