Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 27
Текст из файла (страница 27)
й 2. Вычисление двойного интеграла 694. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области. С этим вопросом в геометрической трактовке и при некоторых частных предположениях мы уже имели дело в п 687. Рассмотрим теперь его средствами анализа и притом в самой обшей форме; начнем мы с простого случая, когда облзсть интегрирования представляет собой прямоугольник (Р)=[а, Ь; с, й). Теорема.
Если для функции 1(х, у), определенной е прямо. угольнике (Р)=[а, Ь; с, й1, суигестеуют двойной интеграл ((У(х, у)йР рч и — лри нааядолс постояннолг значении х из [а, Ь[ — простой интеграл У(х) = ),г (х, у) йу (а ~ х~ д), (2) гл. хтк двойныв ннтвго»лы то существует также повторный интеграл ~Ых ~у(х, у)с(у а с и выполняется равенство о 3~Лх у)г]Р=.( Я)У(х, у)~у. (4) (и! а с До к аз»тиль ство.
Разобьем промежутки (а, Ь] и 1с, !т], определяющие прямоугольник (Р)„на части, вставляя точки деления хо = а ( х! ... ( х! ( х; „, (... ( х = Ь, уо= с(у! < ° ° (у»<у» ( ° .<у Тогда прямоугольник (Р) разложится на частичные прямоугольники (рис. 38) У (Р! „) =(хь х!„!, у», у»+,] (1=0,1,...,п — 1; А=О, 1, ..., т — 1). Обозначим через т, «и М; », соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции г'(х,у) в прямоугольнике (Р; й), так что для всех точек (х, у) этого прямоугольника т! й~У(х, у)~М! ь Рис.
38. Фиксируя х в промежутке (хо х!„„с] по произволу: х=1„и интегрируя по у от у«до у«+„будем йметь 1304, 8'] т!.»бу«~ $ У(1! у)Ф~М!, йу зй где ду«=уй+! — у«1 интеграл по у существует, так как предположено существование интеграла (2) по всему промежутку ]с, !з].
Суммируя подобные неравенства по А от 0 до т — 1, получим сс — 1 а сс — ! !п8, ййуй -]А)=~У6о у)с(у~~ ~ Мий!]!уй' й=о с «-о й Читатель легко усмотрит в этом утверждении видоизменение известной теоремы о двойном и повторном пределах [168]. о я. вычисление двойного ннтеголла 4ЗВ Если умножить все части этих неравенств на Ьхг х1+1 — х, н просуммировать по значку 1 от О до л — 1, то найдем л — 1 л — 1 и — 1 л — 1 и-1 ~ ', Ьх, ~ч ', тг» Ьу« ~ 'т', 1(«1) Ьх! ч- ~ Ьх, ~', М! «Ьу1„ 1-О 1=О «=О 1-о «-о Посредине мы получили интегральную сумму для функции 1(х). Что же касается до крайних членов, то они представляют собою не что иное, как суммы а и Я Дарбу для двойного интеграла (1). Действительно, так как Ьх!Ьу» есть площадь Р! «прямоугольника (Р, «), то, например, имеем л — ! т — ! л — 1м — 1 Ч~', Ьх! ~' «и!»Ьу« —— ,'т' Я и!!»Ьх1Ьу« —— ~аль!,Рь «=а.
1-О»=О 1=0 «=О Таким образом, окончательно а~ ~ч~ У(о1)Ьх1~8. Если теперь все Ьх, и Ьу«одновременно устремить к нулю, то ввиду существования двойного интеграла (1), обе суммы а н Ю будут стремиться к нему, как к пределу. В таком случае и Нщ ~)д)Ьх»=цу(х. у)ЬР, 1 =о 1и! т. е. двойной интеграл (1) представляет собои в то же время и ин- теграл от функции !(х): А А Л 1 1 у(х, у) г(Р = г)1 (х) йх = г)йх9(х. у) 1(у, что и требовалось доказать.
Меняя роли переменных х и у, наряду с (4) можно доказать я формулу Ф о ~ ') У(х, у) йР = г)г)у ~ У(х, у) о(х, в предположении, что при у=сопя1, существует интеграл гл. хш. двойныи ннтзгяллы 140 3 а и в ч а н и в. Если вместе с двойным интегралом (1) существуют оба простых интеграла: $У(х, у)Иу (х=сопа1) и $~'(х, у)Их (у=сопв1), то имеют место одновременно обе формулы (4), (4*), откуда Ь Ф ')Их~У(х, у)Иу=$Ну $у(х, у)Их. (б) часто пишут (~У(х, у)Ыхду ~ или ~ ~У(х, у)дую~.
(и) (и) Больше того, имея в виду сведбние двойного интеграла, распространенного на прямоугольник (Р)=[а, Ь; с, Ы), к повторному, и самый двойной интеграл часто обозначают символом, сходным с повторным: ~(у(х, у)дую или ~(г (х, у)ЫхЫу. При этом обозначении друг другу соответствуют «внешний интеграл» и «внешний дифференциал», так что стоит лишь поставить скобки, чтобы получить тот илн другой из повторных интегралов: а и л ь ~ ~ ~Дх, у)Ну~Их или ) ~)У(х, у)Их~Ну, «а Этот результат мы установили выше 1528], не пользуясь предположением о существовании двойного интеграла.
Применение формулы (4) или (4*) обусловлено существованием двойного интеграла и одного из простых. Если функция У(х, у) непрерывна (случай, который обычно встречается на практике)„ то существование всех упомянутых интегралов обеспечено; по отношению к двойному, например, это следует из 690, 1. В этом случае любой из упомянутых формул можно пользоваться для фактнчес к о г о в ы ч и с л е н и я двойного интеграла, так как вычисление простых интегралов представляет гораздо более простую задачу. Прн доказательстве формулы (4) всего естественнее было разложить прямоугольник (Р) прямыми, параллельными осям, на прямоугольные элементы с площадями Ьх;Ьу». Желая в самом символе двойного интеграла указать на происхождение его от деления области на части прямыми, параллельныии осям, вместо ) ~(х,у)г1Р Ю 696! % г.
Вычислении двойнОГО интвгвзлз Ц( -~е Ц! -~м" Р в ш н н и в. По формуле (4Я) пишем Ц(""-Лг 1!" 1Г! +Я Найдем сначала внутренний интеграл: а ! !Гх ! 1 (х+у)" у+3 у+4 ' отсюда г БД.;,=1[ — „',-,~ ) ™м2 !Р! 2) Вычислить интегралы 3 б (а) 1, = (5х'у — 2у') их !Гу, ! ! уихву 6 (1+х'+у') ~Я Р в ш з н и в. з б з (а) !' = ~ иу~ (5хту — 2у!) !Гх = ~ (195у — бу!) ау = 659. ! ! (б) Уз —— Хт!ГХ ° '6! 1(уз 12 в) Проще представить г, по формуле (4) в виде ! ! у у (1+х'+у') Н ! 1 66 ибо сразу получаем ! уиу 1 (1+х'+у') ы )'х'+1 ф' х'+2 так что ! 1 1 Р х + 1 )Гх'+2) =1п .с+ г х( 11' 1 2+ з 2 х+ )' х'+ 2 ! о 1+ Р 3 696, П и угольник (Р) (3, 4; 1, 2): р меры. 1) Вычислить интеграл, распространенный на врямо- [595 гл.
хук двойныв интип алы Если прибегнуть к другому повторному интегралу, то квадратуры окажутся несколько более сложными: ! ! а х с/х (1+ ха+ з)й/з' 5' (1 „»„.в „» уз)в/з 1 х»л-! 1 1+У Ьу1+х'-»-уй !л о (1-»-у') ~'2+уй' ! у у 1 [/2+уз — 1»! (1+у ) [ "2+у 2 )/2-» уз» 1»о О'З вЂ” 1) Е'2+ И (г' 3+ 1).()/2 — !) Легко преобразовать этот ответ,к прежнему виду.
3) Найти объем»/ тела, ограниченного снизу плоскостью ху, с боков плоскостями х =О, х= а, У = О, у = Ь, а сверху эллиптическим параболоидом Х' У' 2р 2/) ' Ркшвиив. Прежде. всего по формуле (2в) ~2 +2 1о, с; о, с1 Самое же вычисление интеграяа произведем по формуле (4в): Ь а ь 4) То же для тела, ограниченного плоскостью ху, поверхностью хв-»- +2 =угз (С) 0) Н ПЛОСКОСтяни У=О И ту= И. Решки и к. Если за основание тела принять прямоугольник [ — Л, /1; О, Н» на плоскости ху, то у=[ [ ууй — * у уу йн~! в — *'у — к)сзН 2 о -л [Конечно, проще было бы рассматривать тело, как цилиндр, имеющий основанием полукруг на плоскости хс.» 5) То же для тела, ограниченного плоскостями с = О,х= а,х = Ь, у = с, у=а(Ь) а) О, й/) с) 0) и гиперболическим параболоидом с= — (ж) 0).
ХУ /л с/в — сй) Ьй — ай) О/лвею. 1/=( 4/л 6) Доказать, что ~ (ху)"у с/х у/у = ) уй ау. !43 й л. вычисление двойного ннтегпллл Подянтегральная функпия в двойном интеграле, если при ху =0 приписать ей значение 1, будет непрерывна во всем квадрате (О, 1; О, 1). Имеем ! ! 1 ! ~ (ху) г грх тру = ~ !ру ~ (ху)тг грх. Делая во внутреннем интеграле подстановку ху = г (при у= сопл1. > 0), а ватем интегрируя по частям, последовательно получим для двойного интеграла выражение 1 у ! Гглр — 1пу, р! !рр~ — ут!пупу.
у Двойная подстановка обращается в О„так как интеграл 1 рг !рр при у — 0 Ъ есть бесконечно малая первого порядка е. Что же касается последнего интеграла, то, ввиду тождества (уг)'=уг 1пу+уг, 1 он приводится к интегралу )ут!ру, е ?) Доказать, что (при любом а=*сопл!.) сол(2лэ!ирмой) аар!РЕ=( $ сол(за!пЛ) !РЛ )л. д Для втой цели каждый нз янтегралов разложим в ряд по степеннм л. По отношению к простому интегралу вто уже было сделано в 440, 13)! 2 ( Х 2лл а!1)' л-! Подинтегральная функция в двойном интеграле разлагается в ряд сов(2л арп р мп О) = 1+ у ( — 1)! — лрп'! р Ып а! 9, жт (2л)'! 2й ! ! ° Ведь !йп — Рг!РГ=1!ар!=1.
1 л оу~ с о 144 Гл. хч!. двойные ннтегвллы равномерна сходящийся для всех значений вв и О и квадрате 1. О, — 0 — 1. Интегрируя его почвенно в атом квадрате, получим* 2' ' 21' ] ]сов(2змпрмпО) Фрв(О= О 6 йв з т йв жт . (2з)в! Г ~ = — + 7 ( — 1)! . ~ ! з!п'туз!пв!Оаов(О, 4 л~! 20 в=! Но ]ем.
312 (8)] й й й й ~ мп" рми" бава М=~ в(О~ з)пв!йвп" Ов(й= Г вв (2! — 1) !!1в мпвгВ в(О ° з!пв! в!(й=~ — ° так что после простых преобразований (в в в йв)вввв= — ()-В ~ в ! Легко проверить теперь (см. 390, 3)], что, действительно, ( 1)! звг, (2!)! лвь в 1+2', 2'т(!] =(1+С".(-')'2 (А!) 1.
! 1 л=! Таким образом, значение предложенного двойного интеграла может быть выражено через бесселеву функцию с нулевым значком: й' соз (2з з)п р яп В) Фр ьвО = — (У~ (з)]'. — в 8) Доказать, что при любом я(0<)! <1) й й м ° с 1 — Авапвчз!ив О 2 ~ у'1 ьвз!пв! 2 * Без дальнейших пояснений читатель распространит я понятие равномерно сходящегося ряда и теорему о почаенном его интегрировании на случай, когда члены ряда зависят от д в у х переменных. 145 4 Э. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА У к А з А ни в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
