Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Именно, заключим область (Р) в прямоугольник ()с)=[а, с); с, Ы[, п олагая с= пнп у,(х), а с)= (пах У(х) (см. рис. 39), и опрел х Ь л- «саЬ делим в этом прямоугольнике функцию ~ь (х, у) следуюшим об- разом: у(х, у), если точка (х, у) принадлежит У)) (х, у) = области (Р), 0 в прочих точках прямоугольника ()с), Покажем, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы и 994. Прежде всего, она интегрируема в области (Р), ибо здесь она совпадаег с интегрируемой по условию функцией у(х, уд очевидно, поэтому ~ ~У*(х, у)г7Р= 7Кх, у)с7Р. (Р! (Р) С другой стороны, )*(х, у)=О вне (Р) и, следовательно, интегрируема и в остальной части Я)=Я) — (Р) прямоугольника Я)'", причем ~ ~,Уь (х, у) дЯ = О.
(о) Тогда, в силу 692, 2; функция Уа интегрируема во всем прямоугольнике Я) и ~ ~ У!ь (х, у) Щ = ) ) г'(х, у) ИР. (7) (я) (Р) При постоянном значении х в [а, 9] сушествует интеграл и тс (хя !'(х! в ~У*(х,у)(у= ~ У*Э+ ~ У'4+ ~ У*4' с с «с (х! )'(х! ь Значения ее иа границе атой области роли ие играют, см. бЩ !'. а т. вычисление двойного ннтагеала посколькУ У~(х, У) =У (х, У) длЯ У в [Ур(х), У(х)). Окончательно, >'(к> ~У*(х,у)йу= ~ У(х,у)6у- (8) Ур (к> В силу упомянутой теоремы, для функции У'* существует и повторный интеграл, который равен двойному (см.
694 (4)]: $ $у'в(х, у)(я =$((х $у'(х, у)((у. (я> а р Принимая же во внимание (7) и (8), видим, что эта формула равносильна формуле (6). Если область (Р) представляет собой криволинейную трапецию другого типа и ограничена кривыми х=хр(у), х=Х(у) (с~у~д) и прямыми у=с, у=(р, то вме- сто (6) придем к формуле ') '),г(х, у) ((Р = (~ И Х(У> = $ Ыу $ У(х, у) дх, (6*) Ряс. 40.
Р кр (У) в предположении, что, наряду с двойным интегралом, при у=сопят. существует простой интеграл по х. Замвчанив. Если контур области (Р) пересекается лишь в двух точках как параллелями оси ординат, так и параллелями оси абсцисс (как, например, в случае, изображенном на рис.
40), то при выполнении указанных условий применимы обе упомянутые формулы. Из сопоставления их получается равенство ь гол г Х(У) ')пх ~ у(х,у)(>у=)пу ~ У(х,у)дх, (9) в Ур(к) р,рр (у) ибо существует каждый из трех интегралов справа. Действительно, так как в промежутках (с, у,(х)) и (Г(х), (>( изменения у функция Уч(х, у)=0, то первый и третий интегралы существуют, будучи равны нулю. Второй же интеграл совпадает с интегралом от функции у(х, у): г (к> >' (к> у*(х, у)((у= ~,г(х, у)((у, Ур Ол Ур (к> 159$ 162 гл.
хун двойные интвгвллы которое представляет и самостоятельный интерес. Это — аналог формулы (5) п 694. Если функция у(х, у) в области (Р) непрерывна, то интегралы, двойной и простой, существуют, и формулу (5) или (5*), смотря по типу области (Р), можно использовать для вычисления двойного интеграла. В случае более сложного контура область (Р) обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного типа. (Например, фи,р гура (Р) на рис. 41 рассекается прямо х=а на три такие части: (Р,), (Р,) и (Рв).) Тогда и иског'лу мый интеграл, в силу 592, 2; представляется суммой интегра- ЯУ лов, распространенных в отдель- ности на эти части; каждый из ! Уху ! них вычисляется как указано.
в ! ! В общем случзе также, по- скольку мы свели дело к теореме (2 и х п' 694, в основе умозаключений Рис. 41. лежит разбиение рассматриваемой фигуры на прямоугольные элементы. В связи с этим и здесь для обозначения двойного интеграла пользуются чзсто символом 1 (У(х, у) (х (у; произведение (вх((у напоминает о площади элементарного прямоугольника. Само собою понятны и обозначения л у(х) л х(а) у Ыу((х или ~ ~ у ((хну. а ха(у) ауа (х) 597. Примеры. !) Вычислить двойной интеграл 1 1увугРв хв «Р (Р) где (Р) есть круг радиуса вт с центром в начале координат (апис. 42).
Ркювник, Контур области (Р) имеет уравнение х'+у =тсв, откуда у = -в- г")2в — х'. Очевидно, у =+ )ГРв — х' есть уравнение в е р х н е й полуокружности, а у = — г' Рв — х' является уравнением н и ж н е й полу- окружности. Таким образом, при постоянном х из промежутка [ — вт, вт) переменная у изменяется от — )г Рв — хт до + )ГРв — х'.
По формуле (6) (с учетом ч е т н ос т и по у подинтегральной функции) л + Улв — хв и тна — хв 1= ) ((х ~ у')ГЛв — х' !ту=2 ~ )УЯв — х'лх ~ ув((у. — Ул~ — х' -л 153 в 2. вычисления двойного интегуллл Вычисляем внутренний интеграл: Упз — хз з у' ззу = — (Р' — х') =3 Затем (снова с учетом четности) Я У=ч — 1 = —, ~ ()Н вЂ” Х')'ЗЗ»= — Р'. Совершенно аналогично проводится и вычисление по формуле (6*). 2) Вычислить К=) )(х'+у)з(хну, <А) если область (А) ограничена двумя параболами: у = х' н у' = х.
Рис. 42. Рис. 43. Ряшки ив. Полезно сделать чертеж хотя бы грубо, чтобы получить общее представление об области. Решая совместно уравнейия парабол, находим точки нх пересечения: (О, 0) и (1, 1) (рнс. 43). Если внешнее интегрирование производить по у, то промежутком изменения у будет, очевидно, (О, 1).
Взяв произвольное значение у в этих пределах, видим по чертежу, что х изменяется от х=у' до х = угу, По формуле (6*), К= ~ ззу ( (х'+у) зГ». уЗ Вычисляем внутренний интеграла Уу — з хз 1з Уу 4 — 1 (х'+у) з(х= — +ух ~ = — ут — — уз — у', 3 з з уЗ а затем — и внешний: з ('14 — 1 33 ) У 0' 2 З З ,1 (~З 3 ) 140' 154 гд. хч!. двойнын интвгвяды 3) Вычислить интеграл (т!! где Ю) есть область, ограниченная осями координат и параболой Ргх + + Ргу =1 (рис. 44).
Рзш вин в. Имеем: ! !! — тл!! ! 1 à — 1 У= Х чХ учу= — Х(1 — Г' Х)'!(Х= —. 2 ~ 280' ~ !'х' 4) Вычислить интеграл 1= 1 ~ —,л!хг(у, где (С) есть область, ограни- .) у ченная прямыми х=2, у=х и гиперболой ху=1. Рвш ли из. Нанесем зги линии на чертеж (рис. 45). Совместным решением уравнений легко пол)чить, что прямая х=2 пересекает прямуюу=х Рнс.
44. Рис. 4о. 1! в точке (2, 2), а гиперболу ху=! — в точке (2, — ), прямая же у=х и гипербола (в пределах первого квадранта, гае и лежит рассматриваемая область) пересекаются в точке (1, 1). Если остановиться для вычисления интеграла 1 на формуле (6), то внешнее интегрирование по х придется произвести в промежутке [1, 2). При 1 фиксированном х в атом промежутке пределы изменения у суть у=— х и у=х, Итак, Но х' !у- —,л!у= — — ~ ! =х' — х, ° У' У 1г ! Х так что г ~(хв .)1 9 4 1 аз. вычислении двойного интвгвала В то время как в предыдущих примерах вычисление' по обеим формулам (6) или (ба) представлялось одинаково простын, в данном случае дело обстоит иначе: вычисление по формуле (6*) здесь было бы сложнее.
Тем не менее мы выполним его, ибо поучительно дать себе отчет в причине указанного обстоятельства. Прагмая, параллельная оси х, пересекает контур области в двух точках, так что формула (6*) приложима, Но кривая, ограничивающая нашу область слева, †о отвечает кривой х=х,(у) общей теории, — здесь состоит нз двух частей: куска прямой н куска гиперболы, которые выражаются различными уравнениями.
Инымн словами, упомянутая функция х (у) задается 11 различными формулами в различныз частях промежутка а1 —, 2~ изменения у. Именно, ! 1 —, если — «у(1, ха(у)= у у, если 1~у(2. Справа область ограничена прямой х= 2. Позтому интегрирование по у удобнее разбить и представить.! в виде 1 3 т 3 Так как ха 8 1 -г а(х = — а- — —,, зу зу У х' Я у — аах у* зу' з У то С подобными обстоятельствами приходитсн считаться; ив двух возмож- ныл путей вычисления двойного интеграла, естественно, выбирают более простой. б) Вычислить интегралы: (а) 1а= ~1сов(х+у)ахау, (б) !,= 1)(2х+у)а!ха(у, !М ( ) У.= ~ 5( + Е) бх Ь !!?а) где (Ца) есть треугольник, ограниченный прямыми х=о, у=х, у=в, у=х, у=зх, х= !.
(!2а) — треугольник, ограниченный осями координат и прямою х+у=З, а (()а) — треугольник, ограниченный прямыми 156 гл. хче двойные интегвллы Указаннв. В случаях (а), (б) безразлично, какой нз формул (6), (6*) пользоваться; в случае же (в) удобнее пользоваться формулой (6) (почему7 сделать чертеж!) Ошбеш. (а) у,= — 2; (б) у,= —; (в) /,=25 3. 2У ! 6) Вычнслнть интеграл У = ~ ~ Рг4х' — у' Их ау, распространенный на треугольник, который образован прямымн у=О, х= 1, у = х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
