Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Деля соотношение (17) на 1т получим уравнение упомянутого геометрического места: 1„х — 2Клуху+ 1~у = 1. (!8) распространяя неравенство Б у н я к о в с к о г о на саучай двойных интегралов, легко видеть, что дискриминант 11„— К ~о, так что кривая (18) есть ел липс. Его называют эллипсом инерции. Если К„=О, уравнение (18) получает форму 1лх'+1уУв =1, которая показывает, что в этом случае оси координат служат осямн эллипса инерции (гливными осями инерции). 6) Относительно центробежного момента К„ Рис. 51. установить: а) если одна нз осей, например ось у, будет осью си и метр ни для самой фигуры (Р) и для расположенных нв ней масса, то К =0; (б) есля начало координат является цен тром тяжести фигуры и через точку О,(и, Ь) проведены оси О,х, и О„ум пдраллельные прежним (рис.
51), тв К„,л, = Клу+ иЬ.Р. а Так что р( — х,у)=р(х,у). !599 )уо гл. хщ. двойныв интвгрллы Формула приобретает особенно простой вид, если К„у — — О, именно: Кл „, =ай ° Р. (!9) 7) Пусть плоская фигура (Р) (рис. 52), по которой непрерывным образом расположены массы, вращается с угловой скоростью и вокруг оси у. Определим общую величину развивающейся прн этом центробежной силы Р' и ее момент М относительно оси ля. Для элемента р лр центробежная сила равна ир= »»»хр Нр (направлена в одну сторону при х)0 н в другую прн х(0), а момент ее относительно оси л лМ= »»»ху р г(Р.
Отсюда, суммирую Р= »6 хРЛР= ЗИу, !р! М= '5~хУР лр= 'К„у. Рис. 52. Тркнм образом, при и= 1, величина К„является моментом центробежной силы; отсюда й название ецентробежный момент». Для того чтобы действие центробежной силы на ось вращениа было равно нулю, необходимо и достаточно выполнение равенств и =о, К„=о. Первое означает, что центр тяжести нашей фигуры лежит на оси у, а второе — что эта ось является главной осью инерции. Итак, центробежная Рнс. 53. сила не производит никакого действия на ось вращения лишь при условии, что осью врзщения служит одна из главных центральных осей инерции фигуры.
8) Рассмотрим тело, полученное от вращения плоской фигуры (Р) (рис. 53) вокруг оси у, которая ее не пересекает. Определить его объем Р и положение центра тяжести Ся. в Моменты относительно других осей очевидно равны О, э т. вычисление двойного-интегвалл Р в щ в н и к Возьмем сначала элементарное кольцо, оп»ванное злементом .г(Р фигуры, его объем можно принять равным объему цилиндра высоты 2ях .с основанием аР, так что Ыl = 2ях. аР н Р=2я Ц х ИР =2яМу — — 2аЕ ° Р, (Р1 где Му — статический момент нашей фигуры относительно ос» у, а Š— расстоянйе центра тяжести С фигуры от этой оси. Таким образом, мы снова /~ г Рис.
55. Рис. 54. получили теорему Гу льдина [351), но на этот раз для фигуры', ограниченной любым контуром. Статический момент элементарного кольна; о котором только что была речь, относительно цлоскостн хл, очевидно, равен оМ=у а)г=2вху 4Р, так что М=2я Ц ху ИР=2вКлу. Следовательно, координата у=ее центра тяжести Са равна .„е — Я~ К (20) 9) Применить зту формуау к частному случаю, когда фигура (Р) является прямоугольным треугольником (рис. 54).
При обозначениях чертежа ЬИ(З +Ь) (так как положение центра тяжести треугольника известно). УЧитывая уравнение наклонной стороны треугольника: И у = — (а+ Ь вЂ” х), Ь найдем и К„= . Отсюда, в силу (2О), Че = — ° —. Ьй'(40+ Ь) Ь 4а+5 24 4' .+ ° Ь Как видим, зта координата отлична от координаты й= — непера 3 тяжести самого треугольника. 1О) показать, что если вращающаяся фигура имеет ось симметрии, ПараЛЛЕЛЬНуш ОСИ ВращЕНИя (р»С. 55), тО НЕОбкадНМО Чвм*Ч, т, Е.
цситрЫ тяжести тела и папской фигуры лежат на одной высоте. 172 гл. хи. двойиыв интнгнялы Рис. 56. Рнс. 57. Ряшки ив. При обозначениях чертежа уравнение секущей плоскости будет г=ьу, где я=т3а. Роль (Р) здесь играет полукруг радиуса а, ограниченный полуокружностью х'+у'=а'. Имеем: а Гяг — га а з Л(г~=~ ~ Уг'г(Р=Й ~ ~ У'ахну= — (а — х') ах= — Аа, 2А Г з~ 1р1 — а 5 Р! Ю Так как объем — Ьаа 2 то 3 Е=О т) = — яа, 16 14) То же для части эллипсоида х' у' гг — + — + — ~1.
а' Ьл г' содержащейся в первом октанте (рис. 57). 3 Е = — нйа.[ 32 ' Указание. Это следует из (20) и (19), если учесть, что К„,.=О [см. 6) (а)[. 11) Показать, что при тех же предположениях момент инерции 7 тела, полученного от вращения рассматриваемой фугуры, относительно оси вращения выразится формулой 7=2яЕ(Е'Р+Зуу,). 12) Применить формулы (15) и (15а) к следующему частному случаю: пусть основанием бруса служит прямоугольник [О, а; О, Ь[, сверху же брус ограничен эллиптическим параболондом: х' у' г= — + —.
2р 24' За'4 +2Ь'р а 2аг4+ЗЬгр Ь +Ь" 4' 1 г +Ьа 4' ар+ р а 4+ р Оа'4г+ 10а'Ьгру+ ОЬ'р' 1 а'4+ Ь'р 60рд * 13) Найти центр тяжести цилиндрического отрезка [334, 3), рис. 56[. 1тз в г. вычисление двойного интегвала Рлшлниа. Область (Р) ограничена координатными осями и вллипсом у = — р'а' — х' а (0(х~а); уравнение поверхности зллипсоида в явном виде будет х' у* л=су 1— а' По формуле (15), а з = — а (а' — х') нх = — аЬс'. — Заа) ' ' — Б о Аналогично а — я 2 Мш — — — а Ьс. М „= — аЬ с. 1 'В то же время объем Р= — аьс, я 6 так что 8 8 $= — а т1= — Ь, с= — с.
8 ' 8 15) Для кругового цилиндра высоты Ь и радиуса а найти момент инерции относительно любой плоскости, проходящей через его ось (рис. 58). Рашя пня. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, по второй из формул (16) змеем а та" — ла у„»= ~~улаР Ь ~ ах ~ уаау= — т' аа — ла а а 4 Г з я з = — Л (а' — х') ах = — Ьаа. 4 16) Найти момент инерции Ул для вллипсоида х' у' л' — + — + — ~ 1.
а' Ь' с' Рис. 58. Рвшвнив. Можно ограничиться одним оптантом вллипсояда (рис. 5у), с тгм, чтобы результат умножить на 8. В таком случае областью (Р) будет квадрант эллипса — + — ай 1. ха а' Ь' (т4 ГЛ. ХЧ!. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Имеем +'-- ,) а Ьв (Р Ь у') 4 ~» (~ — — )»»-— Ьв 1' )5 Аналогично I = — чав а« Ук (5 и, наконец, 4 1« = 1,к + 1у, — — — к оЬс (а + Ь').
9 3. Формула Грина 600. Вывод формулы Грина. В настоящем и' мы установим формулу, связывающую двойной и криволинейный интегралы. Рассмотрим область (О) — «криволинейную трапецию» (рис. 59), ограниченную контуром (Е), состоящим из кривых (РЯ): у=у,(х) (а~х(Ь) ()с8)( у = у(х) (а ( Ь ( х) н двух отрезков РЗ и Я)с, параллельных оси у. Предположим, что в области (О) задана функция Р(х, у), вепре. рывная вместе со своей производу у-У(лт дР г "' ду ' у Вычислим теперь двойной ин- 11)1 теграл ~~дРЬ Р, в~ (о! у-фвгх),а) по формуле (б) и 696; мы получим » Ь Г(к) () а Ь х ~~ дР ( ~ ~ дР Рис. 59. (ГЛ а ув (к) Внутренний интеграл здесь легко вычисляется с помощью первообразной функции Р(х, у), именно: Р (к) дР )у - )'(к) — гу=Р(х, у)~ =Р(,х, У(х)) — Р(х,у,(х)).
ду ' )у ур (к) ув (к) ййй! Лб % а. ФОРМУЛА ГРИНА Таким образом, ~ ~ ('Р ((хсу= ~Р(х, у(х))с>х — '>Р(х, у,(х))а>х. (и) О й Каждый из этих двух интегралов может быть заменен теперь криволинейнымм интегралом. В самом деле, вспоминая формулу (7) пч 647, видим„что ~Р(х, г'(х))с(х= ~ Р(х, у)пх, 'Р (Ы> ь ~Р~(, у (~))(гх — Р(х у)(ьт.
0 (>ай> Отсюда $~ — йсоу= ~ Р(х, у)(ьх — ~ Р(х, у)с(х= (и> (8п> (РЕ 1 Р(х, у)(>х+ ~ Р(х. у)йс. (й> (б Желая ввести в рассмотрение интеграл по всему контуру (Е) области (Р), прибавим к правой части полученного равенства еще интегралы Р(х, у) с>х и ~ Р(х, у) с>х, ( Э (по) очевидно, равные нулю, нбо отрезки (Ро) и (ЯЯ) перпендикулярны к оси х (см. 6471. Мы получим ~-~-((хс(у= ~ Рйх+ (( Рг(х+ ~ Рйх+ (( Рйх, и> (>та> (4п> (ло> (ОР> Правая часть этого равенства представляет собой интеграл, взятый по всему замкнутому контуру (Е), ограничивающему область (Р), но в отрицательном направлении. В соответствии с соглашением, установленным нами насчет обозначения криволинейны)( интегралов по замкнутому контуру (6481, мы можем окончательно переписать полученную формулу так: ~ ~-л-;:(>ха(у= — ~Р(х, у)(ах. (и) (х> Хотя формула эта выведена в предположении правой ориентации осей, но, как легко убедиться, она сохраняется без иаменения и при 176 1600 гл.
хш. двойные ннтегэллы ~ ~ д ах у Я(~~ у) у Ф) 1ь"1 (2) в предположении, что функция Я непрерывна в области (О) вместе со своей частной производной —. При этом сначала за область (О) дО дх У принимается криволинейная трапеция видз, изображенного на рис. 60. Она ограничена кривыми (РЮ): х = х, (у) (с:=у = г() (ь))с): х=Л(у) (с==у~И) и двумя отрезками (Рф и ЯЯ, д параллельными оси х.
Затем форРис. 60. мула обобщается, как и выше, на случай области, которая разлагается прямыми, параллельными оси х, на конечное число криволинейных трапеций этого вида. Наконец, если область (О) одновременно удовлетворяет условиям обоих случаев, т. е. разлагается как на конечное число трапеций первого типа, так и (независимо от этого) на конечное число трапеций второго типа, то для нее справедливы обе формулы (1) и (2), конечно, в предположении непрерывности функций Р, О и их производных —, . ВычитаяформудР дО ду' дх' лу (1) из (2), получаем +~ У дд1д д ) 11 (п~ Это и есть формула Грина (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
