Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 35
Текст из файла (страница 35)
64). При Ео=О получается ось у(х=О), а при тм Π— ось х(У=О). Г1 1 Квадрату р, 1; —, 1 на плоскости Еоь например, отвечает заштрихо- ванная область на рис. 64. г(аправлення обхода контуров здесь ие совпадают. В к Злмвна пвввмвнныд в двойном интнп лли 18У Так как дх ду ч' — Еа дх ду 2ЕЧ дЕ дч (Еа+ ч')' ' дч дЕ (Е'+ т~')а ' то якобиан В(х, у) 1 В(Е, 8) = (Ел+па)а 8) Если исходить из формул преобразования х=Еа — ч', у=2Еч, то при любых Е, ч отсюда однозначно получаются х, у, Разрешая же зти формулы относительно Е, ч, найдем: 3' х'+у'+х 1/ У х'+у' — х 2 — у 1 тде знаки Е и т( связаны условием ЕЧ = — у.
Таким образом, каждой точке 2 (х,у), исключая начало, отвечают д в е точки(Е, ч), симметричные относительно начала. Чтобы восстановить одноаначность, можно, например, ограничиться в е р л н е й частью плоскости Еч (со включением положительной части оси Е, но без ее отрицательной части). Рнс. 66. Рис. 65. софокусные (с фокусом в начаае) и Координатными линиями здесь будут соосные параболы (рис. 65): у'=4Е)(Ела — х) и (Еа ре О) ГЛ, ХЧ1. ДВОЙНЫК ННТВГРАЛЫ 133 ЗначениюЕ,=О отвечает отрицательная часть оси х, а значению т)~=0 — ее положительная часть, Я к о б и а н = 4 (Еа + чл) > О, г)(Е, ч) /2Ч 2Е 1 если искл1очить начало. 4) Иногда удобно наперед задаться сеткой к о о р д и н а т н ы х л н н и й и по ним установить систему криволинейных координат.
Рассмотрим, например, два семейства парабол (рис. 66): у'=2рх и хэ=2оу; каждое нз ннх в отдельности заполняет всю плоскость ху (если исключить осн координат). Естественно ввести Е= 2р и ч = 2о в качестве криволинейных координат. Из равенств у'- = Ех и х' = чу имеем х=уг Еда, у=ум Еач н Е= —, ч= — (х, у~~О). х' у Якоб пан здесь равен Е)(х, у) Е2(Е, ч) 5) Будем исходить из семейства софокусных и соосных конических сечений х" у' Лл Л' — с" (6) (эллипсов — при Л) с, гипербол — при 0(Л ( с; рнс. 67). Через каждую точку (х, у) плоскости, нс лежа1цую на осях, проходят один эллипс и одна гипербола нз этого семейства. Действительно, леван часть получаемого из (6) уравнения (Х')а — Х'(х'+уз+ с') + с'х' = 0 имеет знак + при Х=О, знак — при Л=с н снова знак+ при больших Х. Следовательно, уравнение это имеет д в а п о л о ж и т е л ь н ы х корня: один Х ) с и другой Р ( с*; это доказывает наше утверждение, Если предыдущее уравнение рассматривать как квадратное уравнение относительно Ла, то по известному свойству корней имеем Ха+и'=ха+уа+с', Л'ил=саха, а отсюда легко выразить х и у через Х и Ен Лр Г' ()' — с') (с' — Р') Ф с с * Чтобы не путать этих корней,.
мы для большего сохрзняем обозначение Х, а меньший обозначаем через р, 2 2 1 з з Е т, 1 1 2 з з 3 Е 1 1 2 з з 3Е ч 2 2 1 ЗЕ ч 6051 $4. 3АменА пегеменных В двойном интегРАле 189 Ограничиваясь первым координатным углом, иы должны сохранить здесь лишь положительные знаки, Числа Х, Р можно Рассма~ривать, аак криволинейные координаты точек этого угла; йх называют эллиивическими коордииавами. Координатными линияни в этом случае будут как раз исходные конические сечения. Подчеркнем,чтоаизменяется от сдо+со, а Р— от О ло с. Для крайних значений мы получим: ярн Х = с — отрезок оси х от х=о до х=с, при и=с — отрезок оси х от х= с до х= + аа, при Р = Π— положительную часть оси у.
Наконец, легко вычислить якобиан: Рнс. 67, 606. Выражение площади в криволинейных координатах. Пречположим, что на плоскости ху задана некоторая область (Р), ограниченная кусочно-гладким контуром (8) без кратных точек. Пусть формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между втой областью и областью (Ь) на плоскости (и, ограниченной подобным же контуром (~',). Мы сохраним все предположения и 603 относительно этого преобразования областей и, сверх того, еще предположим, что сушествуют и непрерывны в области (Ь) смешанные производные второго порядка для какой-либо из функций (1), скажем: ду ду дд дд '(в силу непрерывности, они будут иметь равные значения, 190) э.
При этих предположениях поставим себе задачей выразить площадь Р рассматриваемой области на плоскости ху в виде двойного интеграла, распространенного на область (й) на плоскости 1я. Мы будем исходить нз формулы, выражающей площадь (Р) криволинейным интегралом, ваятым по контуру (Я области (Р) Р= ~ хну (у) (81 1см.
бб1, (10)1. э Отметим здесь же, что эти дополнительные предположения не с у шеств е нны дая справедливости окончательного результата и введены лишь для облегченна доказательства. !99 (605 гл. хтн двойныв интвггллы п=$ (Оу(г)дс а илн, если принять во внимание (4) и (5), (8) Сопоставим этот интеграл с криволинейным интегралом «(Е, 'й) ~~ п(+ дУ сЬ2), () (0) взятым по контуру (~„") в положительном направлении. Если пожелать свести последний по обычному правилу к обыкновенному определенному интегралу, то пришлось бы подставлять сюда вместо $ " ч функции 6(~) и 8(() из параметрических уравнений кривой (Е), и мы вернулись бы к интегралу (8), Впрочем, нужно иметь в виду еще одно обстоятельство.
При изменении г от а до р описывается в положительном направлении контур (8) — так мы выбрали эти пределы. Но контур (Е) при этом может описываться как в положительном, так и в отрицательном направлении; таким образом, интегралы (8) и (9) могут на деле разниться знаками. Во всяком случае, Д=~ х — Я+хд ~'3Ь ду ду дч О (10) План дальнейших преобразований таков: сначала мы перейдем, пользуясь параметрическими уравнениями контура, от криволинейного интеграла (7) к обыкновенному определенному интегралу.
Затем преобразуем этот последнии опять к криволинейному интегралу, но взятому на этот раз уже по контуру (Е) области (Ь). Наконец, пользуясь формулой Г р и на, заменим полученный криволинейный интеграл двойным интегралом по области (Ь). Во исполнение этого плана нам нужны параметрические уравнения контура ($). Так как в дальнейшем мы имеем в виду перейти к контуру (Е), то и сейчас мы предпочитаем исходить именно нз уравнений этого контура. Пусть (3) дает параметрическое представление кривой (Е); тогда (4) даст, очевидно, такое же представление для кривой (Ю), поскольку (как мы упоминали в п' 603) именно она соответствует на плоскости ху контуру (Е).
Пределы а и р изменения д мы выберем так, чтобы при переходе от а к р кривая (8) описывалась в положительном направлении. Тогда, согласно формуле (5) и' 647, а д заман» пеэемвнных в двойном ннтвгэалв 191 причем (подчеркнем это еще раз) знак плюс имеет лгесто, если положительному обходу контура (8) отвечает полоасителанма аее обход контура (Е), и знак минус — в противном случае. Остается, наконеп, преобразовать полученный криволинейный интеграл в двойной. )Еля этого надлежит воспользоваться формулой Грина $ Р(г т))аЕ+Я(» 'З)а'Ю= $ $ (дŠ— — ) аЕЙЪ а) оч где полагаем Р (Е 'Е) = х;У, С2 (Е, ) = х дУ .
Так как дЯ дх ду уу — = — — +х— дЕ дЕдч ~ дчдЕ дР дхду 1 Ру д11 дч дЕ ~ дЕдч а смешанные производные второго порядка от у равны между собой, дЯ дР Р(х, у) г% д11 р(Е, Ч) ' н мы приходим к формуле Р= ') ') р(Е'ч) аЕбЧ. С Г Р(х,у) (Ь Мы видели в п' 603, что при сделанных предположениях якобиан Р(х, у) ~(Е' "))= Р(Е, ч) сохраняет в области (Ь) определенный знак. Этот же знак имеет и интеграл. Но перед ним еще стоит двойной знак -+"1 так как в результате должно получиться существенно положительное число Р, то ясно, что знак перед интегралом совпадает со знаком якобиаиа. Если ввести этот знак в подинтегральную функцию, то там получится, очевидно, абсолютная величина якобиаиа, так что окончательное выражение для площади будет  — $ $ ~рд» ) ~оЕФХЗ= $ $ $г(Е, 11)) 4)Еат). (11) ы) И) Это и есть та формула, которую мы желали установить.
Подинтегральное выражение ~бЕгЬ)=1,/(Е, т)))б(гЬ) Гл. х71. дзойныв интвгРАлы обычно называют элементом плогцадв в криволинейных координатах. Мы видели, например, что в случае перехода к полярным координатам икобиан равен г; следователыю, элемент площади в полярных координатах есть гйгйд. 606. Дополнительные замечания. 1'. Если сопоставить правило, по которому выбирался знак, плюс или минус, в формуле (10), с тем фактом, что этот знак необходимо совпадает со знаком якобиана, то получится интересное следствие: если якобиан сохраняет положительный знак, то положительные направления обхода контуров (Я) и (Е) соответствуют друг другу по формулам преобразования; если же якобиан имеет отрицательный знак, гпо положительнолгу направлению на одном контуре соответствует отрицательное направление на другом. Очевидно, это же имеет место и по отношению к любой паре взаимно соответствующих простых замкнутых контуров (Е) и (Л), лежащих в областях (В) и (Ь).
Полученный результат легко проверяется на примерах, приведенных в пч 604. 2'. Применяя к формуле (11) теорему о среднем 1592, (9)], получим соотношение Р=~М )! б, (12) где ($, »1) есть некоторая точка из области (Ь), а а — площадь этой области. Сопоставим это соотношдние с формулой Лагр а нжа ~'(~) — у (а) =у (1) (р — а) (я ( $ ( р). Если х=у(1) есть монотонная функция, то она взаимно однозначно связывает промежуток а =1~ р с промежутком у(а):="х '-у(р) (или Щ)(х(у(а), еслибы(х) — убывающая функция). Обозначим длины этих промежутков через 3 и 4 тогда формула Л а г р а н ж а приводит к равенству й= 1У'(1) ( ° Ь, (1З) сходному с равенством (12). Если в формуле (13) лсжимать» промежуток (Ь) в точку 5, то в результате получим соотношение !У'(1) ~ = 11ш —,, так что абсолютная величина производной является как бы коэффициентом искажения (или коэффициентом растяжения) прямой $ в данной ее точке при преобразовании ее в прямую х.
а ь замвнл переменных в двойном ннтзгрьлв 1ЗЗ Точно так же из формулы (12) путем чсжатияь области (а) в точку ($, т() получаем [,У($, т()! =11ш — *, 11 — (1 = )) ),/($, т() ! ((1 (дд. (м — (м (11*) Пусть якобиан в области (а) сохраняет ограниченность: !.l($, ~1)/-=М; тогда интеграл в (11*) разнится от интеграла в (11) на величину Ц!.У(1, з)[лб( л(3. (ь( Переходя в (1 1 ь) к пределу при (1 и 3 + О, восстановим формулу (1 1 ). Лля иллюстрации вернемся к примеру 1) в п' 604 и к фигурам, изображенным на р ис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
