Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 38
Текст из файла (страница 38)
совершенно произвольно. Пользуясь этим произволом, по- хг=х(Ч 4) Л=у(В Ъ') т. е. выберем в качестве точки (хь у;) ту точку области (Р;), которая отвечает точке (1Г, а,') области Щ. Тогда сумма о примет вид а= ч 'У(х($~», а~~), у(Ва, та)) ~ 1((г", аУ) ~Ь;; в этом виде она, очевидно, является интегральной суммой для инте- ~~У(х($, 4,у(1, т1))~.У((, 5)!Айте (20) ко Существование этого интеграла вытекает нз того, что подинтегральная фуигщия либо непрерывна, либо же (сохраняя ограниченность) допускает разрывы лишь вдоль конечного числа кусочно-гладких кривых, которые служат на плоскости Ет1 изображениями кривых разрыва функции г'(х, у).
(610 гл. хгь двойные ннтегвллы Если заставить теперь диаметры всех областей (б,) стремиться к нулю, то по непрерывности функций (1) и диаметры всех областей (11;) также будут стремиться к нулю. Тогда сумма о должна стремиться как к интегралу (19), так и к интегралу (20), ибо для обоих одновременно служит интегральной суммой. Таким образом, ~~У(х,у)г(хну=~ ~,У(х(1, т1), у($, я)) )1(1, т1) !Йдц. (21) ~о1 1в1 Эта формула и решает поставленную задачу — о замене переменных з двойном интеграле. Формула (11), очевидно, является ее частным случаем и получается отсюда при ~(х,у)=1.
Итак, для того чтобы осуществить замену переменных в двойном интеграле (19), нужно не только подставить в функцссю У вместо х и у их выражения (1), но и заменить злемент площади Ыхь1у его выражением в криволинейных координатах. С помощью соображений, аналогичных приведенным в и' 606, 4; и здесь легко установить, что формула (21) сохраняет справедливость в ряде случаев, когда условия, наложенные на преобразование (1), нарушаются в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области. Формула замены переменных в двойном интеграле весьма сходна с формулой замены переменной в обыкновенном определенном интеграле: $У'(х)ь(х= $У(х(с)) х'1с)Л. (22) Однако в формуле (22) отсутствует знак абсолютной величины, что уже несколько нарушает аналогию. Это расхождение объясняется просто. Обыкновенный определенный интеграл берется по о р н е нтиро ван ному промежутку 302: ведь а может быть и меньше и больше Ь, равно как и и может бйть и меньше и больше р. В то же время двойной интеграл мы до сих пор рассматривали лишь по нео р вен тир ованной области. Можно, однако, и в случае двойного интеграла перейти к рассмотрению о р и е н т и р о в а н н ы х областей. Ориентация области создается тем, что ее контуру придается определенное направление обхода — положительное или отрицательное (646); одновременно такое же направление обхода придается и всем замкнутым простым кривым в пределах области.
Если выбирается положительное направление обхода, то говорят, что область п о л о ж и т е л ь н о о р ие нтир ована, в противном же случае — что она отрицательно ориентирована. Естественно условиться для ориентированной области (0) в качестве площади брать ее обыкновенную площадь со знаком плюс, 61Ц а в замзна пзвзмзнных в' двойном интзггалз т если область ориентирована положительно, н со знаком минус — в противном случае. При разложении области (Р) на части (Ог) зти части, как указывалось, ориентируются согласно с ориентацией всей области; соответственным образом снабжаются знаками н их площади. Теперь для ориентированной области (О) можно по образцу п' 668 построить понятие двойного интеграла ~ ~ У(х, у) а(х а(у, 1П> причем этот интеграл совпадает с определенным раньше если область имеет положительную ориентацию, и отличается от него знаком в случае отрицательной ориентации.
Эта новая точка зрения на двойной интеграл позволяет прежде всего формулу (11) п' 606, выражающую площадь в криволинейных координатах, переписать без знака абсолютной велнчины прн якобиане: 0= ~ ~ 1~'У~ айгЬ1= ~ ~ l($,4йаЬ1, Ф1 нв если только ориентацию областей (О) и (Ь) производить согласованно. Это прямо следует нз замечания 606, 1'.
При том же условии формулу (12) и' 606 можно написать также без знака абсолютной величины; Р=,У(Е, ч) Ь, н в такой форме она служит естественным обобщением формулы Л а г р а н ж а. Наконец, теперь н общая формула (21) может быть написана для согласованно ориентированных областей (О) н (Ь) в вийе Таким образом, стоило лишь поставить простые и двойные интегралы в одинаковые условия, чтобы аналогия стала полной! Впрочем, в дальнейшем изложении мы все же вернемся к обычно» точке зрения и будем рассматривать двойные интегралы, распространенные на неориентированные области. 611.
Примеры. Так как преобразование переменных в двойном интеграле часто имеет целью упрощение области нвтегрнровання, то здесь снова нахо.двт себе приложение все указания, сделанные по атому поводу в и' 608. Наряду с этим естественной целию преобразования является также упрощение подннтеграаьяого выражения. гл. хч1. дВОйные интегэллы 1) Если область представляет собой круг (с центром в начале) или его сектор, то выгодно перейти к по лврн ы и координ ат ам. Для примера предлагается наново решить задачи: 1); 17) (а); 18) (б) и' 597.
Для второ» иэ ннх имеем 2«К )г = 1 г1 ху Нх ау = ~ ~ г' соз В в)п 0 й ФВ 1Ф 2« 77« 8 ' =1 а)пОсовОлэ а г'пг Если при этом и в состав подинтегрального выражения входит сумма х'+у', то тем больше оснований ждать упрощений от применения полярных координат. 2) Найти объем части шара (радиуса )г)„вырезаемой нз него прямым круговым цилиндром (радиуса г ( Р), ось которого проходит через центр шара. Рвшв низ. Принимая центр шара за начало координат, а ось цилиндра ва ось е, будем иметь Г)7, ( 4в Г ««2 3 Г 3) найти объем тела, ограниченного параболондом вращения пе = х'+у' и плоскостью л = и. „а« Оаеею. )г= —. 2 * 4) Найти положение центра тяжести для кругового сектора радиуса )с с центральным углом 2«, Р в ш к н и в.
Выбрав за полярную ось (и ось х) биссектрису центрального угла, будем иметь « Му — ~ ~ г' с~й В г1г НВ = — )с«в1па. 2 « 3 -«о Если разделить это выражение на площадь сектора Р=)г«а, то найдется абсцисса Е центра тяжести: 2 з1па Е = — 17. 3 Так как центр тяжести, ввиду симметрии, лежит на биссектрисе, то положение его установлено. 5) Найти массу круга (радиуса )с), плотность которого в каждой точке равна расстоянию этой точки от контура круга.
Оюаею. ю = — 77«. 3 Приведем еще ряд примеров, где выгодно использовать полярные координаты. 6) Найти объем <тела Вин и а ни» (597, 20) ). Рвшви на. Мы имели уже $'=4) 1)г 17« — х« — у«Фх ау> Ф 9111 В 4. замена пвевмвнных в двойном интпггллв 209 где (Р) есть полукруг.в первом квадранте плоскости ху, построенный на Ралпусе 1св сферы, как на диаметре (рнс. 48), Наличие выражения х'+у' в подннтегральной функции подскааывает переход к полярным координатам. Полярное уравнение контура (Р), т, е. полуокружностн, будет г Я созз прн изменении 0 от 0 до †. Таким образом, з П сов а г )г=4 авВ )/)~' — г' ° г с(г = — Дв (1 — пп'В) 440 3 3 (2 31 Как видим, выкладки здесь, действительно, очень упростились'", у) Найти (а) положение центра тяжести н (б) полярный момент инерции для одного лепестка лемннскаты (хв + ув)в 2ав (хв ув) Р в ш в н и в.
(а) Полярное уравнение кривой: г =2а'соз20 [ — — (0( — ~. в / я я1 4 4)' Имеем последовательно: 4 ат'З сов п( и, [ ~ и воя= 2 я а ав ~ созВ созз 2В в46= в" 2 3 я 4 а' (1 — 2М '0)з жзв(В 4г'2 Г 3 н далее, полагая )Г2 Мп 6 = Мпа: ьвт ав созв я аа ав Так как площадь одного лепестка Р=а' [339, 12)[, то  —, чем н 4 ' определяется положение центра тяжести. (б) Имеем 4 атГЗсовж яав У т а т' агв(6= —, о 4 о Не исключена возможность и того, что упрощение подннте'г'рального выражения оказывается связанным с таким усложнением области инте гриров ання„что переходкполярнымкоордннатам в конечном счете невыгоден.
210 !6И гл. хчь двойные интегвзлы 8) Найти полярный момент инерции кардиоиды г=о(1+созВ) относительно полюса. 35 Оювею. l = — яа'. 16 9) Установить для стела Вивиани» полажение центра тяжести. (См, 6).) Р кш з ни в. Из соображениЯ симметрии ясно, что центр тяжести лежит иа оси х. Вычислим статический момент: Мол=4 ~ ~хз~1хв/у=4 ~ ~хфг~~ — хз — уз с(хв/у= Р) Ф 3 И сов 6 4~смвв/О ~ ВгЛ' — г" гвг/г. Внутренний интеграл: ) /Š— ..г*лг= — ( — /Е*) Вг/Š— г*+ г 8 />в . Г ~ г Гссовз //в Г в + — агсз(п — ( = — ~созВ (2ом'0 — 1) япВ+ — — 6~, 8 /Е 1г-э 8 так что М, = — 1 1(2 соз' 0 — соз' 6) мп 9+ ~~ — — 6 1соз 61 в/6 = — — — соз'6+ — созв В+ ~ — — 0) зш 9 — сов в~ ~ = — /Ев. Отсюда, наконец, Е= — "— '= М, 12 /2, (г 5 (дя — 4) 10) Найти объем тела, ограниченного эллиптическим цилиндром .в в — + сз-=1 лв плоскостью з=0 и одной из следующих поверхностей: (а) плоскостью в=Ах+ну+й (й)0), 2з хв у' (б) эллиптическим параболоидом — = — + — (с ) О), с р' в) гиперболическим парвболоидом сз = ху (с ) О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
