Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Доказать, что тогда сходится и двойной интеграл р(х) л(у) «х «у = ~ у(х) «х ! л (у) «у (а,б;с. Ф1 а с [ср. 605, 9)!. Вопрос легко приводится к случаю неотрицательных функций; втнм предположением мы и ограничимся, Если, скажем, оба промежутка конечны, и единственнымн особыми точками являются, соответственно, б и «, то, как мы уже знаем, существует собственный двойной интеграл (Ь и с) О) ь — а у(х) л(у) «х «у= ! у(х) «х ° ( 8(у) «дз 1а, б — $; с, л — с1 а с остается лишь перейти к пределу при Ь О, с — О. Указанные условия относительно функций у и 8 оказываются и необходимыми для существования двойного интеграла, исключая тот случай, когда один из интегралов )[с( )[ ' )[8(У)[«У равен нуае. 8) Найти площадь фигуры (с)с), ограниченной параболами рс = = 2р (х — — 1 и у' = 2л [х — — ) (О ( р ( 6) и осью х [см.
608, 8)[. I Рвшкнив. Воспользовавшись криволинейными координатами, приведенными в указанном месте, имеем: Ра '=л1У-"-~-:) ""= о р л 1 ~ ~ «и ~ — ~ — ~ «и 1 4 ( 1 ° Р « — У' =1= 8 (ч — Р)~~~ ° а л Вычисление площади привело к не собст ве ином у интегралу (особая линия — отрезок оси и). После того как замена переменных распространена н на случай несобственных интегралов, законность проведенной выкладки не может вызывать сомнения.
9) Вычислить интеграл (0(е(п) ! с Л=г) [ тгпс — х' — (с" — хс)у" гсс' — х'«х«у. Ьб 0' [017 228 гл. хщ. двойные ннтегтллы Применим подстановку о ио — т Ьг \ + и' ) г са (1 + и')— с со ОЭ а Г о)'а' — о' Г ли — г(ийо= ° о6' а' — о' и'о= 1+ и' 1+ и' з (,*,р)Т] Здесь оказалось выгодным интеграл с о б с т в е н н ы й свести к н ее обстае нном у, который легче вычисляется. 1О) Двойной ийтеграл Р=Ц е г Нхау существует, нбо существует повторный: ОЭ ОР оо ю Р=~ ох) е "~ у ау=1 е " и'х ° ) е у~ ау =(~ е "~Их)э.
Ь Ф Ь Ь Его легко вычислить, если перейти к полярным координатам; первый квадрант на плоскости ху преобразуется при этом в поаосу на плоскости гэ, ограниченную прямыми 6=0, г=О и 6= †. Таким образом, 3 со ОЭ Р= ~] ] е г газ = — е г(г= 4' — гл яГ,т и 2 ~ Ь Ь Поэтому е их= —. 2 о Этот замечательный по простоте прием вычисления принадлежит П у а ос о н у.
11) Если в том же интеграле Р перейти к эллиптическим координатамм [004, 5)] по формулам В/ (Л" — ст) (св — Ит) у= ' (, ха+у'=Х'+ил — е', с) (х, у) Оа — Ьа )У(Ь, р) хг(Ьт са)(с рл)' Ли х=— $ с где (и, о) изменяется в бесконечном прямоугольнике (О, + ос; О, с]; якобиан равен , Имеем: ]г" 1+ и' )/ с'(1+ и') — о' В з. несовственные двойные интеп длы то получим ( ) ~е — ой+аз — зэ!(Лэ з! ( !Э) .! ф/ (Лэ — сэ) (сэ — рэ) 4 з О или СО с ОЭ с 1с С с ! (' с (е Е ЫЛэзуЛ (' С "'Н (' ШаЛ (' Е '"Иэз(!з я з о о ! 12) С помощью обобщенных полярных координат х=агсозз, у=йгз1пВ (Оа=г(1! 0(В(2я) легко найти значение двойного интеграла о,х с Ь ,.Э уй 2 1 — — —— а' Ьл — + — 1 ,зй хз ай Зз Если ые перейти к Эллиптическим координатам, о которых только что шла речь (взяв с' =а' — Ь', так что данный вллипс отвечает Л = а), то длв того же интеграла получим с а л — и У= оЬ Рт зсЛ зтр.
а )У(аэ — Л') (а' — Иэ) (Лэ — С') (С' — р') о э Таким образом, э а л — и и ЛЛ С!!з = —. $)У(аэ — Л )(а — И*)(Л' — с ) (сз — Иэ) и. ° .,=~,,-э сэ'=У~ — э.- - ~=У~ — э- 1,— йзщ т(о~у, ф - — ), сведем Этот интегРал к следУющемУ: ~ (1 — Фэ а!и ф)+(1 — й ащ 9) — 1 6~ «ф=-,—, о Ь ~/'(1 — йэ зщ' т) (1 — Ьи зщ' ф) Если взять с = 1 и сделать подстановку Л = Ьго + 1, !з= )Уо, то придем к любопытному соотношению: 1517 гл.
хш. двойные интеггллы что может быть представлено в виде Читатель узнает в атом уже встречавшееся нам соотношение Л еж а ндр а [см. 511, 12) и 534, 10)). !3) Приведем вывод известного соотношения между зйлеровыми интегралами 1-го и 2-го рода, принздлежащий Якоби. Так как (при а)0 и Ь)О) Г(а)=~ е ууа ' Ну, Г(Ь)=~ е "ха ' йх, то, очевидно, Г(а) Г(Ь) =! ~ г л Уха !Уа 1 их ау б д Положим здесь х=и(1 — о), у=ио, так что первому квадранту иа плоскости ху отвечает полоса на плоскости ио, ограниченная прямыми о=О, и =О, о= !. Якобиан преобразования равен и. Позтому 1 оо Г(а)Г(Ь)=г) г)е "и ~а ' о '(1 — о)а 'аиро= Ьо Оа ! -ицаеь-т йц.
~ оа-г(1 о)а-т йо Г(а+ 5) В( Ь о что и требовалось доказать. 14) В предыдущем изложении нами был выведен ряд формул, область применимости которых теперь может быть расширена. Это относится, например, к формуле Д и р и х л е: х+уш! (597, 12)) и н более общей формуле Л и у в и а л я: 1 ш ш Г(р) Г(а) й (х+ у) ху,' ут ' Нх Ну = ~ й (и) иу1+т ' Ии лш, ушл Г(Р+4) Ь а+уча! фг1 — й' Мп'ф бф+ нт )' 1 — А а1п Х 1 )' 1 — Й з!Па 'Г Иф — 1 йф Х о аф я а!и" у 5~ )/! — Д'мп' ф 2 гл. хтн двойные интегвллы [В)7 Для примера предлагается установить условия сходнмостн и вычислить интегралы (и ~ 0): ха — 1уа 1 (ха+~))'" "' «.
у газ «" +зз ! хл- !уч-! (б) ~ ~ „«хиу, «;у' о «а+ур» ! ха 'уч ' (1 —." — у) ""' «. 'у «+три! Оиаеи, (а) ~при условии — + — ) и); ар ~ — + — — и) в( †", ф) (б) ~при условии р + — ~ и ); ар(и — — — — ) Г(Р) Г~'Р) Г(1 — и) (в)— (при условии и~)). [Ср. задачу 1).[ 16) Выведенная в п 557, 15) формула К ага л а н а! у (х, у) р [и (х, у) [ Их !(у = ~ р (и) г(ф (и), тИЛ!«, у)ИМ 3В где ф(и) аа '1 ') у(х, у) !(хну, и» л(«, у)ааа с введением несобственных интегралов может быть обобпгсна иа случай + СО М М=+со, если только ) понимать и здесь, как 1нп «$ М-+ и 17) Найти аначение интеграла А='1 ) 1па)п (х — у)!Рх!Ру, (М где А есть треугольник, ограниченный прямымиу=о,х=а,у=х(рис.уй,а). ОЩ в ь.
нвсовстввнныв двойньш интнгзллы Полагая и+с и — т Х= — у=— 2 ' 2 преобразуем область (А) в треугольник (Ь) на плоскости ит, ограниченный Ж Рис. 79. прямымн п=г, и+т=2я, т=О (рнс. 79, 6), Так как якобнан преобразоза- 1 ния равен — то 2' х,= — ~ ~ 1пни С~ИНи= ~ ~1пз)п т озон 1 г 2 .) Э 00 1В) если через (Е) обозначить треугольник, ограниченный пряммми и=г, и=я, С= О (см. рисунок).
Далее можно написать: 1 Г Г я г яа а.= — 1пни Г яг пи = — 1пми СШ= — — 1п2. 2 ~~ 2 2 18) Вычислить (прн любых натуральных ю и п) интеграл где Ря означает л-й многочлен Лежандра. Рвшвни в. г(апомннм, что миогочлен Лежандра с нечетным (четным) значком содержит лишь нечетные (четные) степени х. Отсюда ясно сразу, что У=О, если тоаько хоть один из значков ю или и будет нече т ны и. Пусть же оба они — четные: ш=2ш п=2и Рассмотрим интеграл У'! лв да уа1 По известной формуле я а Ю з ну=2 =2аШ ~ мпалФЫВ=каШ' ' э [В!2 ГЛ. ХУ1.
ДВОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ так что наш интеграл приведется к к Р,„(х) ° (1 — х )Р «Гх, (2п — 1)И Г вЂ” 1 следовательно, он равен 0 при р С ч [по осноВному свойству многочленов Л е ж а н д р а; 320 (8)). Отсюда — предложенный интеграл !'=0 при п=2е~а=2Р. Остается случай, когда п=ю=2Р. В атом случае хе+у" Ш ! хе.! уеш 1 ! ! ![ Р, (х)(! — хе)Ре(х=( — !)Ря " Р, (х)х'ветх= (2!е — 1)И (2Р— 1)И (2!е)И (2!е)И -! 1 (2Р. — 1)И (2!е — 1)И ! =( — 1)РЯ (2 )И т Рч,(х)Рея(х) лех=( — 1)Р2Я 2 )И 4 + ! -1 [320 (10)). Итак, окончательно, кроме случая я=ю=2(е, О, 2 (я — !)И 1 ( — 1)з2х - — если я= ю= 2!е.
яИ 2я+1' Предоставляем читателю убедиться в законности проделанных операций 19) Вычислить интеграл (Лиуви аль) ле) ! з я+у+ з хУ1. ХЗ Ь д Пользуясь правилом Л е й б н и ц а, найдем его производную по параметру А! Ае! ! З Заменим здесь одну лишь переменную х, полагая (прн у = сопя!.) Ае е!х ал 2 = — „так что — = — —; получим ху" Х 2 ~ — — — 3 в у * а!В еул = — йеО. х Предоставляен читателю убедиться в существовании интеграла )З и в доэволительности применения. правила Лей 6 ница. Последнее обосновывается такими же соображениями, как и в случае простого интеграла, 017] 6 в. нвсокстввннын двойные интвп,ллы Интегрнрун зто простое дифференциальное уравнение, найдем )с =Се а'ч Постоянная С опредеантся, если иоложнть Х'*=0: (З) (8) = з!п, ] 3 Итак, окончательно, )о==е ы 2я =1=3 '.
20) Вычислить интеграл ое х у о о ху (где й = сонат.). Так как подинтегральная функция по абсолютной величине не превосходит функции рг ху заведомо имеющей интеграл по первому квалоанту ]ем. 7)], то существование интеграла А обеспечено.
Обозначая через(Р) ту часть первого квадранта, где х)у (на рнс. 80 она заштрнховава), нмеем, очевндно, л у ом 26 ) 'ху 0' ху Произведем теперь замену переменных по формулам и =х +у, о =2 ргху, Рнс. 80. точка (и, о) описывает аналогичную (Р) область (а) на плоскости иц так что и~о. Прн этом Р(и, о) х — у 2 К и' — о' Р(х,у) о Получим после подстановки А=2~ ~ е" .
йийо=2 ~ е лйи ~ = оо. ф~ о о Для вычисления внутреннего интеграла поломки о = и мп 0, йо = и соз 6 80 = рги' — о' ио, и он сведется к интегралу [440, 12)] соз (йи ип 6) йо = — уа (йи) [617 гл. хчь двойныи ннтигралы Пользуясь известным результатом [б24, 3)), найдем окончательно: А= ~ е лу,(яи)Ыи= [гй'+ 1' о 21) Вычислить интеграл В=~ 1 е а"" +д созхбсозучах ау, д б где а, 0 и т1 — постоянные и а)0.
Очевидно, В= — ~ ~ ...ахау. Перейдем к полярным координатам, полагая х=гсозв, у=гнив; одновременно для облегчения выкладок положим также В=рсоа р, ч=рюпч. После подстановки и легких преобразований получим 1 1~ В= — [ч Фв е гта[грсов(в — ч)[ ° гаг+ "~ $ ~' $ ' ги о.~Ф В= — сй е агссн(гр совЛ) г Нг = а1 е агсоз(гр соей) ° г бг, 1 Г 4 Легко вычислить (например, интегрируя по частям), что =( +Ь) а' — Ва е л' соа дг ° гбг = (а ) О), (а'+ Ва)' о В таком случае 3 а' — р' соз' Х я В=~ а+ асмт1)т й-2 в а я а (а'+ р')ьг (а'+ Р+ В'Р Полагая В т- р =Х и пользуясь периодичностью, сведем оба повторных интеграла к одному и тому же: ач 02 я со гзу 612[ Б Б.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ДВОйнын ИНТЙ РАЛЫ Можно н в общем виде показать (пользуясь тем же приемом), что е с л н нвтеграл ~ Т()гх»+у») созх(сщучгГхбу СХ Одвт С я, тО ОН ВСЕГда ОКаЗЫВаЕтСя Эазпеящнн ТОЛЬКО От Е" 1»+па, т. Е. имеет внд у()г Р+ Чг). 22) Пусть (1)) означает треугольник ОАВ (рис. 81), характеризуемый неравенствами 0 х (» и у ~х, а у (х) — произвольная непрерывная от 0 до » функция. Прнводя двойной интеграл у(у) нх ~уу )/ (» — х) (х — у) Ш) н повторному д в у м я способамн, доказать формулу » л » =я $ У(у) гГУ. (15) [По сути дела, это частное применение формулы Д н- Рнс.
81. рнх л е, 597, 10), яо на этот раз — к несобственным интегралам; особые линии здесь: х=» н у=х) Воспользуемся формулой (!5) для решения одной интересной задачи, прннадлежшцей Абелю. Пусть Т(х) есть данная функцня, яепрерывная вместе со своей вронзвадной в промежутке [О, а[, причем Т(О)=0. Требуется о вреде лять непрерывную в этом же промежутке функцию у(х) так, чтобы прн всех х выполнялось условие (!6) р(х)= )г х — у [Такого тяпа уравнение, где н с ко м а я функция стоит под знаком интеграла, называется н н т е г р а л ь н ы и. Уравнение Абеля представляет один нз первых примеров интегральных уравнений; для интегральных уравнений теперь существует широко развитая теория.) Умножив обе части равенства (16) на , проинтегрируем его 1 у' а — х по х от 0 до любого а(0<»(а); ввиду (!5) найдем » Ф вЂ” г" (у) Ю Если взять н слева и справа производную по», используя уже известный нам результат 511, 14), то н придем к выражению искомой функция: у (а) = — лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
