Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Я 8! Р' » — х 233 [612 ГЛ. Х71. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Остается проверить, что полученная функция удовлетворяет поставленным требованиям. Непрерывность ее по а легко устанавливается с помощью указанной в 311, 14) подстановки. Если же эту функцию подставить в уравнение (16), то, опираясь на формулу (!5), найдем х ч х бу 1' Т'(Р) = яр= Т'(1)суг=ч(к) [ч(0)=0], Ук — у~У~ что и требовалось доказать. В заключение остановимся еще на двух-трех примерах, выясняющих некоторые принципиальные моменты. 23) Покажем, прежде всего, что для несобственных интегралов (даже от неотрицательных функций) теорема и' 594, позволяющая из существования двойного интеграла заключить о существовании повторного, вообще не имеет места.

Пусть в квадрате [О, 1; О, 1[ функция у(к, у) определена следующим образом: 1 ! 2в — 1 1 2", если к= 2я и 0(у~2„ у(к, у)= (п=1в 2~ 3~ ...1 л1=1э 2, ..., 2" '), 0 в прочих точках. При у сопз1.можетсуществовать лишь кон'е ч кое число значений к для которых ~'фО, Значит, 1 1 1 У(к, у) бк=О и ~Иу [У(к, у) с(к=О. 2в — 1 Теперь, если к = сопзр. и не имеет вида „ , то у=О и 1 1 2в — 1 у(к, у)бу=О.

Если же к=сопз1= „, то ~у(к, у) яу= 1 о тя 1 1 = ~УИу= 1. Отсюда ясно, что повторный интеграл ~ Юк ~У(к, у) Иу не существует. [Для функции у(к, у)+у(у, к), очевидно, ие существует уже нн один из повторных, интегралов![ Что же касается двойного интеграла, то прежде всего замечаем, что о с о б м е точки заполняют отрезок [О, 1[ иа оси к.

При любом а ~ 0 в прямоугольнике [О, 1; в, ![ функция у может бмть отлична от 0 лишь на 2в — 1 1 конечном числе отрезков прямых к= — для которых — = а. 2Я 1 2Я Поэтому У (к, у) як ду = О; !о,1;.,Ч переходя к пределу при в О, видим, что и У (к, у) Рк ~уу = О. 1а, р о, ц 6)7! з з. несовственнык двойнып интвгвллы 24) Нетрудно установить, что двойные интегралы (а) ~ ~ е кгапхбхФу, (б) ~ ~ ап(ха+у')с(хну оба не сходят ся (в смысле данного в п' 6(2 определения). В случае (а) явно не существует интеграл от абсолютной величины подпнтегральной функцнн, ибо иначе имел бы конечное значенме повторный интеграл !зщх(бх е 'уЫу= ! !лх, г ! з!пх! к чего на деле нет (477).

Отсюда, ввиду 6)3, и вытекает утверждение В случае (б), если через (КП) обозначить квадрант круга радиуса !с с центром в начале, то„ переходя к полярным координатам, будем иметь ап(ха+у')ахоу= 1 66 1 з)пг'ганг= — (! — савву). 4 ! й! Прн возрастания гг до бесконечностн зто выражение определенного предела не имеет, что также решает вопрос. Любопытно отметнтгь что в каждом нз рассмотренных примеров повторные интегралы оба су$цествуют (н даже равны между собой): лу ~ е "Уапкдх= апхг!х е лгау= — (бхл, 2'), 2 Ь о йу ~ ап(х'+у')(Гх= г(х ап(х'+у')Фу= — (ОМ, 5').

4 Ь з Таким образом, для функций переменного знака одно существование повторного интеграла еще не обеспечивает существовання двойного интеграла (напомним, что в 6(4 мы дополннтельно требовали существования повторного интеграла для абсолютной величины функции!). 25) Вели бесконечный нрямоугольннк (О, + со; О, + оо) нсчерпывать пе п р о и з в о л ь н ы и п бесконечно расширяющимися областямн (как зтого требует определение и 6!2), а специально прямоугольнымн облас т я и н вида (О, А; О, В), то в обоих рассмотренных выше случаях окажется, что для интеграла ... бхбу прн А, В +аз существует определенный конечный предел, (61Т Гл. хщ.

Лвойныв ннтпгэдлы Это сразу видно относительно интеграла з1п (х'+ у') пх яу = (з,Х;о,в) А в А ь =~ з)п хае(х ~ сову'пу+~ созх'пх ~ зау'Ву, который при указанном предельном переходе стремится к пределу — (522, 5'). 4 Рассмотрим теперь интеграл е «Уз1пхе(х= — лх — лх. Г апх Г е "мпх х х 1з, А;, в) Первый из интегралов справа (при А + ео) стремится к —, а второй (при А, В + ео) имеет пределом О, ибо по абсолютной величине не превосходит интеграла А — АВ е — Вх т1х В 'о л» Итак здесь окончательно в пределе получается — , 2 Подобные пределы, связзнные со с п е ц н а л и з а ц и е й предельного перехода, напоминают йглавные значения> несобственных интегралов [464).

Их можно рассматривать и в случае произвольной простирающейся в бесконечность области, если вне ее положить функпню равной нулю. Некоторые математики считали целесообразным именно зти пределы класть в основу самого определения понятия несобственного двойного интеграла (что с у щ естт ве ни о разнится от принятого в нашем изложении определения). При такой точке зрения оба рассмотренных в 24) интеграла оказались бы сходящимися и притом не аб с о л ю т н о. Эл мвч ли ив. Сходное положение вещей имеет место по отношению к двойным рядам.

Тал как мы там исходили всегда из бесконечной п р я м о у г о л ь н о й матрицы, то представлялось естественным исчерпывать ее постоянно расширяющимися конечными пр ям о у гольн ы м и же матрицами, что и было нами положено в основу определеннв суммы двойного ряда (394). Поэтому-то двойные ряды могли быть как абсолютно, так и неабсолютно сходящимися. Существует, однако, и другая точка зрения, согласно которой от бескоиечной матрицы конечные куски отдеяяются кривымя произвольной формы, лишь бы удаляющимися всеми точками в бесконечность. Эта точка зрения сближается с той, на которой построено данное выше (612) определение несобственного двойного интеграла.

Если стоять на ней, то и двойные ряды окажутся сходящимися лишь абсолютно, подобно йесобственным интегралам. л Совпадение этого предела с общим значением повторных интегралов, которое имеет место в обоих случаях, конечно, закономерно (ср. 168). ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ ПЛОШАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ф 1. Двусторонние поверхности 618. Сторона поверхности, Установим сначала важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности. В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность задается явным уравнением вида а=у (х,у), можно говорить о в е р хней стороне нли о нижней стороне поверхности ч. Если поверхность ограничивзет некоторое тело, то также легко представить себе ее дзе стороны — внутреннюю, обращенную к телу, и внешнюю, обращенную к окружающему тело пространству.

Исходя нз этого интуитивного представления, постараемся теперь дать точное определение понятия стороны поверхности. Рассмотрим гладкую поверхность (о), замкнутую или ограниченную кусочно-гладким контуром. Так как на поверхности нет особых точек, то в каждой точке поверхности имеется определеннзя касательная плоскость, положение которой н е п р е р ы в н о изменяется вместе с точкой касания, Взяв нз поверхности определенную точку Мм проведем в ней нормаль, которой припишем определенное направление — одно из двух возможных (они отличаются одно от другого знаками направляющих косинусов). Проведем по поверхности замкнутый контур, исходящий нз М, и возвращающийся в Ма, причем предположим, что он не пересекает границы поверхности.

Заставим точку М обойти этот контур н в каждом из последовательных ее положений будем приписывать нормали то из двух напраилений, в которое непрер ы в н о переходит направление, выбранное нами в начальном положении Мь При этом может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернемся в точку Ма с тем же направлением нормали, либо же — с направлением, противоположным исходному. " Мы часто будем пользоваться подобным выражением> подразумевая при атом, что сама ось а направлена вертикально вверх. 242 (Е18 Гл.

хиь повеРхностные интегРллы Если для какой-либо точки М, и какого-либо проходящего через нее контура МьАМь имеет место последнее обстоятельство, то и для любой другой точки М, легко построить замкнутый контур, который, выходя из М, и возвращаясь в нее же, приведет нас в эту точку с направлением нормали, противоположным исходному. Таким, например, будет контур М1МьАМьМь если под М4Мь разуметь кзкуюнибудь проходящую по поверхности кривую, соединяющую М, с М„ но не пересекающую границы поверхности, а под М,М, — ту же кривую в обратном направлении. В этом случае поверхность называют односторонней, Классическим примером такой поверхности является так называемый лист М й 6 ау с а (рис. 82).

Модель ее можно получить, если прямоугольный кусок бумаги АВСО, перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка А совпала с С, а В с О. Если полученное перекрученное кольцо начать красить в какой-либо цвет, то Р можно, не переходя через его Ф Р границы, покрзсить все кольцо этим цветом. Мы впредь подобные поверхности исключим РР из рассмотрения. л Предположим теперь, что какова бы ни была точка Рис. 82. Ма и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий через Мь и непересекающийграинцыповерхности,после обхода его мы неизменно возвращаемся в исходную точку Мь с исходным же направлением нормали. При этих условиях поверхность назывзется двусторонней.

Характеристики

Список файлов книги