Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если условиться принять для каждой такой поверхности за положительнуюю ориентацию ту, которая отвечает внешней стороне поверхности, а за о т р и ц а т е л ь н у ю — противоположную ей, то этим создается некая определенная ориентация самого пространства. Это вполне аналогично тому, как выбор положительного напрзвления (можно было бы сказать — п о л о ж и т е л ь н о й ориентации) на любом лежащем на плоскости простом замкнутом контуре характеризовал ориент зцию плоскости [548). Та ориентация пространства, которая сейчас была определена и .
'в основу которой в конечном счете было положено вращение п р от и в часовой стрелки, называется правой. Если вместо этого исходить из вращения по часовой стрелке, тополучится левая ориентация пространства. Для избежания путаницы мы впредь в тех вопросах, где ориенглация пространства играет роль, всегда будем предполагать правую ориентацию пространства. Нужно сказатгь что и самое расположение координатных осей в пространстве ставится в связь с установленной ориентацией ь Если рассматривать на плоскости незамкнутый или замкнутый контур, определенным образом направленный, то в первом случае о любых двух точках на контуре можно сказать, какая из них предшествует и какая следует, а во втором случае ьго можно сделать, лишь если вместе с точками указать н ограничиваемую вин дугу кривой.
В»том можно усмотреть аналогию со сказанным в тексте. (621 гл. хчи. поввяхностныв интегвалы пространства. При п р а в о й ориентации оси располагаются так, что вращение от оси х к осн у кажется происходящим против ч а совой стрелки, если на них смотреть из положительной части оси е(это сохраняет силу и при круговых перестановках букв хуе) (рис 83,а); при левой ориентации упомянутое вращение происходит п о ч а с о в о й стрелке (рнс. 83, б).
В первом случае координатная система Охуе называется правой, а во втором — левой. В согласии с заключенным выше условием мы в указанных случаях впредь будем пользоваться правой координатной системой. 621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали.
Дадим сейчас важное для дальнейшего приложение изложенной выше идеи о связи между выбором стороны поверхности и созданием на ней той или другой ориент а пи и. Рассмотрим вновь простую незамкнутую гладкую поверхность 8 и выберем определенную ее сторону (а с нею — и ориентацию!). Пусть (Л) будет контур области (Л) на плоскости ио, а (Е) — соответствующий ему контур нашей поверхности. Допустим, что положительному обходу контура (Л) отвечает положительныйй же обход контура (Е)*.
Тогда и для любых соответствующих друг другу контуров (Х) в области (Ь) и Я на поверхности (Я) имеет место то же самое: положительный обход (1) влечет за собой положительный обход (1) зь. При этих условиях для характеристики в ы йр а н н о й стороны поверхности в формулах (2) для направляюи4их косинусов нормали перед радикалом нужно взять знак плюс. Для доказательства этого достаточно установить, что хоть в одной точке направление, определяемое этими формулами со знаком плюс, совпадает с нужным направлением нормали.
Возьмем на поверхности какую-нибудь внутреннюю точку Мь; ей отвечает точка ть(ие ць) в области (Ь). Пусть в этой точке отличен от нуля, скажем, определитель с=~ 'у" ~х,' у,' ь Этого всегда легко добиться, заменив в случае надобности параметр и на — и. ь" Так как о направлении обхода контура можно судить по направлению, в котором описывается любая его часть,то высказанное утверждение очевидно хая контура (ь), имеющего общую часть с (Л), а затем легко переносится и на общий случай. а к двгстогонннв поввгхности Рис.
84 022. Случай кусочно-гладкой поверхности. Развитые в п' 620 идеи дают также удобное средство для распространения понятия стороны поверхности на случай кусочно-гладкой поверхности. Соображения, излвкенные в. пч 616, в этом случае непосредственно неприложимы, так 0ыс вдоль чребер», соединяющих гладкие куски йоверхностн, определенной касательной плоскости не существует, н при переходе через ннх о непрерывном изменении направления нормали говорить не приходится.
Иусть дана кусочно-гладкая поверхность (Ю), состоящая нз гладких кусков (8Д, (Д,), ..., примыкающих один к.другому по ребру— Тогда найдется столь малая окрестность точки л»» на плоскости иэ„ ограниченная контуром (Х), что соответствующая ей окрестность точки Ма на поверхности (о), огрзниченная контуром (1), проектируется на плоскость ху взаимно однозначно. Обозначим контур этой проекции на плоскость ху через (й) (рис. 84).
Если в рассматриваемой точке и в ее окрестности определитель С)О, то положительноиу обходу контура (Х) отвечает положительныа же обход (т. е. при выбранном расположении осей обход против часовой стрелки) контура ф) (см. 606, 1)]. Как видно нз чертежа, для того чтобы соответствующий этому обход контура (~) ч на поверхности тоже казался происходящим против часовой стрелки, на него нужно смотреть сверху, так что нормаль в точке М, в этом случае должна быть направлена в в е р х, и т. е. должна составлять с аг осью я острый угол. Это гг~ и лг ~ ( ф именно и имеет место по формулам. (2), если в них и взять знак плюс, ибо ири С) О тогда и соз») О.
Наоборот, при С<"О нормаль У должна составлять с осью л т у п о и угол, что также л осуществляется на деле при указанном выборе знака, ибо при С(0 и соа»< О. Если гладкая поверхность (8) оказывается замкнутой и ограничивает некоторое тело (ср. 619, 3)), то для нее имеет место аналогичное обстоятельство.
допустим, что мы остановились на определенной стороне поверхности и что положительному обходу одного какого-нибудь контура (1») в области(Ь) отвечает положительный обход определяемого им контура (1») на поверхности (8), если связать (У») с той областью на (8), которая отвечает ограниченной контуром (Х,) области на плоскости ив. В таком случае предложение, доказанное выше пля случая незамкнутой поверхности, будет справедливо и теперь. 248 ГЛ. ХЧП. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ общей части их контуров. Предположим прежде всего, что каждый оэ этих кусков в отдельности является двусторонней поверх- ностью. Но этого, разумеется, недостаточно для того, чтобы всю поверхность (8) можно было рассматривать, как двустороннюю; ведь и поверхность М Е б и у с а легко составляется из двух гладких двусторонних кускок На контуре (К;) каждого куска (о,) (1 = 1, 2, ...) выберем в качестве положительного одно из двух направлений; — этим, кзк мы видели, фиксируется сторона поверхности (Ю;).
Если этот выбор исая часть двух прилсыкаюпаих контуров" описывалась в обоих случаях в прогнив ополоэкных направлениях Рис. 85. (рис. 85), то лишь тогда поверхность (О) является двусторонней. Сторона по- верхности (О) определится, как совокупность сторон ее частей, вы- бранных указанным образом. Если хоть в одном случае направление обхода контура заменить иа противоположное, то для соблюдения нашего условия придется то же сделать и со всеми контурзми. Тогда и выбранные стороны всех кусков (8,) заменятся 1 противоположными им; их совокупность составит ! 1 $ вторую сторону поверхности. Для того чтобы освоиться с установленными соглашениями, предлагается читателю: 1) осущест- вить их на примере поверхности куба (рис. 86), подобрав надлежащие направления обхода конту- ров всех шести составляющих плоских кусков, Рис.
86. 2) дать себе отчет в том, какие аатрудиення встре- тились бы, если бы попытаться то же сделать для поверхности Ме- биуса а, разложенной на два или более двусторонних куска, и, нако- нец, 3) показать, что данное выше определение стороны не зависит от того, на какие гладкие куски разложена поверхность, й 2, Плошадь кривой поверхности 623. Пример Шварца. Понятие площзди кривой поверхности имеет известную аналогию с понятием длины кривой линии.
Длину (незамкнутой) дуги мы определяли как предел периметра вписанной в дугу ломаной — при условии, что длины всех ее сторон стрематся к нулю. В случае же кривой поверхности (тоже, скажем, незамкнутой) естественно было бы рассматривать вписанную в нее многогранную ь Эта часть может состоять и из отдельных кусков, % 2. площадь кРиВОЙ пОВеРхнОсти поверхность и определять площадь кривой поверхности, как предел плошади этой многогранной поверхности — при условии, что диаметры всех граней стремятся к нулю. В конце прошлого столетия, однако, была обнаружена непригодность этого о ределения. Именно, Шварц (Н.
А. Зс)ппагз) показал, что упомянутый предел не существует даже для простого случзя поверхности прямого кругового цилиндра! Мы приведем этот поучительный пример. Пусть дан такой цилиндр радиуса )с и высоты гт'. Впишем в него многогранную поверхность следующим образом. Разделив высоту цилиндра на т равных частей, проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные к оси цилиндра, так что на его поверхности получится т + 1 окружностей (включая сюда и окружности обоих оснований цилиндра). Каждую из этих окружностей разделим на и равных частей так, чтобы Рис.
8?. Рис. 88. точки деления вышележащей окружности находились над серединами дуг нижележащей окружности. Возьмем, далее, треугольники, образованные хордзми всех этих дуг и отрезками, соединяющими концы хорд с теми точкзми деления выше- и нижележащих окружностей, которые расположены как раз над или под серединами соответствующих дуг (рис. 87). В своей совокупности эти 2гпп равных треугольников и образуют нужную нам многогранную поверхность (~ „); модель ее представлена на рис.
88. Подсчитаем теперь площадь о каждого из треугольников. За основание примем хорду, длина которой равна ГЛ. ХШЬ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Для нахождения высоты АВ треугольника (см. рис 87) заметим, что АВ=~/АС'+ВС', где АС= ОС вЂ” ОА =)с (1 — соз — ~, ВС= —. в! Н в!' и' Таким образом, площадь одного треугольника равна а=В з!и — ~/ Я'(1 — соз — ) +( — ), а плошадь всей многогранной поверхности будет „= 2тла = 2йв з!и — ~l й~т" (1 — соз — ) + Щ Когда т н в неограниченно возрастают, то диаметры всех треугольников стремятся к нул!о, но плошадь 2; „предела не имеет. Б самом деле, допустим, что ~п и и возрастают так, что отношение —, стремится к определенному пределу о". Иш —, =в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
