Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 46
Текст из файла (страница 46)
в1 Имеем Иш па!и — =я, в а с другой стороны, в силу сделанного допущения, я! в . в м Ф 1пп т(1 — соз — ! =Иш т2 з!и' - -- =Ив — — = — у. 2в 2 в' 2 Следовательно, г:1, Ищд„'щ в —— 2ягг 1~ 4 ~ +гт ' и мы видим, что предел этот существенно зависит от величины ~у, т. е. от способа одновременного возрастания т и и. При у=О, и только в этом случае, названный предел равен 2яЯН !Величине плошади, выведенной в школьном курсе геометрии), но вместе с и он может равняться даже бесконечности.
Таким образом, при независимом друг от друга возрастании чисел т и л до бесконечности для плошади ~; „ определенного предела, действительно, не существует, и поверхность пилиндра, если стоять на точке зрения упомянутого определения, оказывается лишенной площади.
Важно дать себе отчет в том, чем отличается положение вещей в случае ломаной, вписанной в кривую, и в случае многогранной поверхности, вписанной в кривую поверхность. Будем для простоты считать кривую и кривую поверхность, о которых идет речь, г ла дк и м и. Тогда лищь только хорды, составлявшие ломаную, достаточно малы, направление каждой из них сколь угодно мало разнится от 32[ я х плошадь канвой повввхностн направления касательной в любой точке соответствующей дуги. Поэтому такая бесконечно малая хорда и может со все возрастаюшей точностью служить заменой соответствующего элемента дуги. Напротив, сколь угодно малая многоугольная плошадка, вершины которой лежзт на кривой поверхности, может оказаться вовсе не близкой по своему расположению в пространстве к касательной плоскости к поверхности; в таком случае ззменять элемент поверхности она, понятно, не может.
Это обстоятельство прекрасно иллюстрируется только что рассмотренным примером: касательные плоскости к цилиндрической поверхности все в е р т и к а л ь н ы, а треугольные грани вписанной поверхности при большом о становятся почти горизонта льны ми, образуя мелкие складки. 624. Определение плошади кривой поверхности. Все сказанное приводит к мысли наперед потребовать от вписанной в данную кривую поверхность многогранной поверхности не только того, чтобы диаметры ее граней стремились к нулю, но и того, чтобы р асположение этих граней в пространстве безгранично приближалось к расположению касательных плоскостей к поверхности.
Однако полное осуществление этой мысли далеко не просто, и мы вынуждены от него отказаться [ср. и 827[. Мы дадим определение понятии площадь кривой поверхности, основанное на другой идее, впрочем, тоже представляюшейся вполне естественной. Мы будем рассматривать незамкнутую г л а д к у ю поверхность (8), ограниченную кусочно-гладким контуром (Е). Представим себе эту поверхность разложенной с помошью сети кусочно-гладких кривых на части Рз), (8»), .", (8) и в каждой части (8,) произвольно выберем по точке М,(1=1,2,..., и).
Спроектировав ортогонально элемент (Ю;) на касательную плоскость к поверхности в точкеМь мы получим в проекции плоскую фигуру (Т,) с плошадью Тг Назовем площадью поверхности (8) предел Ю суммы атих площадей Т (1=1, 2, ..., п) при условии, сто диаметры всех влементов (8;) стремятся к нулю. Если через 1 обозначить н а и б о л ь ш и й из упомянутых диаметров, то можно написать Ю= йш ЯТг т-»О д Читатель легко восстановит точную характеристику этого предельного процесса как на «языке а-а», так и на «языке последовательностейж Поверхность, имеющая плошадь, называется квадрируемой. 252 ГЛ.
ХУП, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 626. Замечание. Для того чтобы сформулированное определение получило точный смысл, мы установим следуюшее вспомогательное утверждение: Каждая часть (8') поверхности (о) с достаточно малым диаметром проектируется на касательную плоскость в любой точке М' этой части взаимно однозначно. Таким образом, если диаметры всех элементов (Я;) поверхности, о которых была речь в предыдушем и', достаточно мзлы, то их проекции (Т;) на соответствуюшие касательные плоскости представляют собою вполне определенные плоские фигуры, ограниченные кусочно- гладкими кривыми и ззведомо квадрируемые: сумма ~;Т, имеет смысл.
Перейдем к до каза тель ству. Пусть поверхность (Я) задана параметрическими уравнениями х=х(и, о), у=у(и, о), е=е(и, о), (1) где (и, о) изменяется в области (Ь), ограниченной кусочно-гладким контуром (Л), на плоскости ип. При этом пусть между точками (8) и (Ь) установлено взаимно однозначное соответствие, и точкам контура (Л) отвечают точки контура (Е) поверхности. Для устранения некоторых трудностей, связанных с точками контура, удобно заранее распространить функции (1) с сохранением их дифференциальных свойств [261] на некоторую более широкую область (Л), с тем, чтобы получить гладкую же поверхность (о), служашую как бы продолжением поверхности (о). Каждую точку Мь поверхности (Ю) можно окружить таким куском (з) поверхности (о) [или (Л), если речь о точке контура), чтобы этот кусок выражался явным уравнением одного из трех типов [228] н притом проектировался на соответствуюшую коордннзтную плоскость в некоторый круг.
Можнопредположить, сверх того, что нормали в двух точках(е) никогда не оказываются взаимно перпендикулярными (этого легко добиться уменьшением диаметра области). Тогда мы утверждаем, что кусок (з) поверхности проектируется на касательную плоскость в любой его точке М взаимно однозначно. Для доказательства допустим противное. В такок случае найдутся на (з) три точки Мв М„М, такие, что хорда М1Мя будет параллельна нормали к поверхности в точке Ма (рнс. 89).
Пусть прн этом сама поверхность (з) выражается, скажем, явным уравнением вида в=У(х, у), где точка (х, у) на плоскости ху описывает круг (и). Проведем через хорду М,Мя плоскость, параллельную оси г; она пересечет нашу поверхность (з) по некоторой дуге М,Ма*. Как мы знаем [112, 114], ь Здесь играет роль то обстоятельство, что отрезок М,'М,', в который проектируется хорда М,М, на плоскость ху, целиком принадлежит кругу (л). % а. плОшАдь кРиВОЙ пОВеРхнОсти ' на этой дуге найдется точка М„ в которой касательная параллельна хорде. Но тогда нормаль к поверхности в точке Мь наверное, будет перпендикулярна к этой хорде, з значит, и к нормали в точке Мэ что противоречит допущению, н т.д.
Для того чтобы, опираясь на это, докззать теперь высказанное вначале ~Ч утверждение, мы поступим так. Для каждой точки М« поверхности (8) :л а заменим упомянутую выше ее «окре- 4 бй стность» (э) более узкой «окрестностью» (а') так, чтобы контуры их не имели общих точек. Точке Ма и куску поверхности (а') на плоскости пэ отвечают точка лг, и ее окрестность .(8'); ничто не ме- гу шает не причислять к (а') и (ч') нх контуров, т. ц считать их о т к р ытыми.
Применив к системе ((ч')) 1Гг' открытых областей, покрывающих всю область (б), лемму Бореля Рис. 89. (176), мы выделим конечное покрытие, а, возвращаясь к поверхности (О), отсюда уже легко получить конечное число кусков (а), (а), .... (.), в совокупности покрывающих всю поверхность (О). Наряду с ними рассмотрим и соответственные болеешнрокие области, упомянутые вначале: ( ) (аа) " (а ). Возьмем для каждого 1 точную нижнюю границу расстояний точек куска (а1) от точек части (8) — (а;) поверхности и обозначим через а с наименьшее из этих чисел. Пусть диаметр части (У) нашей поверхности меньше числа ~1.
Если какая-либо ее точкз попадает в некоторое определенное (г)), то вся часть (8') целнком содержится в соответственном (а;) н, следовательно, вместе с (а~) обладзет требуемым свойством. 626. Существование площади Рис. 90. поверхностн и ее вычисление. По- кажем, что при сделанных выше предположениях поверхность (1) кв адр ируемз, и установим удобную формулу для вычисления ее плошади.
Пусть ٠— какая-либо часть (Ю), обладающая тем свойством, которое сформулировано в начале предыдущего п', а М'(х', у', х')— ГЛ, ХУ1!. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ любая ее точка. Перенеся начало координат в эту точку, перейдем к новой системе координаз $т)1: именно, за плоскость $1) возьмем касательную плоскость к поверхности в точке М', а за ось ~ — соответственную нормаль (рис. 90). Формулы преобразования координат имеют вид: ( ч = (х — х) соз а, + (у — у') соз р1+ (а — а') соз Т„ ч=(х — х') сова,+(У вЂ” У') соз Ра+(а — г') соз Тм ь = (х — х') соз Л' + (у — у') соз в' + (а — а') соз т', где а„р1, ..., т' означают углы между новыми и старыми координатными осями, в соответствии с таблицей тя Так как (8') проектируется на плоскость ч1) в некоторую область (T) взаимно однозначно, а, с другой стороны, точки (8') связаны взаимно однозначным соответствисм с точками некоторой части (Ь') области(Ь), то и между точками (7") и (Ь') имеет место такое же соответствие.
Оно осуществляется первыми двумя из формул преобразования, если под х,у, л разуметь функции (1). Пользуясь выражением площади в криволинейных координатах (606], имеем (2) Но якобиан А)(Е, ч) );)(и, я) хи соз а1 +уи соз р1+ яа соз Т1 х, соз а, +у,' соз р1+ у„, соз Т, ~ ха соз аа+уяч соз ря+ а„соз Т, х' соз аз+у„соз ра+ л,', соз Та ~ есть определитель, отвечающий произведению матриц ,'х„у„я„1 ('соз а, соз р1 соз Т11( х, У,' г,'! 'Лсозая созРя сов Тз/ в х площадь канвой повввхности н по известной теореме алгебры равен сумме произведений соответ- ствующих определителей второго порядка ! у,' л,' ~ 1 сов р, соз Т, У,' в,'~ ~ сов Рв сов Та ! сова, совр, = А соз ) ' + В соз )ь'+ С соз Ч.
соз а, соз рз )чты воспользовались здесь тем, что алгебраические дополнения эле'ментов определителя сова, соз р1 сов Т, созе, сов 'Рч сов Тз =1 соз )," соз р' соз ч' н точности равны самим элементам. Это следует, например, нэ того, что каждый из координатных ортов (сова„сов Ро сов Т,), (созн„соз Р„сов Тз), (соз)', сов й', сов й) представляет собой векторное произведение двух других (ср. 664 (2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
