Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Разобьем поверхность (8) с помощью сети произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части (8,), (8',), ..., (8„). Взяв в каждой части (8;) (1= 1, 2, ..., п) по произволу точку М!(хв уи .г;), вычислим в этой точке значение функции .У(М!) =Х(хи У„.,) и, умножив его на площадь 8, соответствующей части поверхности, составим сумму всех таких произведений: и и а = ~~ ~(М!) 8! = ~',7 (х1, уи г!) 8, 1=! ! ! которую мы будем называть — по сходству со многими ранее рассмотренными суммами — и н т е г р а л ь и о й с у м м о й. Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей (8,) к нулю называетса поверхностным интегралом п е р в о г о т и и а и от фунниии У(М) =У (х, у, г) ло поверхности (8) и обозначается символом ! = ~ ~ У(М) !(8 = ~ ~ У(х, у, г) Ы8, !3! 1З! где !18 напоминает об элементарных площадях 8Р и В отличие от поверхностных интегралов второго типа, рассматриваемых ниже (634).
Отсюда, между прочим, ясно, что 7 в (Ьи) отлично от нуля, вбо иначе поверх- ность а новом представлении имела бы особенности. Теперь по формуле замены переменных сразу получаем 631) $ а. пОВВРхнОстные интеГРАлы пеРВОГО типА 2ТЕ 631. Сведбнне к обыкновенному двойному интегралу. Ограничимся случаем простой незамкнутой гладкой поверхности (8) без кратных точек.
Какова бы ни была функция У(х, у, г), определенная в точках поверхности (8) и ограниченная: ~л (х„ у„ г)! ( 1., (2) имеет место равенство ) )У(х, у, «)йЮ= гв[ =~')/(х(и, э), у(и, э), г(и, э)) г' ЕΠ— гпаийэ (3) ('И в предположении существования одного из втих интегралов (что влечет за собой и существование другого). Таким образом, для еведдния поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, г их выражениями через параметры, а влемент площади й8 — его выражением в криволинейных координатах.
Обратимся к доказательству высказанного утверждения. Как уже отмечалось, разложению поверхности ($) на части с помощью кусочно-гладких кривых отвечает подобное же разложение области (а), и обратно. Точно так же, если к нулю стремятся диаметры частей Я, то Вто справедливо и по отношению к диаметрам частей (а), и обратно, Разложим же соответственным образом поверхность (8) на части (8[), (8а), ..., (Яь), а область (Ь) на части (а[), ([ьь), ..., (Ьь) и выберем в каждой части (8[) по точке (хо уь г,), а в части (Ь[) — по точке (и„эг), которые также отвечали бы одна другой, так что (4) х,=х(иь э[), уз=у(и„э[), г,=г(ии э[).
Составим теперь интегральную сумму для интеграла (1): о=,',у'(х[~ у; г[) Ю[. По общей формуле (Зь) и 626 будет 8,=')1 Ф Еа — гпаий . (ь[) Применив же теорему о среднем, получим Ю; [Ф еь — Е[.-;.ьч где (ио эг) есть некоторая точка области (а,). (631 276 Гл. хтн. повеРхностные интеГРАлы — *=уг!...!!!Рлл — л1, „- — !1'~Π— л1„,,)ь 1 л=л ю юг Пусть е) Π— произвольно малое прерывности функции 11 ЕΠ— Р', областей (Ь1) будет ~~/ЕΠ— Еа] =, л Ф Учитывая (2), легко приходим )л — лл число. В силу (равномерной) непри достаточно малых диаметрах ЦГЕа — ЕЧ„„1 (' 1 к оценке )< аЕЬ, так что Вщ(л — ал)=0. Отсюда ясно, что из существования предела для одной из этих сумм следует существование равного ему предела и для другой.
Этим и доказано наше утверждение. В частности, двойной интеграл справа в (3), а значит н поверхностный интеграл слева, существует в предположении непрерывности функции г(х, у, а) вдоль поверхности (Я). Если поверхность (8) задана явным уравнением: л=л(х, у), то формула (3) принимает вид ~)г(х, у, л)118=~~У(х, у, л(х, у)))тг1+ра+6Я1Кхв1у, (б) (8! 1П! где (()) означает проекцию поверхности (Я на плоскость ху. С помощью этого выражения для Ю; и вспоминая (4), мы можем переписать сумму а так: л а= „5',~(А (пн о1), у(иэ э;), г(ип ог)ф/ЕΠ— Р~„„— ЬР 1 ! 1 В этом виде она напоминает интегральную сумму для второго из интегралов (3): л "=Х1! !.„1)~! ь ! *!.„АУлл=л!.-. 1=! 1 Различие между суммами а и ал заключается в том, что в последней и сложная функция 7(...) и корень 3/...
всякий раз вычисляются для одной и той же (произвольно взятой) точки (и1, о1), а в первой — функция,г'(...) берется в точке (и1, о1), а выражение 3Г... в точке (нь о1) (которая называется теоремой о среднем и н е произвольна). Рассмотрим разность между обеими суммами: 6327 з з. позевхиостиьш интнгздлы паевого тнпл 277 т... гт+р -~-д = <,, ....о.а .
т,- 1 ) соя ч1 между нормалью к поверхности и осью л), то формулу (5) можно написать и так: ~ ~ У(х, у, л) И8= Е( ~ У(х,,у, г(х, у)) — "У, (бз) рй уо! Мы предполагали до сих пор поверхность ($), на которую был распространен интеграл, гладкой и незамкнутой. Наши результаты легко распространяются и на случай кусочно-гладкой поверхности, как незамкнутой, так н замкнутой. 632.
Механические приложения поверхностных интегралов первого типа. 1'. С помощью названных интегралов можно определять массы, моменты, координаты центров тяжести и т. и. величины лля м а т е р и аз ь н ы х поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.
Так как здесь нет ничего нового по сравнению со случаем плоского распределения масс, рассмотренным выше, то мы остановимся на зтих вопросах только в упражйениях. 2'. Пришяжеяил лросмого слою Поверхностные интегралы первого типа естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.
Пусть по поверхности (5) непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке М (х, у, х) поверхности плотностью р (М) = р (х,у, л)". Пусть, далее, в точке А (Е, ть Е) (в н е поверхности) находится единица массы. Требуется определить, с какой по величине и по направлению силой Рпритягнвается точка А поверхностью (5), если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения). Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой М(х, у, л) с сосредоточенной в яей массой ш, то величина силы притяжения была бй равна ** ш Ф г где г есть расстояние АМ, т.
е. г = г' (х — Е) + (у — 11) + (л — Е)ч. (6) Так как зта сила направлена от А к М, то ее направляющие косинусы будут х — Е у — ч л — Е г ' г ' г и, следовательно, проекции силы притяжения Р на оси координат выразятся так: Р =ш —, Рг=ш —, Р =и —. х — Е у — ч л — Е га у га ' л га (7) в Взтомслучаеговорято простом слое(вотличие отдвойного слоя, который мы не рассматриваем). «в Как обычно, «постоянную тяготения>, т. е. множитель пропорциональиеетн н бюрмуле Ньютона (зависящий от выбора единиц), мы заменяем елпннцей, чтобы упростить зались.
й78 гл. хчп. повеэхностные ннтегвллы В случае систем ы пр«17ягиваювгнх материальных точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений; наконец, при непрерывном распределении масс по поверхности появятся вместо сумм интегралы. Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть з л ем е н т >(3 поверхности с массой Р а«3, как бы сосредоточенной в одной из его точек М(х, у, в). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси 1ср. (7)): «Рл=Р— ««3, сРу=Р— а "П3> йР«=Р а «3> где г означает расстояние АМ, выражаемое формулой (6), Теперь остается лишь «просуммироватьа этн выражения, что приведет к следующим формулам для проекций силы Р притяжения простого слоя на оси: Р„ = ~ ~ Р†а а3> Р„ = ~ ~ Р ~ — а ~ >Р3> Ра= ~ ~ Р , а>3.
(8) Ю1 пй Ю Этим сила Р определена полностью как по величине> так и по направлению. Если бы притягиваемая точка А и сама лежала на поверхности (3), то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы интегралами (8), но на этот раз интегралы эти были бы н е с о б с т в е н н ы м и, поскольку вблизи точки А подиятегральные функции все перестают быть ограниченными. 8'.
Потенциал лросюого слоя. В случае одной притягивающей точки М(х, у, л), как мы видели, проекции притягивающей силы на оси имеют выражения (7). Легко усмотреть, что эти проекции являютсв частнымн производными по 8, ч и ь от функции которая называется ньююоновским яоюенциалом на точку А поля точки М. !Ср. М6, 1).! В случае поля, созданного системой материальных точек, потенциал выразился бы суммой дробей этого вида, причем производные потенциала по 8, ч, 1 по-прежнему давали бы проекции силы притяжения на оси. Отсюда естественно приходим к такому выражению для потенциала просжого слоя, расположенного по поверхности (3), с плотностью Р, на точку А: (9) Возникает лишь вопрос, сохраняется ли для этого потенциала фундаментальное свойство: (1О) где Р„, Р„, Р, суть проекции силы Р притяжения простого слоя на оси и определяются формуяами (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
