Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ХЧН. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а затем„снова возвращаясь к интегралам второго типа,— 'в виде ~ ~ г — ((у Ю вЂ” ~ ~ я =„((у (1 . кч (а) Здесь соя)(, соз ъ созе„соя ч — направляющие косинусы внешних нормалей к обеим поверхностям. Заметим, что на (а) соз Л= 1 1/1+ а,'+ а,' есть непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, и, следовательно, ограничена снизу положительным числом; при достаточном же сближении нормалей к поверхностям (а) и (а) то же справедливо и относительно соя л для многогранной поверхности (а). Наконец, вводя уравнение х =и (у, а) многогранной поверхности (я), можно переписать это выражение в виде обыкновенного двойного интеграла, распространенного на прямоугольник ((1); Учитывая не только сближение соответствующих точек поверхностей (а) и (а), но и сближение нормалей в них к этим поверхностям, теперь уже ясно, что в упомянутом предельном процессе написанный интеграл стремится к нулю, чем и завершается доказательство. Наряду с формулой (14) объем тела выражается и формулами 1г=( ~ ха(у ((г или 1г=~ ~уел((х, (З( (8( (14*) — —.
1 1 у +у " +"- у 1 (й (16) Во всех случаях интеграл берется по внешней стороне поверхности (8), ограничивающей тело. Вводя вновь направляющие косинусы соя 1(, совр„созч внеш-, ней нормали, перепишем последнее выражение в виде поверхностного интеграла первого типа: 1г = — ~ ~ (х соз 1(+у соз р+ г соа ч) (Ю.
1 г 3,) Ф '(17) которые получаются простым изменением роли осей. Складывая все три, можно получить и более симметричную формулу: 63Щ а (. позе«хностные ннтеп алы вто«ого типа 297 (18) (дх +дх ~ ~~~ д ( дх~ д ~ дх)) „ ) (а) 630. Формула Стокса. Пусть (Ю) снова будет простая гладкая двухсторонняя поверхность, ограниченная кусочно-гладким конту- ром (Л). Точки поверхности с помощью формул х=х(».
'«) у=у(»~ э)~ я=а(» '«) связаны взаимно однозначным соответствием с точками плоской об- ласти (Л), ограниченной кусочно-гладким же контуром (Л), на пло- скости»ъ. При наших предположениях всегда А'+В'+Сч)0. Выбрав определенную сторону поверхности, а в соответствии с этим и ориентацию на ней [6201, для определенности будем считать, что положительному обходу контура (Л) отвечает обход контура (Л) в положительном направлении. Тогда, как мы устано- вили в 621, формулы А В соз Л= соз р.= + г' А'+В" (-С' + )'А*+В'+С' соз т= С + г' А'+ В'+С' характеризуют именно выбранную сторону поверхности (8).
После этих замечаний мы обращаемся к выводу формулы, связы- вающей поверхностный интеграл с криволинейным и служащей обоб- щением уже известной нам формулы Грина (600). Пусть в некоторой пространственной области, содержащей внутри себя поверхность (8), задана функция Р=Р(х, у, г), непрерывная в этой области вместе со своими частными производ- ными. Тогда имеет место формула д дг ду ( ) ддд д г дР дР (э причем направление обхода контура (Ц соответствует той стороне поверхности (3), на которую распространен интеграл справа.
Прежде всего преобразуем криволинейный интеграл по кривой (Е), заменив его интегралом по кривой (Л): () 2 ) Рдх ~ Р.(дх,~» ~ хь) ) (20) (а) Равенство это легко проверить, если ввести параметрическое пред- ставление кривой (Л), а через него — н кривой (Ц: оба интеграла све)())тся к. одному и тому же обыкновенному ннтегралу по пара- метру. Теперь к интегралу в (20) справа применим формулу Грина; [639 ГЛ. ХМП.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Так как последнее подинтегральное выражение в развернутом виде дает (- — +- — +- -) -+' дР дх, дР ду, дР дг1дх, дгх дх ди ( ду ди ( дг ди/до ' доди (дР дх ( дР ду ( дР дг( дх д'х '(дх до + ду до + дг до/ ди ди до дР(дг дх дг дх1 дР ('дх ду дх ду1 дг (ди до % ди) ду (ди до до ди)' то мы приходим к двойному интегралу ~ ~ ( —  — — С)((п(1о. (ю По формуле же (10) его легко преобравовать в поверхностный интеграл И Г дР дР , ддг дт — ((г ((х — — ((х ду; ду (л~ последний берется по выбранной стороне поверхности, ибо именно вту сторону характеризуют формулы (18).
Этим и вавершается докавательство равенства (19) '. Эта формула установлена нами для гладкой поверхности; но ее легко распространить и на случай кусочно-гладкой (само- непересекающейся) поверхности; стоит лишь написать ее для каждого гладкого куска в отдельности и почленно сложить полученные равенства. Путем круговой перестановки букв х, у, г получаются еще два аналогичных равенства: д д д У д ) дх дг (( г д(( дО (л! () Яд =~ -дуг — — д (х, Р дЯ дР дх ( (19о) ~ Рдх+ Я((у+ Я ((г = ~ ~ (д- — дР) а(х((у+ ((.( (л> +( — — — )дудг+( — — — )гМ . д(г дЦ дР д(г (21) Р Следует отметить, что при выводе нами использованы существование дР'( д'х д'х и непрерывность производных — 'и —,, которые в окончатеаьдх ' ди до' до ои ' иом, результате не участвуют. На деле формула имеет место н беа этих предположений. где Я и Я вЂ” новые функции от х, у, г, удовлетворяющие тем же условиям, что и Р.
Складывая все трн равенства (19) и (19о), получим искомый ревультат в наиболее общей форме: бй)) % а пОВеРхностные ннтРГРАлы ВТОРОГО типА 299 Это равенство и называется формулой Стокса (С. О. цойев). Еще раз подчеркнем, что сторона поверхности и направл е н и е о бх о д а контура взаимно определяются по правилу, установленному в п' 620. Если в качестве куска поверхности (8) взять плоскую область(0) на плоскости ху, так что в=О, то получится формула Рйх+ ()йу — ~ ~ (д- — д-) йхйу, () )8) в которой читатель узнает формулу Г р и н а; таким образом, последняя является частным случаем формулы Стокса Я. Отметим, наконец, что поверхностный интеграл второго типа в формуле Стокса может быть ааменен поверхностным интегралом первого типа.
Тогда эта формула примет вид Рйх+ Яйу+)с йл= ~ ~ ((д- — — ) соз Х+ <) )в) +( — — — ) совр+(д- — ~-) сов т (й8, (21 ) причем сова, совр, созт означают направляюшие косинусы нормали, отвечающей именно выбранной стороне поверхност)ь бч(ь Принеры. 1) Вычисаить интеграл ( — ) 1 (хи+уй) ахпу '() распространенный на нижню ю сторону круга *'+у'=)с'. У к Аз А н в в.
Так вак поверхность, по которой берется интеграл, созиалает со своей проекцией (А)) на плоскость ху, то, учитывая сторону, имеем (= — ~ ) (х'+у*) ах ау. и)) Отвею. (= — — )с'. 2 2) Вычислить интеграл У = 1 ~ хауав ах ду по в е р хи ей стороне нижней половины сферы х'+у'+ а'=)са. а Дая облегчения запоминания формулы С т о к с а укажем, что первое слагаемое в интеграле справа — то же, что и в формуле Г р и н а, а остальные получаются нз него.вруговой перестайовкой букв х, у, а и Р, (), К ГЛ. Хчн.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ У казанка Проекцией полусферы на плоскость ху служит круг (О), ограннченнмй окружностью х'+ус=)т'. Уравнепненнжней полусферы я=- — Ьк)се — х' — у'. Поэтому в = — 1 '1 х'у' РкЯ' — х' — у' бх Фу. Ожвея), к = — — сг'. 2я 105 3) Вычислить интеграл К = ) 1 х' Фу а я + у' Ля бх + в' дх ау, Ф распространенный на внешнюю сторону сферы (х — а)'+ (у — Ь)* + (я — с)' = )с*. Рвшкник. Остановимся на вычислении интеграла Кв= ') ~я'ахс)у. (в) Так как явное уравнение сферы будет я — с = -4- Рккт' — (х — а)' — (у — Ь)' (где плюс отвечает верхней полусфере, а мннус — нижней), то удобно представить подинтегральную функцию я' в виде я'=(я — с)'+с'+ 2с(я — с). Сумма первых двух членов, будучи проинтегрирована по верхней стороне верхней полусферы и н н ж н е й стороне нижней полусферы, дает результаты разных знаков, которые взаимно уничтожаются.
Последйий же член, который сам меняет знак прн переходе от верхней полусферы к нижней, дает прн интегрировании по ним равные результаты, так что к.=а ~ ~ гк' — ~ — г — о — о к ю='--к. 3 (к — а) +(у — Ь)с~де Аналогично получаются н другие два интеграла К, = 1 1 х' с)у аз, К, = 1 ) у' е(г Фх. 3 Ожвель К= —, яАЯ (а+ Ь+ с) . 3 4) Найти интегралы (а) уз='1')Лхасу, (б) у,='1'1ябхду, (в) у,=$$лткхаг (й (т) <~ распространенные на в н е ш н ю ю сторону эялнпсонда хк уа яа а+ +с а' Ь' сс Ожвет. (а) I, = О; (б) Уа = — я аЬс; (в) (с = О. 4 640) В 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
