Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА 301 5) Вычислить интеграаы (а) Е, = '! )хс 4у аг, (б) Ес = ) ) ул ал ах гл! по верхней стороне верхней половины того же аллипсонда. / э с Рвшвиив. (а) х=жа 1рг 1 — — —— Ь' с' ' з Е, = 4ас (( ~ (1 — — — —,)' ау Ес, ь, ус сэ где (Ю,) есть первый квадрант зллипса —, + —, = 1. Переходя к обобщенным полярным координатам, легко найдем 2 Е, = — я а'Ьс. Можно столь же легко получить зтот результат, исходя из параметрического представления нашей поверхности: х=аяпу созВ, у=Ьяп рз!пз, г=с соа р (22) — ° 0(6~2 ! 0~6(2я), Так как А = Ьса(псусоаВ, то по формуле (1О) 2 2с 2 Е = а'Ьс а япс Т ФТ ь соз'В аз= — яа'Ьс.
1— 5 (Верхи ей стороне поверхности отвечает знак плюс в упомянутой формуле). (б) Пользуясь и здесь параметрическим представлением, заметим, что В=асяпсуыпз. Позтому 2 2я Е = аЬс' а яп' Т соа Т с(Т 1 яп' В аз = — азс'. 2- ,) 4 з е 6) Найти интеграл !3) по внешней стороне зллипсоида, о котором была речь выше. У к А з А н и в. Интеграл — несобственный, поскольку подинтегральное выражение обращается в бесконечность (в сечениях зллипсоида плоскостями координат). С помощью параметрического представления приходим к собственному двойному интегралу. lаЬ Ьс са! Ошлсш.
4я( — + — + — ). а Ьр' 7) Бели выражение(16) дая объема !стела преобразовать по Формуле(10) в обыкновенный двойной интеграл, то получим У=- — х ~ (Ах+Ву+сл) ни по. 1à — з,) !А! 302 ГЛ. Хч(!. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учитывая значения А, В, С как определителей, легко результат этот предста- вить в виде х у л и уи зи Хи уи яи При этом знак плюс ставится, если А, В, С имеют знаки направляющих косинусов внешней нормали; в противном случае ставится знак минус. 8) Вычислить по этой формуле объем !г зллипсоида а +с а' Ь' с" исходя из параметрического представления (22) (О ( и (я; 0 ~ В ~ 2и!. 4 У казан ив. Определитель равен аЬсми р. Ожаеяь )г=-яаЬс, 3 9) Если поверхность, ограничивающая тело, задана полярным уравнением: г=г(Т, В), то, как в бй), 14), можно перейти к параметрическому представлению поверх- ности, причем роль параметров играют Т, В.
Предлагается, исходя из этого представления, вывести из формулы (23) изящное выражение для объема: =3 .) ! Г (24) [с где (А) есть область изменения параметров и, 6. 10) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (хи +уи+ лт) 2а ху Р в ш в н и в. Исходя нз полярного уравнения поверхности г = а а!и Т Ьг ат~ 26, используем формулу (24). Будем иметь: 3 з з а — 4 эи 'с = — аэ а!пс р йу з!п В соа В ФВ. 3 Вычисляя первый интегралпо формуле(8) из 312, а второй — по формуле в 534, 4), (а), окончательно найдем: У= — аэ Уч1 — ). Вг 2я , ~1 т 11) Проверить формулу Стокса (21) для функций Р=хэуэ, 0=1, РР л, если контур(т.) есть окружность х'+у'=а', з=0, а поверхностью (8) слу- жит полусферах'+у'+л'=а' (л)0).
При этом на поверхности возьмем в е р х н ю ю сторону, а контуру придадим направление против часовой стрелки (если, смотреть сверху), Интеграл х'у' ах+ ау+а срл, ! О 4. повеехностные интегеллы втолого типл очевидно, приводится к одному первому члену т* х'у' дх = — а' юп' О соз' О аз = — — а'. 3 () Далее, имеем д9 дР, ду( д(,') — — — = — Зх'у', — — — =О, дх ду ' ду дР дР дг дх Вычисляя интеграл л — 3 ~ ~ х'у'дахау= — 3 х'у'дхду= — — а', 8 (3) лг ум аз придем к тому же результату, 12) Проверить формулу Сто к с а для функций Р=у, () =г, Л=х, если (ь) есть окружность х=асоал(, у=а)/2 э(птсоз(, г=аяп'( (О((~я), а (5) — ограниченный ею круг.
(Круг этот получается в пересечении плоскости х + г = а н сферы х*+ +у' + га = а') его радиус равен — .1 )'2 l Криволинейный интеграл удх+гду+хдг= а' ( — 3/2 а)плт+2ссз'(з!пт)д(= — — )('2 яал () 2 о поверхностный же — ~ ~ дх ду+ ду дг+ дгдх (Ю) оказывается равен сумме площадей проекций упомянутого круга на коорди. за э натные плоскости, взятой с обратным знаком, т. е. — 2 — соз 45' = 2 л Рг2 яал 2 13) Проверить формулу Стокса, положив Р = у' + г', (г = г' + х', )с = х' + у' и взяв в качестве (3) поверхность, вырезанную цилиндром х'+у'=2гх из сферы х'+у'+ г'= 2Рх(/~) г, г) О). Поибегнув к параметрическому представлению кривой х = г (1+ соз т), у = г оп ф г = ) (2г я — г) )/ 1+ соз г (О ( ( ( 2я) ч, з Если положить х — г=гсозт, у=гюнт, то геометрический смысл $ , араметра т ясен; подставляя эти выражения в уравнение с(реры, найдем н висимость г от С. !йч6 ГЛ.
ХЧП. НОВВРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ дла криволинейного интеграла найдем довольно саожное выражение в виде обыкновенного интеграла: ((гт з!п'Г+ 2г(г! — г) (1 -)-солт)) ( — гашиш)+ + (2г ()т — г) (1+ сов г)+ г'(1+ он Ф)т) г сов г+ +(гт(!+солт)'+газ!п'Г).— гзг ( — з!и г)~)!Г. 1 Г2г Я вЂ” г) 1+сов Г Но первое и третье слагаемые в фигурных скобках имеют внд у(сов Г) 0соз Г, и интегралы от них, ввиду периодичности косинуса, равны нулю. Выполнив остающу)ося выкладку, получим 2лДгт.
Поверхностный же интеграл 2 ~ ~ (У вЂ” л) ))У л)л+ (л — х) ()л ((х+ (х — у) )Гх Фу, (л) рзспространенный на в е р к н ю ю сторону упомянутой поверхности, преобра- зуем сначала в интеграл другого тяпа: 2'1 ~ Ну — з)созЛ+(л — х)совр+(х — У)солт) Л3, (л) Так как х — )с соз Л = соз Р =— У Э л созт= —, Д ° то, подставяяя зги выражения, произведем упрощение н сведем искомый ин- теграл к следующему: 2 ~ ~ (л — у) )($. 2 ~ ~ л г(о = 2 ~ ~ —, «х()У = 2Р ~ ~ а)х )ту =2лу!гз, (л) (л) (л) 14) Проверить формулу Стокса (лз — хз) ))х + (хз — уз) )(у -+ (Уз лз) ))з лл () *= 2 Ц х Их !У+У,У,Ь+ л ил дх, (з) взяв за (3) винтовую поверхность х=исозо, У=из1по, я=со (и(и(Ь; 0(о(2л), В силу симметрии поверхности относительно плоскости хз, интеграл 1 ! у ФЯ оказывается нулем. Остающийся же интеграл снова преобразуем к ннтеграау второго типа: ограниченную двумя винтовыми линиями и двумя прямолинейными отрезками в совокупности образующими контур (Е).
Ответ. Если поверхностный интеграл распространить на верхнюю сторону указанной поверхности, а криволинейный взять в соответствующем направлении, то оба интеграла равны пс(Ь» — в'), 641. Приложение формулы Стокса и исследованию криволинейных интегралов в пространстве. Пусть в открытой области (Т) заданы функции Р, ь),)т, непрерывные со своими производными др др дЯ дЯ д~9 д1~ ду' дз ' дз ' дх' дх' ду ' С помощью формулы С т о к с а легко установить условия, необходггмые и достаточные для и)ого, чтобы обращался в нуль инягеграл ~ Рйх+ Яйу+)«йг, (25) (с) взятый ло любому простому (т.
е. не пересекающему себя) замкнутому кусочно-гладкому контуру (Е), лежащему в (Т). Впрочем, для того чтобы возможно было использовать формулу Ст о к с а, нужно н а п е р е д наложить на трехмерную область (Т), к которой относятся наши рассмотрения, естественное ограничение. Именно„нужно потребовать, чтобы, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контур ((.) в области (Т), на него можно было «натянуть» кусочно-гладкую (самонепересекающуюся) поверхность (Ю), имеющую ((.) своим контуром и также целиком содержащуюся в (Т). Это свойство аналогично свойству односвязности плоской области; при наличии его пространственную область (Т) также называют («поверхностно»* ) одное в я з н о й. Упомянем для примера, что тело, ограниченное двумя концентрическими сферическими поверхностями, будет в этом смысле односвязным, а тор нет.
Пусть же область (Т) будет (поверхностно) односвязной. Натянув на контур ((.), как сказано, поверхность (8), заменим по формуле Ст ок с а криволинейный интеграл (25) поверхностным интег- ралом ~ ~ ~ — — — ) йх йу+ ~ — — — ) йу йг+ ~ — — — ) й йх. гз) Для обращения его в нуль, очевидно, достаточны условия д)г д() др д)« ду дз ' дз дх' дЯ дР дх ду' ь В отличие от другого типа одяосзязности пространственной области, о явторой речь будет ниже (6521.
ав1! а е повввхностныв ннтвгвллы втозого типа Э)б (641 гл. Хтп. повзРхностныз ннтзгРалы Эти условия в то же время и необходимы, в чем легко убелиться (наподобие и' 601), если рассматривать плоские фигуры (Ю), лежащие в плоскостях, параллельных поочередно той или,иной из координатных плоскостей. Читатель видит, что мы использовали здесь формулу С т о к с а совершенно так же, как в пч 601 с аналогичными целями была испольаована формула Г р и н а. Легко доказать, что те же условия (Б) будут необходимы и достаточны для того, чтобы интеграл 1 Рах+ Оау+Гсаг (26) (ЛВ) не зависел от формы кривой (АВ), соединяющей любые две точки А п В области (Т), в предположении, конечно, что эта область поверхностно односвязна.
Нв о в ходим ость. Если предположить интеграл (26) независящим от пути, то (как и в п' 661) отсюда следует обращение в нуль интеграла (26) по простому замкнутому контуру (Е), а значит и выполнение условия (Б). Д о с т а т о ч н о с т ь. Из (Б) вытекает обращение в нуль интеграла (26) по простому замкнутому контуру (Е). Отсюда (как и в 661) легко получается равенство (АП)) (Л)ГВ)~ (27) (Л)В (АШВ) (АПВ) (ЛШВ) откуда и следует (27). С этим исследованием можно связать и вопрос о том, будет ли дифференциальное выражение (28) Рйх+ Яйу+Яаг полным дифференциалом от некоторой однозначной фуняцигг трех переменных. Необходимость условий (Б), для того побы это было так, проверяется непосредственно, см.
п' 664. Но в то если только кривые (А!В) и (АИВ) не имеют общих точек, кроме А н В. Если же это не так, и взятые кривые пересекаются, то 'з де с ь вопрос оказывается более простым, чем в плоском случае: в связной пространственной области (?) всегда можно ваять такую третью кривую (АВ?В), которая уже не пересекалась бы ни с одной из прежних. Тогда 64Ц а ч повеихностныв ннтвгвалы втового типа 307 время как там достаточность условий (Б) была установлена лишь для случая, когда основная область (Т) есть прямоугольный параллелепипед.
теперь нетрудно сделать зто и в общем случае (поверхностно) односвязной области. Первообразная может быть написана сразу в виде криволинейного интеграла ыа н с> ст(х,у, «)= ~ Рбх+ Ябу+Ябг, ыв уы см который — при соблюдении условий (Б) — не зависит от пути. Итак, для области (Т) указанного типа, условия (Б) оказываются необходимыми и достаточными для того, чтобы вырахсение (28) было точным дифференциалом. ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ф 1. Тройной интеграл и его вычисление 642.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
