Главная » Просмотр файлов » Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3

Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 57

Файл №947426 Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления) 57 страницаФихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426) страница 572013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

(10*) (Р) «о Уо(х) хо(х, У) З(В гл. хьчп. ТРойныи и многокРлтныв интВГРллы ~6$ линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получаетс~ с поиощью дополнительного предельного перехода, исходя из соб ствениого интеграла. Своеобразие многомерного случая по сравнении с линейным случаем уже было отмечено в связи с изучениеь несобственных двойных интегралов, и сейчас к этому добавит< нечего.

Несобственные тройные интегралы также являются необходим< а б с о л ю т н о с х о д я щ и и и с я. Это обстоятельство сводит вес< вопрос о существовании и вычислении таких интегралов к случак положи тел ь н ой (неотрицательной) подинтегральной функции. Ограничиваясь этим предположением, можно, как и в случае двой иых интегралов, установить связь между тройным интегралом и раз ного типа повторными интегралами. Остапа вливаться на этом мы не будем. 048. Примеры.

1) Вычислить интеграл '= 1 1 1 (!+ +. +.)" распространенный на тетраедр (Р), ограничизае мый плоскостями х=О, у О, е=0 и х+у-) +з=! (рис. 101), Рвшянив. Проекцией тела на плоскость х! х служит треугольник, образованный прямыми х=О Рис. 101. у=О и х+у= 1. Ясно, что границами измене ння х служат числа 0 й 1, а при постоянном л з этих границах переиенизя у изменяется от 0 д< 1 — х. Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться и< вертикали от плоскости е=О до плоскости х+у+з=1; таким образом пределами изменения л будут 0 и 1 — х — у. По формуле (10*) имеем — ! — л — у У (1 ! ! ! )е Последовательно вычисляем интегралы, начиная с внутреннего; 1 — х-у ез 1[' 1 1 ) (1+х+у+г)з 2 1(1+х+у)з 4~' наконец, а ).

гнойной ннтнгглл и кго вычислкннн 317 2) Вычислить интеграл К=) 1) яссхсту л, 1Р) где (У) есть верхняя половина зллипсоида †, + †,- + -„- ( 1, с" хс с Овса' 1 — — — —, о' Ь' По той же формуле (1О*) хс ус с ! — — —.— а" ги пу о + — )гас-хс а — а ь — — Г ас — хс а" ь — \'ас хс а — ~1-,-У,) ду = — а ь — -Ф а» вЂ” .х" а — Г а* — хс ь а а а з 1 — — — — )стус = —, т (а' — хь) сух= а' Ь',) За' — а а — (а' — х') с)х "= — оЬс'. За' О) '=е' ~ а'х $ ( а о Вычисление можно было бы провести и другим путем. Именно, по формуле (За), лишь меняя в ней роли переменных х и л, будем иметь с с 7 =~ оса)) яс)хсту= )яс(а)) Ыхьсу, 1П ) где (Д,) есть проекция на плоскость ху сечения эллипсоида плоскостью ж=я (проектирование происходит без искажения). Но двойной интеграл ) дхгу н) в Ввиду четности подинтеграа ной функция.

ть уь Р к ш к н и в, Проекцией тела на плоскость ху является эллипс — + — ( о" Ь' ~1. Поэтому пределами изменения х являются числа — л и а, при фиксиро- Ь взнном же х переменная у изменяется от — — )с а' — х' до + — )с'ос — х', о а Тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверлу — поверлностью эллипсоида, так что при фиксированных .к и у пределами изменения а служат з!в гл.

хщп. тиойные и многоквлтныи интегиллы !64$ есть не что иное, как площадь )с втой проекции. Так как контур проекции имеет на плоскости ху уравнение х' ус с а' (1 — —,) Ьс (1 — — ) т. е. предстзвляет собою эллипс с полуосями а~/ 1 — —,, Ь~/! — —,, то, как мы уже знаем, У~,= аЬ(1 — —,). Следовательно, е т чазс' Т=каЬ Р е ~! — ' — ) аз= —. с') 4 Ь Выкладка значительно упростилась, но лишь потому, что удалось ис пользовать известную нам величину площади эллипса. 3) Вычисанть интеграл х' ус л* где (Т) есть весь эллипсоид —,+ —,+ — с(1.

а р в ш з н и в. Применяя второй способ, указанный при решении прелы душей задачи„получим Отсюда ~~ ~ хс(! А) +яеа р,( тс) -а — з с + ~ з (1 — — ) е!з= — яаЬс е е ! е ) Ь -с 4) Вычислить интеграл с )))лстхауал (А! Ьа где тело (А) ограничено конической поверхностью л' = †,(х' +у') и пло скостыо з=й (рис, 102). 64Щ а к тпОйцой ннтвгалп м кто вычнслвннн ЗВ) Р в ш в н н в.

(а) Проекция ((')) конуса на плоскость ху есть круг х*+у'~й'. По формуле (11*) л У= ~ ~ яхяу ~ ляг= — ~ ~ ~И вЂ” — л(х (-у) ~лхву ~Е1 л „.„, + , 1Е~ нлн, переходя к полярным координатам, 2» й Ил Г Г в)ггйа У= ~ 69 ()(' — ~~) ~6~= о (б) Прн другом способе решення можно напвсать л РП где (Р) есть проекция на плоскость ху сечения конуса плоскостью, ей параллеаьной н лежащей на высоте х над нею.

Эта проекция г есть круг радиуса †, так что двойной интеграл, И'л И ' у вгсл представляющий его площадь, равен —,л'. Отсюда И' г к~' вгггИ' у= — л*ол = —. И' 4 5) Вычислить интеграл К= ) ) ) х Фх 6у гЬ, х где ()г) есть призма, ограниченная плоскостями Рис. 102. м=О, у=О, л=О, у=И н х+е=а. У казан на. Воспользоваться формулой (8а); (Рл) есть прямоугольвик ап сторонами И н а — х.

агй Ошаеш: К= —. 6 ' 6) Найти значение ннтегрзла у=) '1 )л'ах аусг», (у') где (Т) есть общая часть двух сфер (рис. 103): ха+уз+в'( Й' н ха+у'+л' (2Ю. Рвшвннв. Пересечение их поверхностей происходит по плоскости л чв-л-. Сечения тела (Т) плоскостямн, пзраллельнымн пвоскости ху, суть яругн. 320 ГЛ. ХТ1П. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРЛТНЫП ИНТПГРЛЛЫ 1648 Переходя и здесь к повторному интегралу — простоиу от двойного, найдем, что 1 — н и 7) Вычислить интеграл 8 — ~ ~(.«+у+«) 4хФу «(«, 1Р1 где (Р) есть общая часть парзболоида х'+у'«-2а«и сферы х'+у'+ «з ~ За' Рвшвннв. Прежде всего,раскрываяпод интегральное в ажение, видим, что интеграль от членов 2ху, 2х«, 2у«по соображениям снм метрии исчезают». Таким образом, 8 = ( 1 ( (х'+ у'+ «') Лх Лу Д«.

191 По формуле (8») (с перестановкой ролей л и «) 8= ~ 3« ~ ~ (х'+у'+«') ох Лу+ ««+у«ел 2»« ач з + ~ Л«Ц (х'+у'+«') г(х 4у а ««+у«ы-Зли — «« Рис. 103. Двойные интегралы легко вычисляются с помощью перехода к поляр ным координатам: Т Бз 2» (~ (г'+«')гйг=2»(а«««+а«з), Т За~- г~ 2» (г'+ «з) г лг = — я (9а' — «').

2 Отсюда »за 8=2» (а'«' + а«з) л« + — я (9а' †«') Л« = 2 Ю = — 118 )Г 3 — — 1. » Эго можно обосновать (прибегнув к повторным интегралам) свой ствами лишь простыл и двойных интегралов. 649[ в т..гнойной ннтегвдл н его вычисление 323 11) Вычислить интеграл жу,эзэз лэ + уэ + ээ Ш Иэ Р к шпи и в. Имеем ут'= х этх у эту л ттз у' азха+раув+1 з' 1 ... эуз = — [) гтэт7э+ (аэ — (э) ха + (3» — тэ) уэ — ргаэхэ + рэуэ[ т'~Ю лэ 1 г 1 — 1 " = »' '+ ' — ' '['— '1' ~ " ' 33' (3' — 1~) а 3 э(рэ э) [1)[ +(а 1)х[ +33э эл и, наконец, после злемеэпарных (хоть и длинных) преобразований 11+1 +ар =15 (3+7)«+«)( +3) ' 12) Показать, что употребитеаьные формулы для вычисления (а) объема цилиндрического бруса, ограниченного поверхностью з = з (х, у), У ='1 ') я ттх эту (П1 и (б) объема тела по поперечным сечениям: ь У=) 1')(х) нх а суть следствия основной формулы: И= ) ~ ) Н' = ~ ~ ~ ох лу Пл.

<Й ( ) У к а запив. Применить к последнему интегралу формулы (11а) н (3э)*. 649. Механические приложения. Естественно, что все геометрические п механические величины, связанные с распределением масс в пределах некоторого тела (У) в пространстве, в принципе выражаются на этот раз тр ойи ы м и интегралами, распространенными на тело (У), Здесь также проще всего 3 ' и ользоваться принцйпом «суммирования бесконечно малых злементовэ [ср. — 356 н 598[. а дальнейшие примеры на вычисление тройных интегралов можно позаимствовать нз и'675> где рассматриваются интегралы л-й кратности, взяв там п=3.

1! ° 324 гд. ипи. и ойныц и иногокватныв ннтцгрлды [649 ж=)г~)ар ар =)ге))гроаха(уаал (~') 1Й (12) !ср. 642), Исходя из элементарных статических моментов арМуа = х а(ж =.тР а(" аГМах =У сам =УР ат)а аРМ„У = л «(ла = ар аВ', найдем самые статические моменты: М а — ) ) )хРла'а Мах — ) )УРайга Мху ) ) ) 8Рай а (и) Ж 1а'1 а по ним — и координаты центра тяжести: ~ ~ ~ хр аа1г ~ ~ ~ур ат1г ~ ~~ ар ай' а Ф ' ж ' ю (14) В случае однородного тела, р=сопзт. получаем проптеа 1~~хат(/ ) ~~УЖ 1Длла Сами собой понятны и формулы для моментов инерции относительно осей координат: 7„~~~(уз+за)р 4)г, 7 — ~~~(за+ха) р лйг, (15) 7 = ) '1 ) (х'+у') р ай: <Р1 нли относительно координатных паоскостей: 7 = ~ ~~ 'ауат1Г, у„а=(((УаР Р)г, уят=((( аРа()г.

Наконец, пусть массы, заполняюптие тело ()а), оказывают притяжение на точку А($, ч, () (массы 1) по закону Ньютона. Сила притяжения со сто роны элемента ааж=рЖ' массы имеет на оси координат проекции* атлу = а Р а()га ь™а = а Р у ч л — 4 х — 4 «~'л = — а где г= Г' (х — Е)а+(у — а))'+(а — а)а в См. сноску ** на стр, 277.

Обозначим через р плотность распределения масс в произвольной точке тела (г); она является функцией от координат точки; зту функцию мы будем всегда предполагать непрерывной. Суммируя элементы массы ааж = р а()г= =р арх труа(л, для величины всей массы будем иметь 9 к тройной интеграл и его вычисление (17) 650. Примеры. 1) В 598 для статических моментов однородного цилнн дрического бруса (при у =1) мы имели формулы: Мук — — ~ ~ лх дх ду, М,к= ~ ~ зу дх ду, Мк = — ~ з'дх ду.

1 Г ку= 2 !Р! (и! !гч Вывести их из общих формул (!3) предыдущего н'. Имеем, например, к!к, у) Мк = ) ) ) л сЧ'= ) ) дх ду ~ л ~й; !к! !гч ио к !.» > > к к!к, 71 ! лил = --з' о к=о что и приводит к требуемому результату. В 598 взамен вычисления последнего интеграла были привлечены соображения из области механики (относительно статического момента злементарного столбика). 2) Аналогично, в предположении, по площадь поперечного сечения тела ()г), параллельного некоторой плоскости, задана в функции расстояниях сечения от атой плоскосшс Р (х), в 356 1) была выведена для стаса~веского момента формула ь М=) х Р(х) дх.

Ее также можно получить, нак следствие из общей формулы. есть расстояние злемента (или точки, в которой мы считаем сосредоточенной его массу) от точки А. Суммируя, для проекций полной силы Р притяжения на оси координат получим ".=1~1="5 "=1 1 Г"' "' (р! А !р! Аналогично определяется н потенциал нашего теза на точку: ЧУ= ~ ~ ~ а —, (18) !Р! Если точка А аежит вне тела, то все эти интегралы оказываются собственными. В атом случае можно дифференцировать интеграл В' по любой из переменных Е ч, 1 под знаком интеграла на основании соображений, сходных с теми, которйми мы пользовались в отношении простых интегралов [507!.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,74 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее