Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(10*) (Р) «о Уо(х) хо(х, У) З(В гл. хьчп. ТРойныи и многокРлтныв интВГРллы ~6$ линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получаетс~ с поиощью дополнительного предельного перехода, исходя из соб ствениого интеграла. Своеобразие многомерного случая по сравнении с линейным случаем уже было отмечено в связи с изучениеь несобственных двойных интегралов, и сейчас к этому добавит< нечего.
Несобственные тройные интегралы также являются необходим< а б с о л ю т н о с х о д я щ и и и с я. Это обстоятельство сводит вес< вопрос о существовании и вычислении таких интегралов к случак положи тел ь н ой (неотрицательной) подинтегральной функции. Ограничиваясь этим предположением, можно, как и в случае двой иых интегралов, установить связь между тройным интегралом и раз ного типа повторными интегралами. Остапа вливаться на этом мы не будем. 048. Примеры.
1) Вычислить интеграл '= 1 1 1 (!+ +. +.)" распространенный на тетраедр (Р), ограничизае мый плоскостями х=О, у О, е=0 и х+у-) +з=! (рис. 101), Рвшянив. Проекцией тела на плоскость х! х служит треугольник, образованный прямыми х=О Рис. 101. у=О и х+у= 1. Ясно, что границами измене ння х служат числа 0 й 1, а при постоянном л з этих границах переиенизя у изменяется от 0 д< 1 — х. Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться и< вертикали от плоскости е=О до плоскости х+у+з=1; таким образом пределами изменения л будут 0 и 1 — х — у. По формуле (10*) имеем — ! — л — у У (1 ! ! ! )е Последовательно вычисляем интегралы, начиная с внутреннего; 1 — х-у ез 1[' 1 1 ) (1+х+у+г)з 2 1(1+х+у)з 4~' наконец, а ).
гнойной ннтнгглл и кго вычислкннн 317 2) Вычислить интеграл К=) 1) яссхсту л, 1Р) где (У) есть верхняя половина зллипсоида †, + †,- + -„- ( 1, с" хс с Овса' 1 — — — —, о' Ь' По той же формуле (1О*) хс ус с ! — — —.— а" ги пу о + — )гас-хс а — а ь — — Г ас — хс а" ь — \'ас хс а — ~1-,-У,) ду = — а ь — -Ф а» вЂ” .х" а — Г а* — хс ь а а а з 1 — — — — )стус = —, т (а' — хь) сух= а' Ь',) За' — а а — (а' — х') с)х "= — оЬс'. За' О) '=е' ~ а'х $ ( а о Вычисление можно было бы провести и другим путем. Именно, по формуле (За), лишь меняя в ней роли переменных х и л, будем иметь с с 7 =~ оса)) яс)хсту= )яс(а)) Ыхьсу, 1П ) где (Д,) есть проекция на плоскость ху сечения эллипсоида плоскостью ж=я (проектирование происходит без искажения). Но двойной интеграл ) дхгу н) в Ввиду четности подинтеграа ной функция.
ть уь Р к ш к н и в, Проекцией тела на плоскость ху является эллипс — + — ( о" Ь' ~1. Поэтому пределами изменения х являются числа — л и а, при фиксиро- Ь взнном же х переменная у изменяется от — — )с а' — х' до + — )с'ос — х', о а Тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверлу — поверлностью эллипсоида, так что при фиксированных .к и у пределами изменения а служат з!в гл.
хщп. тиойные и многоквлтныи интегиллы !64$ есть не что иное, как площадь )с втой проекции. Так как контур проекции имеет на плоскости ху уравнение х' ус с а' (1 — —,) Ьс (1 — — ) т. е. предстзвляет собою эллипс с полуосями а~/ 1 — —,, Ь~/! — —,, то, как мы уже знаем, У~,= аЬ(1 — —,). Следовательно, е т чазс' Т=каЬ Р е ~! — ' — ) аз= —. с') 4 Ь Выкладка значительно упростилась, но лишь потому, что удалось ис пользовать известную нам величину площади эллипса. 3) Вычисанть интеграл х' ус л* где (Т) есть весь эллипсоид —,+ —,+ — с(1.
а р в ш з н и в. Применяя второй способ, указанный при решении прелы душей задачи„получим Отсюда ~~ ~ хс(! А) +яеа р,( тс) -а — з с + ~ з (1 — — ) е!з= — яаЬс е е ! е ) Ь -с 4) Вычислить интеграл с )))лстхауал (А! Ьа где тело (А) ограничено конической поверхностью л' = †,(х' +у') и пло скостыо з=й (рис, 102). 64Щ а к тпОйцой ннтвгалп м кто вычнслвннн ЗВ) Р в ш в н н в.
(а) Проекция ((')) конуса на плоскость ху есть круг х*+у'~й'. По формуле (11*) л У= ~ ~ яхяу ~ ляг= — ~ ~ ~И вЂ” — л(х (-у) ~лхву ~Е1 л „.„, + , 1Е~ нлн, переходя к полярным координатам, 2» й Ил Г Г в)ггйа У= ~ 69 ()(' — ~~) ~6~= о (б) Прн другом способе решення можно напвсать л РП где (Р) есть проекция на плоскость ху сечения конуса плоскостью, ей параллеаьной н лежащей на высоте х над нею.
Эта проекция г есть круг радиуса †, так что двойной интеграл, И'л И ' у вгсл представляющий его площадь, равен —,л'. Отсюда И' г к~' вгггИ' у= — л*ол = —. И' 4 5) Вычислить интеграл К= ) ) ) х Фх 6у гЬ, х где ()г) есть призма, ограниченная плоскостями Рис. 102. м=О, у=О, л=О, у=И н х+е=а. У казан на. Воспользоваться формулой (8а); (Рл) есть прямоугольвик ап сторонами И н а — х.
агй Ошаеш: К= —. 6 ' 6) Найти значение ннтегрзла у=) '1 )л'ах аусг», (у') где (Т) есть общая часть двух сфер (рис. 103): ха+уз+в'( Й' н ха+у'+л' (2Ю. Рвшвннв. Пересечение их поверхностей происходит по плоскости л чв-л-. Сечения тела (Т) плоскостямн, пзраллельнымн пвоскости ху, суть яругн. 320 ГЛ. ХТ1П. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРЛТНЫП ИНТПГРЛЛЫ 1648 Переходя и здесь к повторному интегралу — простоиу от двойного, найдем, что 1 — н и 7) Вычислить интеграл 8 — ~ ~(.«+у+«) 4хФу «(«, 1Р1 где (Р) есть общая часть парзболоида х'+у'«-2а«и сферы х'+у'+ «з ~ За' Рвшвннв. Прежде всего,раскрываяпод интегральное в ажение, видим, что интеграль от членов 2ху, 2х«, 2у«по соображениям снм метрии исчезают». Таким образом, 8 = ( 1 ( (х'+ у'+ «') Лх Лу Д«.
191 По формуле (8») (с перестановкой ролей л и «) 8= ~ 3« ~ ~ (х'+у'+«') ох Лу+ ««+у«ел 2»« ач з + ~ Л«Ц (х'+у'+«') г(х 4у а ««+у«ы-Зли — «« Рис. 103. Двойные интегралы легко вычисляются с помощью перехода к поляр ным координатам: Т Бз 2» (~ (г'+«')гйг=2»(а«««+а«з), Т За~- г~ 2» (г'+ «з) г лг = — я (9а' — «').
2 Отсюда »за 8=2» (а'«' + а«з) л« + — я (9а' †«') Л« = 2 Ю = — 118 )Г 3 — — 1. » Эго можно обосновать (прибегнув к повторным интегралам) свой ствами лишь простыл и двойных интегралов. 649[ в т..гнойной ннтегвдл н его вычисление 323 11) Вычислить интеграл жу,эзэз лэ + уэ + ээ Ш Иэ Р к шпи и в. Имеем ут'= х этх у эту л ттз у' азха+раув+1 з' 1 ... эуз = — [) гтэт7э+ (аэ — (э) ха + (3» — тэ) уэ — ргаэхэ + рэуэ[ т'~Ю лэ 1 г 1 — 1 " = »' '+ ' — ' '['— '1' ~ " ' 33' (3' — 1~) а 3 э(рэ э) [1)[ +(а 1)х[ +33э эл и, наконец, после злемеэпарных (хоть и длинных) преобразований 11+1 +ар =15 (3+7)«+«)( +3) ' 12) Показать, что употребитеаьные формулы для вычисления (а) объема цилиндрического бруса, ограниченного поверхностью з = з (х, у), У ='1 ') я ттх эту (П1 и (б) объема тела по поперечным сечениям: ь У=) 1')(х) нх а суть следствия основной формулы: И= ) ~ ) Н' = ~ ~ ~ ох лу Пл.
<Й ( ) У к а запив. Применить к последнему интегралу формулы (11а) н (3э)*. 649. Механические приложения. Естественно, что все геометрические п механические величины, связанные с распределением масс в пределах некоторого тела (У) в пространстве, в принципе выражаются на этот раз тр ойи ы м и интегралами, распространенными на тело (У), Здесь также проще всего 3 ' и ользоваться принцйпом «суммирования бесконечно малых злементовэ [ср. — 356 н 598[. а дальнейшие примеры на вычисление тройных интегралов можно позаимствовать нз и'675> где рассматриваются интегралы л-й кратности, взяв там п=3.
1! ° 324 гд. ипи. и ойныц и иногокватныв ннтцгрлды [649 ж=)г~)ар ар =)ге))гроаха(уаал (~') 1Й (12) !ср. 642), Исходя из элементарных статических моментов арМуа = х а(ж =.тР а(" аГМах =У сам =УР ат)а аРМ„У = л «(ла = ар аВ', найдем самые статические моменты: М а — ) ) )хРла'а Мах — ) )УРайга Мху ) ) ) 8Рай а (и) Ж 1а'1 а по ним — и координаты центра тяжести: ~ ~ ~ хр аа1г ~ ~ ~ур ат1г ~ ~~ ар ай' а Ф ' ж ' ю (14) В случае однородного тела, р=сопзт. получаем проптеа 1~~хат(/ ) ~~УЖ 1Длла Сами собой понятны и формулы для моментов инерции относительно осей координат: 7„~~~(уз+за)р 4)г, 7 — ~~~(за+ха) р лйг, (15) 7 = ) '1 ) (х'+у') р ай: <Р1 нли относительно координатных паоскостей: 7 = ~ ~~ 'ауат1Г, у„а=(((УаР Р)г, уят=((( аРа()г.
Наконец, пусть массы, заполняюптие тело ()а), оказывают притяжение на точку А($, ч, () (массы 1) по закону Ньютона. Сила притяжения со сто роны элемента ааж=рЖ' массы имеет на оси координат проекции* атлу = а Р а()га ь™а = а Р у ч л — 4 х — 4 «~'л = — а где г= Г' (х — Е)а+(у — а))'+(а — а)а в См. сноску ** на стр, 277.
Обозначим через р плотность распределения масс в произвольной точке тела (г); она является функцией от координат точки; зту функцию мы будем всегда предполагать непрерывной. Суммируя элементы массы ааж = р а()г= =р арх труа(л, для величины всей массы будем иметь 9 к тройной интеграл и его вычисление (17) 650. Примеры. 1) В 598 для статических моментов однородного цилнн дрического бруса (при у =1) мы имели формулы: Мук — — ~ ~ лх дх ду, М,к= ~ ~ зу дх ду, Мк = — ~ з'дх ду.
1 Г ку= 2 !Р! (и! !гч Вывести их из общих формул (!3) предыдущего н'. Имеем, например, к!к, у) Мк = ) ) ) л сЧ'= ) ) дх ду ~ л ~й; !к! !гч ио к !.» > > к к!к, 71 ! лил = --з' о к=о что и приводит к требуемому результату. В 598 взамен вычисления последнего интеграла были привлечены соображения из области механики (относительно статического момента злементарного столбика). 2) Аналогично, в предположении, по площадь поперечного сечения тела ()г), параллельного некоторой плоскости, задана в функции расстояниях сечения от атой плоскосшс Р (х), в 356 1) была выведена для стаса~веского момента формула ь М=) х Р(х) дх.
Ее также можно получить, нак следствие из общей формулы. есть расстояние злемента (или точки, в которой мы считаем сосредоточенной его массу) от точки А. Суммируя, для проекций полной силы Р притяжения на оси координат получим ".=1~1="5 "=1 1 Г"' "' (р! А !р! Аналогично определяется н потенциал нашего теза на точку: ЧУ= ~ ~ ~ а —, (18) !Р! Если точка А аежит вне тела, то все эти интегралы оказываются собственными. В атом случае можно дифференцировать интеграл В' по любой из переменных Е ч, 1 под знаком интеграла на основании соображений, сходных с теми, которйми мы пользовались в отношении простых интегралов [507!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
