Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Мы и здесь [ср. п'603) будем считать, что зтот определитель всегда отличен оэп нуля, сохраняя определенный знак. Если в области (Ь) взять кусочно-гладкую поверхность: Е=Е(и, о), ц=ц(и, о), (,=(,(и, о) (3) (предполагая, что параметры изменяются в некоторон области Е на плоскости по), то формулы (1) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области (Р). Эта поверхность будет иметь уравнения х=х(Е(и, о), Т1(и, о), Г(и, о))=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о).
(4) Ограничимся случаем гладкой поверхности (2): на ней особых точек нет, так что определяем: Р(~1, Е) Р(Е, Е) Р(Е, я) Р(и, о)' Р(и, о)' Р(и, о) 6561 6 з. злмина пиввмвнных в тгойных интегалллх 565 одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и нз поверхности (3). По формуле (6) и' 204 имеем линейные равенства относительно величин (4): 0(у, г) 0(у, г) В(ть С) ь 0(у, г) Р(Е, Е) 0(и, о) В(ги Е) 0(и, о)+В(Е, Е) 0(и, о) ь В (у, г) Р (Е, ч) +Р(Е, ч) 0(и, о)' 0(г,х) В(г,х) В(ьь, Е) В(г,х) 0(Е, Е) 0(и, о) 0(Ч, С) 0(и,о)+0(Е, Е) 0(и, о)+ 0(г, х) 0(Е, ч) +В(Е, ч) Р(и, о)' Р(х,у) В(х,у) 0(Ч, С)ь 0(х,у) 0(Е, Е) В(и, о) 0(ж С) 0(и, о)+ 0(Е, Е) 0(и, о) В(х,у) В(Е, ч) +0(Е, ч) 0(и, о)' Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т. е.
из алгебраических дополнений к элементам определителя (2),— по известной теореме. алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке (а, и) одновременно обратились в нуль, то нулями были бы и все три определителя (5), что противоречило бы допущению. Числа Е, ь(, ь"„одновначно характеризующие положение точки в пространстве хуг, нззываются криволикеинмльп коордььнашалььь втой точки. Точки пространства хуг, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют коордььнальную поаерхносмь. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области (О) проходит по одной поверхности каждого семейства.
Впрочем, все это будет так лишь в предположении строгой однозначности соответствия между областями (Р) и (Ь). На практике эта однозначность часто нарушается. 656. Примеры, 1) Пилиидричеекие координаты представляют соединение полярных координат в плоскости хусобычнойдекартояойаппликатойг(рис.110). ,; Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют гяд х= 6 сьи 6, у = 6 льп 6, г = г, (2) Эти формулы отображают область О < 6 < + со, О < 6 < 2я, — ао < г < + со Рис. 11О. на все пространство хуг. Отметим, однако, что прямая р =О, г =г отобрааьается в одну точку (О, О, г); этим нарушается взаимная однозначность соответствия. 657) 4 а. замена пеееменных в твойных интегвлдлх 345 4) Эллипглические коордпяаглы. Рассмотрим семейство софокусных и со- основных поверхностей второго порядка: „,+, +,—,,,=( (О<»<»), (2) состоящее из эллипсоидоз (при Л )»), однополостных гиперболоидов (при » ) Л )») и, наконец, дзуполостных гиперболоидов (при О < Л <»).
Через каждую точку (х, у, г) пространства, не лсжагцую на координат- ных плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действи- тельно, левая часть уравнения, получаемого из (2): Л' (Л' — »й) (Лй — »') — (Л' — »') (Л' — »й) х' — Л' (Л' — »') у'— — Л' (Л' — »') ай = О, имеет знак минус нри Л=О, знак плюс при Л=», снова знак минус прн Л=» и, наконец, знак плюс прн больших Л. Отсюда следует, что уравнение имеет т р н п о л о ж и т е л ь н ы х корня; один Л )» (что отвечает эллип- соиду), второй Р<», но )» (он дает однополостный гиперболоид), третий ч <» (двуполостный гиперболоид).
Используя свойства корней написанного выше уравнения, которос мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно Лй, а именно; Лй -(- рй+ чй = хй+у'+ я'+»'+»', Л йий + Нйчй + чй» й — (»й +»й) хй +»йуй +»йгй +»й»й Л-нйч =»й» х', найдем Лрч т' (Лй — »й) (Рй — »й) (»й — 'Р) у"(Лй »й)(»й Рй) (»й чй) »)'»' — »й Бели ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах наплежит сохранить лишь положительные знаки. Числа Л, ж ч можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют зллилюическими коордияашами. Три семейства координатных поверхностей — это и будут семейства эллнпсоидов, однополостныхи двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.
Якобиан преобразования имеет вид: У (Лй-Р ) (Лй — ") (нй — ") )'(Л -»)(Л -»)(и -»й)(» — Рй)(» — ")(» — ") 667. Выражение объема в криволинейных координатах. Возвращаясь к предположениям и обозначениям п' 666, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела (()) в пространстве худ тройным интегралом, распространенным на соответствующее тело (ц) в пространстве Еч)ч е. * Как и з и' 6(ю, мы и здесь прелполагаем дополнительно существование и непрерывность частных производных, скажем, хач, хчо..., утч, уы, ..., зто облегчает доказательство, хотя не существенно для верности самого результата. ГЛ. ХТП).
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [(ю7 Искомый объем выражзется прежде всего поверхностным интегралом второго типа [см. 613 (14)]: 0=~ ~х(тх((у, (ю распространенным на а н е ш н ю ю сторону поверхности Я. Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу. Будем исходить из параметрических уравнений (3) поверхности (б) (и, о изменяются в области (Е) на плоскости ио). Тогда уравнения (4) выразят, очевидно, поверхность (8). Полагая 0(х, у) В (и, о)' по формуле (8) и' 636 имеем: 0=) ')яС((п()о. (л) При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности (о), связанная с рассмотрением в н е ш н е й ее стороны, соответствует ориентации плоскости ио, что всегда можно предположить [620, 621].
Так как х, у зависят от и, о через посредство переменных $, ть Г„то, по известному свойству функциональных определителей, [264, (6)]: .В(х, у) 0(1, Ч) ) В(х, у) 0(Ч, С) +В(х, у) 0(С, 1) 0(1, ~)) 0(и, о)+0(Ч, С) 0(и, о) 0(С, 1) 0(и, о)' Подставляя выражение С в полученный выше интеграл, найдем: ~ $ [0(х, у) 0(6 Ч) +0(х, у) 0(В, С) + [0($, Ч)В(и, о) 0(Ч, С) 0(и, о) (л) +0(-') 0(С. 1) 1,и,.
В (С, 1) 0(и, о)] Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности (Е): $ [0(х, у)((а (( [ 0(х, у)и),1г ] 0(х, у) (Гг,(11 (7) 1,[[ '[0(йч) ' ') В(э, с) ") 0(с,1) (а) Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений (3), к обыкновенному двойному интегралу, по формуле, аналогичной формуле (10) и 636, то придем как раз к интегралу (4), Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в з н а к е: если ориентация плоскости ио соответствует ориентации 348 Гл. хань тРОйные и мнОГОкРАтные интегяалы (%6 ком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме: В=1 111~(х'У а)~ ай а.
(ь! (8) или, обозначая якобиан для краткости через У(ч, за Г)! В = ~ ~ ~ ! 1($, й, г.к йч ч<Ь~ б~ Нд (8*) Подинтегральное выражение ф„';,)(йи)йг=~,)(1, ~ с)~абцбГ. обычно называют злементол! объема в криволинейных координатах. 668. Дополнительные замечания. 1'. На поверхностях (Е) н (Я) мы фиксировали определенные стороны, именно, внешние по отношению к ограниченным ими телам. В связи с этим для нззванных поверхностей установлены и определенные ориентации 1620], Если точка на поверхности (Е) опишет простой замкнутый контур, рззделяю!цнй поверхность, и мы остановимся на любой иэ двух огра ничиваемых им областей, то соответствующая ей по формулам (1) точка на поверхности (В) опишет подобный же контур, причем на этот раз нам не придется производить выбор из двух областей, нбо этот выбор осуществится сам собою по тому же закону соответствия (1). Если направление обхода первого контура с точки зрения ориентации поверхности (Е) было, скажеи, п о л о ж и т е л ь и ы м, то направление обхода второго контура, если исходить из ориентации поверхности (8), может оказаться как по по жите л ьн ы и, так и отрицательным.
В первом случае мы будем говорить, что ориентации обеих поверхностей соответствуют одна другой по формулам преобразования, а во втором — что они не соответствуют. Так как мы с самого начала считали ориентацию поверхности (В) отвечающей ориентации плоскости ио, то тот или другой случай имеет место в зависимости от того, будет ли ориентация поверхности (Е) отвечать ориентации плоскости ио или нет. С этим, в свою очередь, был связан выбор того или иного знака перед интегралом в формуле для объема. Но в конце обнаружилось, что упомянутый знак совпадает со знаком якобиана.
Сопоставляя все сказанное, мы приходим к заключению: В зависимости от того, сохраняет ли якобиан полозкительный или отрицательный знак, ориентации обеих поверхностей (Е) и (В) оказываются соответствуюгцими одна другой по формулам преобразования (1) или нет. 659) $ а. ЕАмена пеРеменных в тРОйных ннтегРАлах Зай 2 . Применяя к формуле (8*) теорему о среднем, получаем соотП=!У(Е, ~, Еиб, (9) где (Е, 'з, Е) есть некоторая точка из области (Ь), а Л вЂ” объем этой области. Отсюда легко вывести, что при стягивании области (Ь) к точке (Е, т), Е) будем иметь (ср. и 644, 8'): (~(Е, ~~ Е)(=бш —, так что абсолютная величина якобиана есть коэффициент раст я ж е н н я пространства ЕаЕ (в данной его точке) при преобразовании его в пространство хуг.
3'. Формула (8) ((8«)] выведена при известных предположениях (взаимно однозначное и непрерывное соответствие между областями (О) и (Ь) и т. д). Однако, как и в 606, 4О, можно показать, что нарушение этих условий в отдельных точках или вдоль отдельных линий и поверхностей не мешает формуле быть верной, лишь бы якобиан оставался ограниченным или, по крайней мере, интегрируемым (хотя бы в несобственном смысле).
дх - дх дх — дŠ— г(т) — Ж дЕ дч дŠ— г(Š— дч — Ж ду ду ду дЕ дч дС дг дг дг — дŠ— д ) — дЕ гч дч дс ()(х, у, г) О (Е, ж С) 669. Геометрический вывод. Вывод формулы (6) можно по- строить и на чисто геометрических соображениях (которые и здесь впервые сформулировал М. В. О с т р о г р а д с к и й, ср. 609).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
