Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Пусть задано скалярное поле У(М)=У(х, у, л). Вектор я е яроекииями на оги дУ дУ дУ (4) дх' ду' дл называется градиентом величины У (в соответствующей точке) и обозначается так: д=йтаб У. Это формальное определение имеет тот недостаток, что использует координатные оси и оставляет открытым вопрос о независймости понятия градиента от нх выбора. Чтобы убедиться в втой независимости, вспомним данное еще в первом томе (184] определение производной от функции по заданному ВУ н а и р а в л е н и ю й — которая выражает скорость возрастания функции д! по направлению !. Мы имели там формулу дУ дУ дУ дУ д! дх ду дг — = — соз а + — сов Р + — сов т, где созе, стй, сову суть направляющие косинусы направления ); если через Х обозначить единичный вектор, проведенный в этом направлении, то ее можно переписать и так: дУ вЂ” = йтаб У Х = йгабтУ.
д! Наибольшего значения эта производная, очевидно, достигает в том случае, когда направление 1 совпадает с направлением градиента, причем это наибольшее значение равно )пгаб Ц= ~/ ~ — ) +( — ) +( — ), Это приводит нас к такому определению (ср. 184): градиентам скалярной величины У а данной точке называется вектор, который ио численному значению и ио направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины У. Здесь уже координатная система не упоминается вовсе.
Легко усмотреть, что направление градиента совпздает с направлением нормали к поверхности уровня У(х, у, л)=С, проходящей через данную точку. Итак, с к а л я р н о е и о а е У(М) порождает в е к т о р н о е п о л е градиента Втаб У. й «. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Гамильтон (%. й. Папийон) ввел в рассмотрение символиче- ский ве кт ор с проекциями д д д дх' ду' дз на оси координат, который ои назвал «наблой» и обозначил через т« Поль- зуясь этим обозначением, можно написать, что егаб У= 7(У. Действительно, если упомянутый «вектор» формально «умножить» на ска- ляр У, то п получится вектор с проекциями (4)! Примеры.
1) Обозначая через г радиус-вектор ОМ, соединяющий не- которую постоянную точку О с переменной точки М пространства, а через г — его длину, положим О (М) = Е (г), где ч — какая-Забудь скалярная функция от положительного скалярного аргу- мента г, имеющая производную постоянного знака. Поверхностями уровня, очевидно, будут сферы радиуса г с центром в О, так что направление гра- диента совпадает с радиальным или прямо противоположно ему, смотря во тому, будет ая Т'(г) ) 0 нли ~ О. Легко видеть, что пгабч (г) = в' (г) —.
г г' В частности, с сигай — = — —, г («=сон«1). г г' в точке О массу ю и рассмотреть поле ньютоновского напряжение Р в точке М будет ш г ш Г= — — — = — — г гзг гз Ксан поместить притяжения, то его и, таким образом, Р= пгаб —. г' Вопрос о том, может лн данное векторное поле быть рассматриваемо как поле градиента для некоторой скалярной величины, имеет большую важность. По существу он для нас не нов; мы вернемся к нему ниже (670). 2) Рассмотрим поле температуры ««Взяв элемент поверхности (дд) с определенным образом направленной нормалью я, подсчитаем количество ЛО тепла, протекшего через этот элемент в направлении и за бесконечно малый промежуток времени дг. Тепло течет от более нагретых частей тела или среды к менее нагретым, и притом тем быстрее, чем быстрее у б ы в а е т температура. Обычно принимают, что упомянутое выше элементарное коли- (дИ чество тепла Ж) пропорционально д8, д« и, накоиеп„~ — ~.
Обозначая через й )О коэффициент пропорциональности («козффициент внутренней теплопроводности» для данного места), можно написать дО= — йддд( д —., дУ в согласии со скззанным выше количество тепла «(О оказывается положи- дУ тельным именно в том случае, когда — отрицательно, т. е. когда в направлении в температура У убывает.
676 ГЛ. ХУН!. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [667 Если ввести так называемый вектор потока тепла "а= — й егад (( то выражение для е(О можно переписать короче: е(О = е(3 е!г йю 667. Поток вектора через поверхность. Пусть теперь задано некоторое векторное поле А (М), т. е.
заданы три функции (3), Возьмем поверхность (8) и, выбрав определенную ее сторону, обозначим через соя Х, сов н, солт направ- ляющие косинусы соответственно направ- Ю/ ленной нормали н. Тогда поверхностный интеграл аю ~ ~ (Ахсоз1+ А„сов р+ Аесозт) й3, ий который короче можно калисать так: ~ [А„йз, (з[ называют потоком лектора А через поеерхкость (3) и указанную сторону. Обратимся к примерам. 1) Самое название епотокъ связано с неРис, 1!6. 'которой гидромеханической задачей. Рассиотрии движение жидкости в пространстве; в общем случае мы не предполагаем его стационарным, так что скорость движения о зависит не только от положения точки М, к которой она относится, но н от времени ц Поставим себе задачей вычислить количество жидкости, протекающее через поверхность (3) в определенную сторону за бесконечйо малый промежуток времени аЕ. Через злемент (е(8) поверхности протечет количество жидкости, которое заполнит собой цилиндр с основанием а8 и высотой окат (рис.
116), где нормаль и предполагается направленной именно в выбранную сторону. Если через р обозначить плотность жидкости, которая также может зависеть н от положения точки, и от времени, то масса протекшей через ет8 жидкости будет Р 63 оие(г Дзя всей поверхности (8) получим е) ~ро„е(3.
!Е) Количество же протекшей жидкости (Е, отнесенное к единице времени, выразится интегралом О=~ [ро„й3; (5) !х! читатель узнает в нем епоток вектораъ Ро через поверхность (3)! 2) Аналогично можно говорить и о потоке тепла. Легко видеть, что [при обозначениях п' 641, 2)) за время е!г через поверхность (3) протечет количество тепла, равное йт ~ ~ д.а3. (з! ЗУ1 В 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА а= — Фи(ай У вЂ” <вектор ыотока тепла». 3 Ам вчаы ив. Так как оба рзссмотреныых в 1) и 2) процесса мы ие предполагали установившимися, то на деле величина Д сама, вообще говоря, зависит от времени. Она имеет характер с кар о ст йи точнее может быть названа е к о р о е т ь ю,возрастания количества протекшей через (3) жидкости (или протекшего телла) в рассматриваемый момент времени. 3) Если рассматривается поае ньютоновского притяжения (о котором была речь в 666, 1)) то поток зтого вектора через поверхность (Я) ~ ~ Р„йб= — ~ ~ ' (', ") й8 (з) (з) оказывается связанным с телесным углом, ыод которым поверхность (Я) видна из точки О (666).
668. формула Остроградского. Дивергенция. Возвращаясь к общему случаю векторного поля А, рассмотрим тело ((г), ограниченное замкнутой ыоверхыостью (5)) через и будем обозначать вые шн юю нормаль к поверхности. Тогда по формуле Остроградского (651 (5)), если положить в ней Р А»» О=Ау, гс=А„можно преобразовать поток вектора А через поверхность (3) воз не в тройной интеграл: ) Алды =1 ) (А„сов ! + А„сов)»+ А,с(м») йЯ= (з) = ~ 1 1 (Ф+Ф''— ":)" (д) Стояк(ее под знаком тройного интеграла выражение называвшем диверген ц ивй (или расход им остью) вектора А (в соответствующей точке) и обозначается симвоаом б!т А=-д — "+ — й+ — л.
дА„ дА дА дх ду дв ' Таким образом, формула Остроградского перепишется в виде (6) Апйс=»З 1 б)т Ай(Г» 1 . = 1 з) (р) в каком она чаще всего и применяется. Введенная только что величина, дивергенция, есть скаляр; но ее оиредевение формааьыо связано с выбором координатной системы. Для того чтобы освободиться от зтого недостатка, поступим следующим образом. Окружим точку М каким-нибудь геном ()») с Воверхыостью (5) н напишем Если отнести количество протекшего тепла к единице времени, то иолучим ))й. ~, (Я т. е. 4ноток вектора» )) через поверхность (Я). Отсюда и название вектора 8У2 гл. хчщ. хвойные н многокэлтные интегралы '!669 ) )А„йд йтА= 11ш (у) м (8) это равенство также может служить определением дивергенция, причем в втой форме определение уже не зависит от выбора координатной системы.
На этот раз векторное поле А порождает скалярное поле див е рг енине б)т А. Заметим, что определение (6) дивергенции может быть с помощью символического вектора 7 Г а и и л ь т о н а записано так: йтА=т ° А; это станет ясно, если вспомнить выражение (1) скалярного произведения двух векторов. При мер. Остановимся на движении не с ж им а е м ой жидяости (е=1) прн наличии источников (или стоков). Лроизеодительяоетью источников, заключенных внутри замкнутой поверхности (8), называется количество вытекающей через (8) жидкости, отнесенное к единице времени, т.
е. поток вектора-скорости о ) пяа)8 Я) [см. 667, 1)]. Если источники распределечы не яр е р ы в но по рассматри- ваемой области, то вводится понятие плотности источников, Так называют предельное значение производительности источников в теле ())), окружаю- щем точку М, рассчитанное на единицу объема, т, е. Ц олдд !1ш ° ) (э) м Но, как мы только что видели (см. (8)), зтот предел равен йт о; итак, йто и есть плотность источников. Аналогичное рассмотрение можно провести и для теплового потока при налични источяиков тепла, лишь вместо вектора-скорости пришлось бы взять вектор потока тепла. 669. Циркуляция вектора.
Формула Стокса. Вихрь. Пусть снова дано какое-нибудь векторное поле А(Щ. Интарал 1 А,дх+А ((У+Аейг= ) А)(((, (!) ()) взятый ио некоторой кривой (() в яределих рассматриваемой области, наэываетея линейным интегралом от вектора А вдоль кривой (!). В случае замкнутой кривой этот интеграл называют циркуляцией лектора А вдоль ((). Если поле А есть силовое поае, то линейный интеграл выражает работу сил полл нрн перемещении точки яо кривой (!) !ср.
ЗЩ формулу (7); если обе части разделить на объем )г тела и перейти к пре- делу, стягивая тело ())) в точку М, то (644, 8') справа как раз и получится йч А в точке М. Итак, 676 в д элементы виктбвного днллнзл Представйм себе некую поверхность (3), ограыичеыиую замкнутым контуром ((). Тогда по известной уже читателю формуле Стокса' [639 (21»)] циркуляция вектора А вдоль зтого коитура может быть выражена поверхпостыым интегралом: А~И=~ ~ Ц д — — — «) еще+ ~ — « — — «) ажр+ ( — « — — «) соз ~~ дб. р О (з( Векшор с ароекциями яа оса дЛ, дЛ«дЛ „дА, дА дА „ «,«« ~ « ду д« ' дг дх ' дх ду яазыааеглся вихрем или рою ором вектора А и обозиачается символом ь го1 и . Таким образом, в аекториой форл~е формула Стокса запишется тели ] А«Ж = ] ] го(„А сЖ.
д( Ф (10) Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура оказывается равной потоку вихря через поверхность, ограниченную зтим контуром. При атом иаправление обхода контура и сторона поверхиости должны соответствовать друг другу, кзк зто разъясиеыо в п'63). Даииое выше определение понятия «вихрь» страдает обычным недостатком: в ием используется определенная координатная системз. Взяв ио лю б ос направление и, исходящее из данной точки М, окружим ее в перпеидикуляриой к и плоскости площадкой («) с контуром(Л)(рис.117).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
