Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда по формуле Стокса 1 Лйй=й тот„лд', (11 во разделив обе части равенства иа площадь а упо- Рис. 117. мяиутой площадки и «стягивая» последиюю к данной точке„ в пределе получим *ь ~ ЛлдД го1и Л = 1! ш («) М Таким образом, удается определить проекцию вектора го1 А ыа л ю б у ю ось, а значит,— и сам вектор, без всякой ссылки иа предварительно выбраныую коордииатыую систему, Подчеркием,что здесь векторное поле А порождает векторы ое же поле вихря го1 А. С помощью гамильтоыова вектора ч можно просто записать и определение вихря: гог А = т Х А [см. выражеыия (2) для проекций векторного произаедеиия1].
а От английского слова гога1!оп в вращеыие; употребительио и обозначение саг1 Л вЂ” от английского слова саг1, означающего <завиток», ьв Легко усмотреть здесь своеобразное д и ф фере п ци р о в а и ие и о о 6 лап т и; обосыовать его предоставляем читателю. 374 гл. кшп. твойныв н многокглтныз интвгэллы [870 П р и и е р. Рассмотрим произвольное движение некоего твердого тела. Если фиксировать в нем точку О (рис.
118), то, как доказывается в кнне- »»атике, для любого момента времени поле скорости о точек тела опреде- ляется формулой о=о +чХг, о где о естыпоступательная скорость>, т. е. скорость » точки О, »» — мгновенная »угловая скорость», а г — радиус-вектор, соединяющий точку О с произ- М вольной точкой М тела. Проекции этого вектора н г ';" на оси произвольной системы Оху» будут [см. (2)) о + »вЂ ~ у, о + ч х — нкз, оо + ~ у » г Если, воспользовавшись выражениями (9), подсчитать проекции вихря для этого поля, то получим Рис. 118.
1 2», 2», 2»» так что»= — гого. 2 Таким образом, с точностью до числового множителя, ротор поля ско- рости о дает как раз мгновенную угловую скорость; с этим связано и самое название »ротор». 670. Специальные поля. В этом и следующем п' для простоты мы ограничимся рассмотрением полей„связанных с п р я и о у г о л ьн ы м и пространственными областями, в частности со всем трехмерным пространством. 1) Потенциальное поле.
Векторное поле А нззывается потенциальным, если существует скалярная величина 'У, для которой А служит грздиентом: А =ягаб У. Это равенство распадается на следующие три [см. (4)]: дУ А =д(7 =дО Ак= дх ~ А„=ду ~ А,=д н Равносильно УтвеРждению, что выРажение А„ах+ АуйУ+ А,бг является полным дифференциалом от функции У(х, у, г). Перво- образная функция У называется потенциальной функци ей (или скалярным потенциалом) поля А.
Перефразируя уже известное нам [564 и 641; см. условия (Б)], можно сказать, что для того чтобы поле А было потенцпальнылг, необходижо и достаточно, чтобы во всей рассыатриваежой области выполнялпсь равенства дА» дАл дАк дА» дАл дА» ду о» ' дл дх ' дх ду ' т. е, чтобы го(А обращался в нуль. а с элвмвнты ввктоаного анализа Таким обрззом, понятие потенциального поля оказывается совпадающим с понятием чбезвнхревого» поля. Опираясь на сказанное в и' 664 н 641, можно охарактеризовать потенциальное поле и тем, что циркуляция по простому замкнутому контуру всегда будет нулем, а линейный интеграл по кривой, соединяющей любые две точка поля, оказывается не зависящим от формы кривой.
Сама потенциальная функция У, с точностью до произвольного постоянного слагаемого, определяется линейным интегралом ') А»йх+ А»йу+ А»йг = ~ А~И, Э) ю взятым от некоторой фиксированной точки Мь до переменной точки гИ рассматриваемой области по любой соединявшей эти точки кривой(1).
Все этн факты получзют естественное нстолкованне в терминах работы для случая потенциального силового поля. Таким будет, как известно, поле ньютоновского притяжения как в случае отдельных притягивающих центров, так и прн непрерывном распределении прнтягнвающнх масс. 2) 'Соленоидальное поле. Векторное поле А называется соленоида льным, или трубчатым (от греческого слова оь1ач — трубка), если существует векторная величина В, для которой А служит вихрем: А=го(В. (11) Это равенство распадается на следующие три [см. (9)]: А » л А ,» » А д » (12) дВ дВ» дВ» дВ» дВ- дВ» ду дг ' У дг дк ' » Эх ду ' Сам вектор В называют векторным потенциалом поля А.
Докажем теперь следующую теорему, дающую легко проверяемое условие соленондальностн: для того чтобы поле А было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выиолнялось равенство д1» А = О. Н в о в ход н м о с т ь проверяется непосредственно вычислением: если А =го1 В, то (см. (12)) 61» А = д1» го1 В= — ~ — ' — — л~ + — ~-~-"- — -д-л) + Достаточность. Пусть имеет место равенство (13). Постараемся найти хотя бы частное решенне (Вю В, В,) уравнений (12). 319 ГЛ. ХЧП1. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (бтй дВ„ — =А дг У и при интегрировании по з дадут следующие выражения для В„и В„: В„= — ~ А„(х, у, з) 4г+ у (х, у), В„= ~ А „(х, у, г) бв, ко ко где го — произвольное из допустимых значений в, а р(х, у) — еше подлежащая определению функция двух переменных.
Дифференцируя интегралы по правилу Лейбница, найдем дВ Г дАк дт д„à дА — ~= — ~ — "ба+ —, — "= ~ — ~бг. дх ) дх дх' ду ) ду ко ко Используя равенство (13) для того, чтобы удовлетворить последнему из уравнений (12), получвм такое условие на функцию р дт дх — Ак(х У хо) откуда оо легко определяется интегрированием по х (с точностью до произвольного слагаемого, зависящего от у). Итак, наше утверждение доказано. Представляет интерес еше установить, какая степень произвола остается при определении вектор- ного потенциала В из уравнения (11). Если В"1 есть кзкое-либо фи- ксированное его решение, то общее решение В определяется условием го1( — ВОО)=0 и, в силу 2), представится в виде В=ВКО + С, где С есть любой потенциальны й вектор.
Из соображений побб2 явствует, что условие (13), характеризующее соРис. 119. леноидальное поле А, равносильно требованию, чтобы потоп вептора А через любую замкнутую (и ограничивающую некоторое тело ( Р)) поверхность (Ю) был равен нулю. рассмотрим теперь в качестве тела (у) отреаок векторной т р у б к н (рис, 119) между двумя произвольными ее сечениями (8,) и (Ю,); боковую поверхность отрезка трубки обозначим через ($„'. Тогда — в случае соленоидального поля,— по сказанному, ' ~~ ~+ ~ ~+- ~ ~~Аю(8=9, В целях упрощения положим с самого начала В,=О. Тогда первые два из уравнений (12) примут вид дВ„ — — ~=А, дг % 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 377 првчем нормаль направлена вовне по отношению к телу. Вдоль поверхности (Яь), очевидно, А,=О(666); если в сечении (Я,) изменить направления нормалей (так, чтобы они — в некотором смысле — были направлены согласно с нормалями в (оа), см.
рис. 119), то придем ~) А„а8= ~') А„аЮ. (ЗЕ (Зд Таким образом, мы получаем следующее своиство соленоидального воля: поток вектора через поперечные сечения векторной гпрубки сохраняет постоянную величину; ее называют интенсивностью векторнои трубки. Легко показать, что указанное сзоиство вполне характеризует соленоидальное лоле. Это сразу следует из формулы (8) для расходи- мости вектора А, если в качестве тела (ч), окружающего выбранную точку А(, взять именно отрезок векторной трубки: тогда '1)А„но=О, а с ним и йчА=О. Ж Если вернуться к приведенной выше гидромеханическоя интерпретации .векторного поля, то окажется, что в случае несжимаемоя жидкости и при отсутствии источников (йч о=О) расход жидкости через поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение для всех сечении.
3) Разложенне произвольного векторного поля. Мы покажем теперь, что лроизволъныб вектор А всегда может быть представлен в виде суммы потенциального вектора А' и соленоидального вектора А": А=А'+А' (го(А'=О, йчА'=О). Наложим сразу же А'=атабФ, где Ф вЂ” еще подлежащая определению скалярная функция; равенство го(А'=го(ягабФ=О этим -уже обеспечено. Теперь А'=А — 6габФ, так что Ф нужно выбрать иод условием йчА =йчА — йчбгабФ=О. Но д'Ф УФ дьФ йчбшбФ= —, +д-;-+ —, = Ь Ф, если, как обычно, под Ь Ф разуметь оператор Л а и д а с а.
Таким образ- омм, для определения Ф имеем дифференвяальное уравнение в част- ных производных второго порядка ЬФ=д1чА, которое всегда имеет решения (и даже бесчисленное множество их), 378 гл. хчш. тэойныв н многокиятныв интзгэллы [671 671. Обратная задача векторного анализа. Она состоит в разыскании векторного поля А по наперед заданным его расходимости б1чА=Р(Р— скалярная функция) и вихрю го1А=В. Ввиду 2), ясно, что для разрешимости задачи во всяком случае не обходи мо условие: 4!чВ=О; предположим это условие выполненным.
Истественно (если вспомнить 3)) искать решение А в виде суммы решений А' и А" таких систем: (1) го[ А' = О, б1ч А' = Р, (2) го[ А" = В, б[ч А" = О. (1) Из первого уравнения, в силу 1), А'=ягабФ. Для определения Ф обратимся ко второму уравнению: П[чйгаЙФ=Р или ЬФ=Р, так что Ф есть одно нз решений уже знакомого нам дифференциального уравнения. (2) Ввиду того, что (по предположению) вйч В=О, в силу 2), уравнение первое рассматриваемой системы имеет решение ч. Обозначая через А," какое-нибудь фиксированное частное решение этого уравнения, общее его решение можно написать в виде А" = А,"+С, где С вЂ” произвольный потенциальный вектор, С= ягаг[ Ф. Остается удовлетворить еще и второму уравнению системы (2), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
