Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 62
Текст из файла (страница 62)
беско- нечно малому прямоугольному параллелепипеду в пространстве Е~)г. с измерениями г(Е, ага дб сопоставляется элементарное тело в про- странстве хух между координатными поверхностями «Е» и «Е+вЕ», «г)» и «Е+г(»)», «Е» и «Е+вгЕ», которое приближенно можно рассмат- ривать как косоугольный параллелепипед. Его объем равен ушесте- ренному объему тетраедра с вершинами в точках: Р,(х, у, г), Р,(х+ хИЕ, у+ЯМЕ, х-+ — 'г(Е), дх Е дх ду, ду дг „Е дг ) гпа(х+ — Ж+ — Ип+ — Ж, у+ — дЕ-~- — дг)+ — г~, г+ — вгЕ+ дх дх дх ду ду ду дг (й дч дс ' дЕ дч дс ' ' дЕ +д~ '1+дс ) 'и по известной из аналитической геометрии формуле выражается (по абсолютной величине) определителем: 350 гл.
хчпь тройныв н многокрлтныв интвгрллы (660 Суммируя эти отдельные «элементы объема», приходим к формуле (6). Таким образом, существо дела и здесь в том, что для определения обаема тела оно разлагается на элемента не с помощью взаимно перпендикулярных плоскостей, а с помощью сетки координатных поверхностей. В простых случаях выражение для «элемента объема» в криволинейных координатах может быть получено непосредственно. Для примера в сяучае цилиндрических координат рассмотрим эяементарную область (в пространстве ху*), ограниченную двумя цилиндрическими поверхностями радиусов р и р+Лр,двумя горизонтальными плоскостями, лежицими на высотах л и а+ за, идвумяполуплоскостями,проходящими через ось л и наклоненными к плоскости хл под углами 0 и О+ л0 Рис. 112б.
Рис. 112а. (рис. 112а). Считая приближенно эту область прямоугольным параллелепипедом, без труда находим, что измерения его суть Лр, р о0 и Вл, так что объем его равен р Вр ЛО ал, а якобиан, представляющий отношение этого объема к объему Вр ВОВл элементарного параллелепипеда в пространстве рзл, равен р. Аналогично в случае' с ф е р и ч е с к и х к о о р д и н а т рассмотрим элементарную область (в пространстве худ), ограниченную сферами радиусов г и г+ог, конусами т и т+лт и полуплоскостями 0 и О+оВ (рис. 112б). И эту область можно принять за прямоугольный параллелепипеде измерениями А))=вг, АВ=гат и, наконец, АС.
Так как дуга АС равна своей проекции МАт апоследняяойисана радиусом ОМ=га)пт и отвечает центральному углу ВВ, то АС=гмптВВ. В силу этого объем рассматриваемой области равен г'з)пулглуВО, а якобиан есть г' з)п р. Оба эти результата, найденные из элементарно-геометрических соображений, согаасуются со сказанным в 656, 1) и 2), 660. Примеры. 1) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (а) (х'+у'+ л')'=л'л, ~)( '+ б) (х' + у' + л')' = л'хул, ))( + +".=х-'-, 060( 0 Ь. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 35! Р к ш в н и к. (а) Тело расположено симметрично относительно плоскостей уз н ах, нбо х и у входят в уравнение только в квадратах.
Далее, поскольку левая часть уравнения всегда положительна, необходимо и г ~ О, т. е. все тело лежит вверх от плоскости ху. Эти замечания позволяют ограничиться вычислением объема четверти нашего тела, лежащей в первом октанте. Наличие в уравнении выражения х' +у' + г' подсказывает нам переход к сферическим координатам. Подставляя в уравнение (а) поверхности выражения х = г аш Т соа О, у = г яп Р а1п В, з = г оса Т, в придем к уравнению поверхности в сферических координатах: г= а У сват' Так как первый октант характеризуется неравенствами О~у~ —,0~0< — то, учитывая значение якобиана У=г'яп Р (656, 2)), будем иметь: а «~ сове в 1 ат ~ г'яптаг= —.«а' т яптсвмтвтт= — «ав.
3 3 д о о )г=4 ~ вГВ д (б) Тело лежит в первом, третьем, шестом и восьмом актантах, для которых, соответственно: х~О, у~О, з~О; х(0, у~0, з~О; оио состоит из четырех частей, которые попарно симметричнм относительно одной из координатных осей (нн левая, ни правая части уравнения не изменяются при одновременном изменении зйаков любых д в у х из величин х,у, а). Переходя к сферическим координатам, получим: З «У Мявтоовта«ав а ЛВ ЛТ гваютлг= 2 (г=4 ~ о 4, Г Г.
а' =-.— а' т япв Р соачвтт ° 1 зш Вега ВвГВ= —. =3 '.) (в) Формулы перехода к сферическим координатам здесь проще взять в виде х=гсоач, у=гяпчсоаВ, з=гз1пчяпВ. Тогда уравнение поверхности примет форму г= сов'" 'Т. ()юасш. )г 3 (Еа — П ' 2) Найти объем тела, ограниченного поверхностью (а) (л'+у')'+во=у (б) (х'+у')в+з'=Зз'.
(а) Р е ш в н и к. Хотя тнп задачи и несколько отличен от предыдуших, но н здесь выгодно применить сферические коорлннаты. Уравнение поверхности примет форму: г' (аш' Т + соз' Р) = яп Т аш 0. ГЛ. ХЧШ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАДЫ Учитывая сямметрию, будем иметь: ««п «/ в!пояпз 2 2 Г в!пв Р+ сов« Р У=4 ~ а'0 ~ дТ ~ г'зшуд = о о 'о (б) Указания.
(еслн положить и=сов'Т). Ошееш. И= 3 )'"3 3) Найти объем тела, ограниченного поверхностью: тв в зв (а) Р ишан н к. Прн наличии выражения —,+ —,+ —, в уравнении пс в хн ер ости часто бывает полезен переход к обобщенным сфе и чески« координааамо по формулам: ннмм с е!Рически, х =аг яп Т соз 0, у = Ьг яп Т яп 0, г = сг ссм Т; якобиан в этом случае равен 2=аЬсго за„-.
Имеем (с ( учетом симметрии а«а вш«о сов«в в!па аЬсгвзшуд = так что окончательно 192 Ьв * Которые аналогичны обобщенным полярным координатам на плоскост! 2 2 $'=4 ~ дВ ~ дТ Ь о 2 со 3,) яп«у+сов«Т 3,) 1+В« 3 2 ! Ож Тэ!пчдч ( иди впНТ+соз'Т ) Зи' — За+1 о 2 4 а'Ь'с !' = —, — 1 соз' 0 яп' В дВ в яп"' 3 всв 1 ) Т о о 6601 В 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Н ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 353 л (б) Оювею. У= — аЬе. ,1 (в) Оювею.
1'= — аЬс. 60 4) Найти объем тела, ограниченного поверхностями х'+у'+ е' = 1, х'+ у'+ е' = 16, г' = х'+ у', е = О, у = О, у = х. У к Аз Ание. Эти поверхности определяют промежутки изменении для сферических координат: 1»г»4; — »ч» — 0»0»-~иви л»В» — ~. л л л I блт Тело состоит из двух обособленных кусков (в первом и третьем координат- ных октантах). 21 ЬГ2л Оювею. 4 5) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (-:)'+ В)'+ Ж)'=' Рвшвнив. Введем новые координаты по формулам: х=агяпй усове а, у=ЬгяпйчяпйВ, е=сгсовй р (0»г»1, 0» р»л, 0»0»2л), В атом случае якобнан е=9аЬег'яп' рямй ряпй В сов'В, так что т и зй $"=Вайс гйаг вю'рсоа рйр вюйвссмйВсйз= — лаве.
й 4 35 6) Найти объем тела, ограниченного поверхностями (х+у+е)'=ау, х=О, у=0, е=О. У кАЗ А и и в. ПОВОжить х=гяпйчсовйа, у=гяп' рвюйВ, з= гсовйч Якобнан У= 4г' яп' о сея йр яп 0 сйм О. ай Оювею. Ъ'= —. 60 7) Найти объем косоугольного параллелепипеда, ограниченного шестью плоскостями: а,х+ Ь,у + с,е = - Ио а,х+ Ь,у+ с,е = -й- Ий, а,х+ Ь,у+ ейе = -й- И„ предполагая, разумеется, что определитель а, Ь, с, д= айЬ с, а, Ь, с отличен от нуля. 12 Г. М.
аизтйигольц, т, РН ГЛ. Хчнн ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !860 ряшин ив. Введем новые переменные 0= а,х+ Ь,у+ е,г, ч = а,х+ Ь,у+ с,г, ь = аех + Ьеу + саг ( — И, ~ 0~ йн — »а ~ Ч ~ йм — Ие < С ~ йе). Определитель ' ' ( проще всего найти,заметив, что он равен обрат- 0(х, у, «) ной величине определителя ' ' . Имеем л! л, а, 1 ~ ~ ~ 1 8»,йгйг -аг — ае — Ае 8) Найти объем тела, ограниченного (а) цилиндром (а х+ Ь у+ е!г)г+ (агх+ Игу+ сгг)а= Де н плоскостями а,х + Ь,у + сяг = О н а,х + Ь,у + с,г = И; (б) зллипсондом (а х + ььу + се) + (а х + ьау + сг)е + (а х + ьу 1- е г)е — Ое (при прежнем предположении, что определитель »=60). я)е'й 4 я)гт Ответ. (а) 1'= —; (б) )е= —, 1А! ' 8 1А~' 9) Применение цилиндрических координат к вычислению объема тела приводит к интересной формуле.
Рассмотрим тело (1'), ограниченное кусочно-гладкой поверхностью, н предположим, что исходящая из оси г полуплоскость, отвечающая в=сопят,перед секает тело по некоторой плоской фигуре (Щ, при изменении 0 от е до Р (рнс. 113). Тогда )=~~~рдрдвд =$ д0~$ рдрдг, !р, причем фигуру (Ов) удобно отнести к прямоугольной системе координат рг, вращающейся вместе с упомянутой плоскостью вокруг оси г в. Теперь легко видеть, что двойной интеграл ~ ~ Р др дг представляет статический момент тт !Ов! Рнс 118 фигУРы (()в) относительно оси г, котоРый Равен произведению площади О (0) втой фигуры на расстояние рс(0) ее центра тяжести С от оси г: $) р др де=()(0) рс(0).
(Ов1 " Вместо того, чтобы тождественную с ней фигуру относнть к не п о- движн плоскости рг в пространстве рвг. 666] за. замена пивимпнных в твойных ннтигтлпах 355 Поде тавляя это выражение для объема, придем к окончательной формуле: !'= $ 0 (з) эс (з) дь.
а Эта формула была указана П.П. К у око в ым, Она особенно удобна для определения объема тел получающихся при винтовом движении плоской фигуры (постоянной или деформирующейся), как-то: винтовых нарезок, пружин и т. п. Если тело(!г) есть попросту т ело вращения неизменной фигуры(О), не пересекающей оси г, вокруг этой осн, то О=сопз1, ро — — сопз1, и=О, р =2я, и формула принимает вид: "=ьг '2'Ч'С. Она выражает известную теорему Г у льдина [38!], гласящую, что обзвм вела вращения плоской фигуры около кс пересекающей сс осй равен произвсдсншо площади эюой фигуры на длину окружности, описанной цспяром шяжссюифиугры. Таким образом, формула К у с к о в а является естественным обобщением этой классической теоремы (и, наоборот, легко может быть из нее получена).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
