Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Мерой же угла видимости всей поверхности (8) служит сумма всех элементарных углов, т. е. интеграл О. Если поверхность (8) пересекается с лучами, исходящнмй из А, более чем в одной точке, но может быть разложена на части, каждая из которых пересекается этими лучами уже лишь в одной точке, то нужно лишь просуммировать интегралы Гаусса, относящиеся к этим частям. Обычно выбирается определенная сторона поверхности, и направление нормали и согласуют с этим выбором.
Тогда для одних участков поверхности эта нормаль окажется направленной в сторону, противоположную А, и угол видимости получится с плюсом; для других же участков, где нормаль направлена в сторону А, этот угол получится с минусом. Интеграл Г а у с с а будет алгебраической суммой этих углов видимости. Из геометрического истолкования интеграла Г а у с с а непосредственно ясно, что если поверхность (8) замкнута и точка А лежит внутри ограниченной ее области, то О=4я. Наоборот, если точка аежит вне этой области, то углы видимости разных знаков взаимно уничтожаются н О=О.
Если точка А лежит на самой поверхности (8), то интеграл Г а у с с а становится несобственным. Легко понять, что если поверхность (8) в точке А имеет определенную касательную плоскость, то О= 2я. 664. Примеры, 1) Преобразовать по формуле Остроградского поверхностные интегралы: (а) у(*= ~ ) х' ((у ((а+уз йл и'х+ ла ((х (ту, (л) (б) У, = ~ ~ )Г х' + у'+ л' (с(м Х + соз и + соз ч) о(8, (3) (в) (, = ~ ) х ау аз + у ол ((х + л ях оу, (з) считая, что поверхность (8) ограничивает тело (У). Оааеа. (а) /,=2~ 11 ~ (х+у+а) аУ, (Т') (р) +у +а (в) (, =*ЗУ [ср. 633 (16)1). * При этом мы приближенно считаем как элемент (((8), так и его проекцию плоскими н пользуемся формулой для ортогональной (а не центральной) проекции.
Но для бесконечно малого элемента (((8) идопускаемая здесь относительная погрешность будет бесконечно мала. 664) 6 э, аозиуяа гаусса- ОСтэогз адского 2) Доказать с помощью формулы Остроградского фориулы: () ~~ ~ йидх«уд = ~) дидй, Ф (б) ~ ~ ~ ойи дх ду дг = Ж (в) $ ~ $ (о Ьа — и Ьа) дх ду дг = $ $ ~о — и — ) ~Х3, сз) если положить дсу дтг дар дт"= — + — + —, дх' ду* дг" дУ ду др дг" дп дх ' ду ' дг — = — сов(х, и)+ — соз(у, и)+ — соз(г, и) и разуметь под и внешнюю нормаль к поверхности.
У к л з л н и к. Решение этой и ближайших зздач вполне аналогично решению задач 3), 4), 5), 6), 7) и' 602. 3) Функпия и, нейрерывная вместе со своими производными и удовлетворяющая в области (У) уравнению Ли=О, называется г ар м он и че с к ой в этой области. Доказать, что гармоническая функция характеризуется выполнением условия д дп ~~ — "йд=о 1З> для любой содержащейся в области (У) простой замкнутой поверхности (8). 4 Доказать следующее утверждение: ели функция и — гармоническая в замкнутой области (У), то ее значения внутри области однозначно определяются ее значениями на поверхности (3), ограничаеающей зту область. 5) Пусть и есть гармоническая функция з области (У), (х„у„г,)— какая-либо внутренняя точка втой области и (Зя) — сфера радиуса )сс пентром в точке (х„у„г,).
Тогда имеет место формула: 1 и(х„у„г,)= — ~ ~ и(х, у, г)43. 12н1 Доказать это. Указания. См. доказательство в 6(Ь2, 6); лишь в качестве вспомога- 1 тельной гармонической функции здесь следует взять о= — где г = р'(х — хь)'+ (у — у,)'+ (г — г,)' ° 6) Доказать, что функция а(х, у, г), непрерывная в замкнутой облатпа (У) а гармоническая внутри области, не может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения внутри области (еслн только не сводится к постоянной). Пользуясь этим, усилить результат в 4) наподобие того, как это сделано в 662, 7), Ейо ГЛ.
ХЧНК ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1Е84 7) Доказать, что жесткая замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему р а в н о м е р н о и у давлению, остается в равновесии, С втой целью устзновим, что равны нулю главный зенюор и глазный момент (относительно какой-либо точки) всей системы приложенных к поверхности сил. Выделим элемент (д8) поверхности. Если через р= сопят.
обозначить давление, т. е. силу, действующую на единицу площади, то злементарная сила, действующая на (йЗ) по нормали к этому элементу, будет иметь проекции на оси — >а соз )> дЯ> —,а соз )> дЯ» — а сов ч дЗ (7) (знак минус поставлен потому, что давление направлено в н у т р ь поверхности, а 1, )>, т суть углы в не ш н ей нормали с координатными осями). Проекций )7„, А>ю >>7е главного вектора получаются из проекций (7) элементарных сил суммированием их: >>7„= — р) ) соз) дЯ, )7 = — р~ '1 совр >ГЯ, >>7 = — р ~ ~ созтд8. 1з) Ф )з) Но все эти интегралы равны нулю, что видно из формулы 0 а т р о г ра д- е к о г о, если положить в ней Р=1, 0=77=0; ()=1> Р=)7=0) )7=1> Р=с;)=О.
Итак, глазный вектор давлений равен нулю. Для определения главного момента системы элементарных сил, скажем, относительно начала координат, просуммируем составляющие по осям моментов этих элементарных сил *: р (ге>м)> — у сов т) д8, р(х сов т — г созЛ) дб, р(у ссм Л вЂ” хсозп) а5. Такимобразом,проекции главногомомента давленийотносительноначалабудуг) 7.„= р ~ ~ (г соз )> — у соз э) д8, ТО> = р ~ ~ (х соз ч — г сов А) дЗ, Ф) Ф) 7 г — р ~ гт (у соз А х соз Р) д5 Ф) Если в формуле 0 с т р о г р а д с к о г о взять Р = О, )г = рг, 77 = — ру, то получим, что Ел=О.
Так же легко установить, что й 1 =7.,=О. Главйый моменю даалейий (атнаеи>пельно начала) равен нулю. Этим и завершается доказательство, 8) В качестве последнего примера применения формулы Ос тр оградс к о г о выведем один из основных законов гидростатики — закан А р х им е д а. Известно, что давление жидкости на погруженную в нее площадку направлено по нормали к площадке и равно весу столба жидкости, основанием которого служит эта площадка, а высотой — глубина погружения площадки. Допустим теперь, что в жидкость погружено твердое тело(г);накаждыйэлемейт (сБ) его поверхности (3) по указанному закону давит жидкость.
Требуется определить равнодействующую элементарных давлений и ее точку приложения. * Напомним, что если слагающие силы по осям суть Х, г, У, и приложена она в точке (х,у, г), то момент силы относительно точки (8, ч, ь) имеет следующие проекции на оси: т.л=(У вЂ” Ч)У вЂ” (г — С) У, Тт —— (г — С)Х вЂ” (х — Е)У> уз=( — 8) У вЂ” (Р— ч) Х. 34! в з. иовмклл глкссл — остроградского Для рещемми этой задачи выберем координатную систему, совместив плоскость ху со свободной поверхностью жидкости, а ось г направив вертикально вниз. Пусть удельный вес жидкости равен р, а глубина погружении элемента (дд) есть г; тогда испытываемое этим элементом давление будет( а составляющие его ио осям — РгсснЛдд, — ргсоа(»дд, — ргсозчдд. В таком случае для проекций главного вектора на оси имеем.
)Рх= Р ~ $ г СОЗЛ д8, Есу= — р] ] гсаа(с дд, (л> (Я »Р = — р] ~гсозчдд. Тз( С помощью формулы О с т рог радс ког о, какие предыдущей задаче, легко получить )Р»=УРу=б )Р»= Р(зд(»= Р( ((»( Таким образом, главный вектор давленай направлен вертикально вверх и равен весу вытесненной телом жидко»спи, Рассмотрим теперь моменты элементарных сил относительно центра тя- жести С (Р, гь с) тела (лдесь и дальше имеетск в виду центр тяжести геометрического тела при равномерном распределении масс; он может не совладать с центром тяжести физического тела). Составляю- щие элементарных моментов по осям будут рг [(г — () оси Р. — (у — Ч) сов «], рг [(х — $) сов « — (г — й) соа Л], рг [(у — д) соз Л вЂ” (х — Е) с(а н], в для составляющих главного момента (относнтельно точки С) получим: У.» — — Р ~ ~ г [(г — с) сов р — (Р— н) сов «] до, (5( ьу — — р ] ] г Их — Е) соа « — (г — () сов Л] дз, (з( Ц» = р )г )г г [(у — «) соз Л вЂ” (х — Е) оса р] дд.
(ф Применяя к первому интегралу формулу О с т р о г р ад с к о г о, найдем: р ~ ~ ~ (д — у) д =р [нь — ~ ~ ~ у д() =о, (р( Ю ибо интеграл ~ ~ ] у д(» есть статический ыоченг тела относительно пло('и( скости хг и равен т(К Аналогично устанаваивается, по ь =0; непосредственно получается, наконец, что и ь» =О. 342 ГЛ. ХЧ1П. ТРОЙНЫИ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТВГРЛЛЫ [636 Итак, главный момент давлений относительно центра тяжести тела равен нулю. Сопоставляя ато утверждение с ранее доказанным предложением о главном векторе, приходим к такому заключению: ка тело, погруженное в жидкость, со стороны последней действует сила, равная весу жидкости„ вытесненной телом; эта сила приложена к центру тяжести (геометрического) тела и направлена вертикально вверх, ф 3.
Замена переменных в тройных интегралах 666. Преобразование пространств и криволинейные коорди- наты. Идеи, развитые в и' 603 в связи с преобрззованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областен. Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат хуг, и другое пространство с системой координат ЕТД. Рассмотрим две замкнутые области (Р) и (Ь) в этих пространствах, ограниченные соответственно поверхностями (8) и (~), которые мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими. 11опустнм, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непре- рывным соответствием, которое осунгествляется формулами: х=х(Е, ть ь), у=у(Е,',' С),' (1) г=г(Е ъ С). При этом, необходимо, точкам поверхности(2',) отвечают именно точки поверхности (8), и наоборот. Пусть функции (1) имеют в области (Ь) непрерывные частные производные; тогда и якобиан Р(х, у, г) (2) Р(Е, 11, Е) также является непрерывной функциеи в (Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
