Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 63
Текст из файла (страница 63)
1О) Объем трехосного эллппсоида х' у' г' —, + ь, + —. =1 (а ) ь ) с) 4 многократно вычислялся; он равен — яадс. Попробуем, однако, к вычислению этого объема привлечь эллипюичсскис координаты Х,р, «[688, 4)]. Если положить И'=а' — Ь', »'=а' — с', то сам данный эллипсоид получается при 1=а, Первому октанту эллипсоида отвечает изменение 1 от А до а, р от » до », «до О до».
Поэтому (1« П ) (Л««) (рэ «в) 8 д«»« ~ Ьг(Л« — »')(Л вЂ” »«)(р« — И«)(»« — р«) (И' — ««)(» ««) ,,Но, как указано, этот объем равен 1 4 я — ° — яа»с = — а У(ૠ— »') (а' — »*) . 8 3 6 Таково, следовательно, значение написанного выше сложного интеграла; 'найти это значение иным путем представило бы значительные трудности. В заключение дадим два интересных применения основной формулы(8), позволяющих установить связь понятий п л о щ а д н к р и в о й п о в е р х н ос т и и д л и и ы к р и в о й с принципиально более простым понятием о б ъ е ма т е л а.
1!) Пусть задана глздкая поверхность (Я): х=х(и, о), у=у(и, о), л=г(и„о), причем в области (Ь) изменения параметров и, о этн функции имеют непрерывные производные второго порядка. 12« 6601 а з. злминл пввимннных в гнойных интпгплллх йбу 12) Пусть задана гладкая кривая х=х(Е), у=у(Е), г=г(Е) (Ет Е~ Т), причем функции х, у, г имеют и непрерывные вторые производные. В плоскости, нормальной к кривой в любой ее точке М, вообразим себе круг радиуса г ) О с центром в М. Из всех таких кру~ов составится некоторое тело ((гг) *, содержащее кривую.
Не умаляя общности, можно предположить, что на рассматриваемом участке кривой всегда х'+у')О. Тогда, желая построить в упомянутой плоскости, нормальной к кривой, прямоугольную систему координат, мы можем принять за оси координат две взаимно перпендикулярные нормали с направлнющими косинусал1и у' х' х'г' х'"+у' )I х'+у' ) "х'+ у' фгх" +у'+ г" уг ф' х'"+у'" ф' х'+у' )' х'+у" + г' Г' х'+у'+г'а Обозначив соответствующие координаты через и, и, мы можем выразить координаты Х, г', х любой точки Р тела (~;) так: Х + ум + х' )Гх'+у'" ~' х" +у" )/ х" +у" +г" х'и — + рг х '+у ' у х'+у ' )г х'+у '+г* У х" +у' )г х'+у'+ г'* Здесь Е, и, о играют роль криволинейных координат точки Р, так что ~~ ~ ~ Р(Х, У, Д ~,», Легко видеть, однако, что Р(Х, 'г', З) Р(Е, и, о) г' + в, (Е) н+ ра (Е) о ~"ха+уз )Тх'+у'+г' )' х'+у'* )'"х'+у'+г'" )Гхтафу'г+гм = Г' х' + у' + г'+ а (Е) и+ р (Е) и, а И здесь можнодоказать, что — снова при достаточно малом г— эти круги попарно не имеют общих точек, так что каждан точка тела при.надлежит лишь одному из них.
х'+ л, (Е) и+ р, (Е) о у' ~' х'+у' х'г' у'+ а, (Е) и + (), (Е) э х' К х'+у' у'г' 358 ГЛ. ХШП. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫВ ИНТЗГРАЛЫ' [661 где а„..., Р,— непрерывные функции от а Это выражение сохраняет положительный знак пря достаточно малом г (так как ! и(, ~и((г). Тогда г Уг=г1 аг )г г1 ( )гха+Уа+а'+а (г) и+8(г) и ) йийи= ~~о а.+аэ=га т =аг'1)г х'+ум+ а' сц+ ~ 1 (Ки+ 1.и) ниии, аа+аг~гэ - тле К и Š— постоянные. В первом интеграле узнаеи длину а дуги, второй же интеграл обращается в нуль. Поэтому 1', = аг'а, а = — г.
ага' Длина луги получается из объема еще более неиосредс т а евно, даже без предельного перехода! 661. Замена переменных в тройных интегралах. С помощью выражения объема в криволинейных коорлинатах нетрудно установить н общую формулу замены переменных в тройных интегралах.
Пусть между областями (О) и (Ь) пространств худ и (т)С существует соответствие, охарактеризованное з п' 666. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (8), мы покажем теперь, что имеет место следующее равенство: $ ~ $У(х, у, г) Их Ну Ыг = ом =$~~У(х6, та С), у(1, и, С), (а, и, С))у(1, ТР С)~г(1а~с('.
(10) нч вполне аналогичное формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию г(х,у, з) мы предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно- гладких поверхностей (но во всяком случае сохрзняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве (10) не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство. Лля доказательства поступаем так же, как и в п 609.
Разложив кусочно-гладкими поверхностями области (О) и (Ь) на (соответствующие друг другу) элементарные части (О,) и (Ь;) (1 = 1, 2, ..., и), применим к каждой паре областей (О;), (Ь,) формулу (7); мы получим Ою=! 7А Чн С;)!А; (11) где ((ь Пп С,) есть некоторая точка области Ьи не зависящая от нашего выбора. Возьмем соответствующую точку (хп ун д;) области (О;), т. е. положим ха — — х((и т)в С) У1=у($и т)Р С~), л~=л(Ен т)п С~), (12) 662) в з.
злмена пеаеменных в твойных интегвллах 859 и составим интегральную сумму для первого из интегралов (10): а=~~',,У(х» рп е~)1)е Подставив сюда вместо Х» Рн е, выРажениЯ (12), а вместо О,— вы- ражение (10), придем к сумме а= ~~~~У(х(Еп т1г, С;), у(Еп тй, Е), х(Еп т|п Гц))~,У(Е~, ть, Ц) /Ьн Ф которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов (10).
Устремим к нулю диаметры областей Ьп вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей (1),.). Сумма а должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство. Как и в случае двойных интегралов, формула (1О) имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы (8) предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.
Можно пойти дальше в расширении условий применимости формулы (10), допуская и несобственные интегралы. Мы предоставляем читателю перефразировать для рассматриваемого случая изложенное в и' 617. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов (10), существование другого отсюда уже будет вытекать. В заключение упомянем, что формулы (8) и (10) могли бы быть написаны и без знака абсолютной величины при якобиане. )(ля того чтобы иметь право на это, следовало бы ввести понятие об ориентированном теле (в связи с ориентированием его границы), ватем в зависимости от его ориентации приписывать тот нли другой знак его объему и распространенному на тело интегралу. Подробности предоставляем читателю, отсылая его к п' 616 и к замечанию 1' в и' 688.
6И. Примеры. 1) Вычислить интеграл ю-~ ~~ — а*ей ху* х'+ у' Ф ( гхе (У) есть тело, ограниченное сверху поверхностью (х'+у*+а')'= а'ху, а снизу плоскостью а=О. Ряшки ив. Перейдем к сферическим координатам. Уравненве поверхности примет вид г' = Ф ап' ч вп а соа а, а интеграл, с учетом симметрии тела относительно оси г, преобразуется такт 2 2 аяптУс!пасоса )=2~ де[ ж~ г'в)па сева вше ссве а' = 2 2 а' Г а' — 5!и 0 сов 0 с(0 ~ в!и !рс!МТс(Т Ь о 2) Вычислить интеграл и= хуг а'х !Ту а'г (а~8- Т-.О) у'' "''~13 с.~ч' а,у, яссе а!+ тс+ая~!рв [ср.
643, 11)[. Р в ш к н и в. В сферических координатах я я 2 2 и г' яп' р сов Т яп 0 сов 0 с(г с)Т 40 =11 ,),) )ге' врп" Т соус 0 + рв яп' Т е)пв 0+Та вовс а о во Удобно произвести подстановку в)пвч=и, яп'е=о. Тогда ! 1 )с) 1 'ь [ ! и срг сри сро 4 3 1 У авп(1 о) „[„псвао [ Тв(1 =4~.'"'- о во 1 1 дв ~Ь вЂ” и сра ~„, [,,+(,,„1+ о в Р1 + Та + ар 15 (0+ 1) (1+ а) (а+ [)) 3) Вычислить интеграл р ~ [' хуг а'х !ру !рг (! где (У) есть трехосный вллипсоид хэ уе гв — + — + — ~1. аа 8Я са Р вши низ.
Если перейти к о бабшеннмм сферическим координатам по формулам х=агвштсов8, у=ЬгвшТяпе, г=сгсовт, а=арсг'яп р, то интеграл перепишется в виде 2 2 1 (' (' [' вша!рсоечврп8соейаг!ртс(0 о 360 ГЛ. Хч!П. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [662 662) в а. вямвнл пиввминных в твойных инткгвялак 861 Подстановка зйт'у=и, мп'О=о. Окончательный результат: 8 (ае — Ьс) (Ьа — ст) (се —,) .(Ь с 1и Ь + с а !и — + а Ь 1и — ( 4) Вычислить повторный интеграл »л г)у»у ~ е"тех'»х.
Рашен ив. Заменяя его т райн ым интегралом стус х'у»х»у»л, х~б у,с~1 еге 1 прибегнем затем к подстановке х= и, у= и+', = и + ' + '", и ' и о 1 и(и+ о)' Интеграл приведется к такому; ее+в+а»и»о»и, и е,и~о л-Гч+юЪ1 который вычисляется легко. е Омвеыг — — 1. 2 5) Вернемся к вычисленивт двойного интеграла: В=Я е тг" +~ хс уй» 'у (ср. 617, 21)). Так как при Ь )О ь е ме»Ь=Ь— "е 2 (497, 8)), то, полагая Ь= а рсха+у*, получаем". со за а' (е'+уа> К;3 со сО О> аа (за+уй соз х1 сов ут1 Ых т(у в о о ах илн, если перейти к переменным а= — - и ау О= —: 26 ' о [о о — еа 2еот1 е ~ соз — Ые а эа 2 7' о [519, 6) (а)).
Интегрируя по частям, нетрудно уже получить окончательный результат: В=— 2 з ° (аа+рт+та)з Перестановка интегрирований обосновывается существованием т р о йн о г о интеграла. 6) Найти массу и определить положение центра тяжести сферы х'+ у'+ ла ~ 2ал при следующем законе распределения масс: й Р=— р' х'+у'+ з' [ср. 650, 5)). У ел запив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
