Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Еч(п. тРОйные и мноГОЕРАтные интеГРАлы (675 а з. многоквлтныв интвгэллы 676. Примеры, !) Найти объем Т„л-мерного симпхехса (162) (Т„): х,~О, ..., ха~О, х,+х,+ ... +х ~З. Раш а низ. Имеем Тл= ) - ~ 4хФхэ - дхл~ !т! л л — а, =~их, ~ дх, Л вЂ” а! — ... — л дха. Заменяя з этих простых интегралах последовательно переменные по Формулам хз=йЕл хэ=лЕм ..., хл=ЛЕл, причем нет надобности пользоваться общей Формулойй (6), придем к результату ! ! — Е 1 ! — Е! — ... — Е а-! Т„=з ~дЕ! ~ дЕ, ...
~ дЕалл =Лл $ " ~ дЕ! " дЕл='лаза~ Еа»з, ...,! ил Ев+- +!ам! асан через ал обозначить значение интеграла, подобного предложенному, но отвечающего И=1. С другой же стороны, имеем (попутно испоаьзуя полученный результат) а — ! ! «л='!дЕЛ ) ... 1 дЕа...дЕа.,= а ЕаМЛ, ...,Ел,аа! ЕЕ+ ° "+Е щЕ-Еа откуда и ясно, что он равен зл —. Этим и завершается доказадх, дЕ, ' тельство. Заметим, что мы молчаливо предполагали (л — 1)-мерные области (0,) и (Ьа,) ограниченными всякий раз одной непрерывной, гладкой или кусочно-гладкой, поверхностью (в соответствующем пространстве).
Раздробив предварительно область (0) и одновременно с нею(Ь) на части, всегда можно добиться того, чтобы сказанное было верно, по крайней мере, для каждой части в отдельности. Формула (6), справедливая для этих частей, будет справедлива и для всей области в делом. Обычным образом формула замены переменных распространяется и на случай несобственных интегралов.
392 ГЛ. ХЧН1. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (626 Найденное рекуррентное соотношение (с учетом того, что л,=!) дает нам л л — я!~ так что окончательно ьл т„=— и! 2) Найти объем Ул л-мерной сферы (162) (1'л): х',+х,'+ ... +хл=-'Яа. Ряшин ив.
На зтот раз речь идет о вычислении интеграла 1хл= ~ ... ~ сгх!а1х, ... !Гхл. хььх1+... +хлшят Полагая ха=Ма~ "~ ха =хттл х,=Я„ яегко получить, что Ул=р Ял, где числовой коэффициент Рл выражает объем л-мерной сферы радиуса 1. Дла опРеделениЯ Рл пРеобРззУем 2, ...,44= 1,'+... + 1~~! л — ! 1 — л2л ) ° ° ° ) а2! " а2л-!.
!т+ ° ° ° +!л-!Ш1-ал Внутренний 'интеграл представляет объем (л — 1)-мерной сферы радиуса л — ! 'У 1 — $,', и, следовательно, равен Рл ! (1 — $2) . Подставляя, придем сновз к рекуррентному соотношению 2 йл=26л-з ~ з!плат!4 б или (см. 534, 4) (б)) г("+ ) + 2 ) л И здесь также не нужна общая формула (6): представив кратный интеграл по формуле (4) в виде повторного, можно затем последовательно заменять переменные в каждом из простых интегралов в отдельности.
ВТВ! % к мнОГОКРАтнь$к ннтеГРады Так как Р,=2, то легкое вычисление дает лз гл ,г( — "+!) Искомый же объем равен т " "В+') Даи случаев л четного и нечетного получаются формулы ~Р' 2 (2л)м „,„+ лм — ж! )' г атх1 — (2ю ! В частности, для $'н )г„(ги естественно, накоднм хорошо известные значения 2Л, лЛа, й лЛ'. 4 3) Вычисанть (несобственный!) интеграа пхг — Нхл-а (л ~ 2). х1+ ° ° ° + хл-1» ! Р кш в н ив. Преобразуем предаоженный интеграл так: 8= 1 ...1 т(х,...дх,Х «,'+...+ „' з ! — х —...— Х л— г(хл ! )/! — х',— ... — х„' з — х' -у'!-,'- ... — „' Внутренний интеграл здесь равен л, так что [см.
2)] 3 х~+ ... +ха з«1 (2/ 3 а м в ч а н и в. Любопытно отметить, что вычисленный только что интеграл, с точностью до множители 2, выражает п л о щ а д ь п о в е р ли'о с т и л-же р н о й с ф е р ы х,'+ ... + х„'= !. Не входя в подробности, упомянем, что в случае ив н ого задания поверхности хи=У(хо ..., хл 1), где точка (х„..., хл,) изменяется в (и — 1)-мерной области (Е), площадь этой поверхности выражается интегралом л л«т " л«л-г ° В частности, для полусферы хл=)/г! — х' — ... — х' 1 л— имеем Их, ...
г!х„! «;+".+«й !щ! Лх, ... охл, '1/1 — х',— ... — х„' «',+" +хй Таким образом, площадь поверхности л-мерной сферы радиуса 1 равна 2«Р« „в слУчае сфеРЫ РаДиУса тт плоЩаДь, очевиДно, 6УДет 2ярл лг(л '=2 — )7« '. г( — ) Этот результат принадлежит Я к о б и. 4) Доказать формулу Дирихле: г(р) г(р ) х, + " ° + «» (Рь ". р ~О). Применим метод математической индукции, опираясь на то, что при п=2 формула уже была установлена [(697, !2); 617, !4)!. Допустйм ее верность для (и — 1)-кратного интегрзла. Перепйсав левую часть формулы в виде л — ! хял ' ... х'„'л-~ дх, ... Нхл и х+...+х ! — х ! ХР» Г!Хл л л Она по строению совершенно аналогична формуле (4а) Зж)для длины дуги плоской кривой и формуле (5) 626 дая площади кривой поверхности, где в обоих случаях имеется в виду явное задание, 394 Гл.
хщ!т. тРОйные и многокзятные интеГРалы 1676 йТВ[ ь е агнОГОквлтный интш Рллы произведем во внутреннем интеграле подстановку ° х,=(1 — х„) 6о ..., х„.,=(1 — х„) 1„, . и аатем применим к (л — 1)-мерному интегралу формулу Д и р и к л е. Мы получмм ! Р(р,) ... Г(р.,) 1 (Рг + " +Рл-г+ 1) если заменить интеграл его выражением через Г: Г~р„) Г(р, + ... +р„, + 1) 1 (Р~+ - +Рл-~+Рл+1) то придем к требуемому результату.
5) Формулу Ди риале легко обобщить: Х'~ ' ... Хра 'аХ, ... аХа= ,Р,,л г® ... гф) - Г ['Р + ... + Р. [ !) 1аг ал (ап аг, Рг ) 0), Эта формула приводится к уже доказанной, менным 61=! — 1) г(1=1, ..., л) *. — а; В частности, при р,= "=Рл=1 аг= отсюда снова получается формула сферы" [(см. 2)[. если перейти к новым пере- ... = ал — — 2, а„= ...
= аа = )1, для объема 1' и-мерной ь См. сноску на стр. 392. аа Следует лишь иметь в виду, что в связи с ограничением положительными значениями переменных формула Д н р н к л е непосредственно 1 дает лишь — объемз. 2л 6У6) % В. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕ!'РАЛЫ а — 1 Ф ' - „'"=) ' и% " Ф -- х ! — л —...— л я-! — ! Н ~ Т(хс+ ... +х„)хся с(х„. Если положить с-с ф (С) = ~ Т(С+ х„) хлв с(х„, то внутренний интеграл здесь заменится через ф(х,+ ... +х„,), а тогда по формуле Ли у в ил ля, примененной к (н — 1)-кратному ийтегралу, по- следний представится так: ! с(ст!)" л(с!а-с) т ф(с)слс+"'+Рл-! с(с Г(р,+ ... +Л,) 61 Подставляя вместо ф(С) его выражение, мы заменим полученный повторный интеграл двойным: (С.( «„)С + "+Р -' С,"я-'аСХ, с,л о с+ л'„= ! Остается лишь применить к последнему уже доказанную формулу, чтобы прндти к требуемому результату.
8) Отсюда легко получить более общую формулу: ! а+'+а Т(п) и" о алс ... аля У( — ') ...У( ) + + !а1 «о) (все чисаа ас,.ас, рс предполагаются положительными). Для н=2 зта формула уже известна (%7, 16); 6П, 17); 6!7, 14)). Лопустим ее справедливость для (л — 1)-кратного интеграла. Левую часть доказываемой формулы перепишем так: арб гл. хчш. твойные и многок»атные интегвалы Убтб Эта формула, например, позволяет вычислить следующие интегралы, устанавливая попутно и условия их существования "'. л Р1 — ! ЛЛ (а) 1 " л 1"Х1 «1 --«л (1 — х" —...— хл )» 1 «1+ + «л -! ! г ( ) ... г( ) г(!») (при»(!); л хя! ' х" (б) ~ .
~ ! 1гхг ... 1!хл= о (х1'+ ...+х„")» «л1+ ! «лам! л .(-+ ..+--,) р(-+...+-) ( при и( — +...+ — ); Р1 Рл'! . а лл)' ««1 ! ! «"лк! 1 "' л — Г(-1) ...Г(Р ) Г( — ) Г( — +-! т(~~ + !) г(~ +!) где для краткости положено Р1+ ! Рл лл * Поскольку абсолютная сходнмость интеграла справа в формуле Л н ув и л л я имеет место одновременно со сходнмостью интеграла слева. 366 676[ $6. МНОГОКРАТНЫЕ НН!'ЕГРАЛЫ 9) Наказать с помощьв математической индукции формулу: х"' ! ... х!и !(х, ... ахп (а!хг+ ...
+ апхп+3) ' к,...,к жо «+-+кп ! г(р,) ... г(р,) Г „Р!+- +Рп — ! г аи (Р!+" +Рп) 6! (а и [„Ь)к! (а,ц [„Ь) и (ао а )О Ь)0) [см. 611, 18); воспользоватьса 334, 2)[. 10) Покажем, следуя Коши, как вычисление кратиого иитеграла р! — 1 Пп ! — !и!к!+.,+ппк„! о о (рг, а! Ь1, а ) 0) может быть приведено к вычислеии!о простого интеграла. По известной формуле [531 (13)[ 1 1 и !оп+ Нкт-1- + аппп! ц О 1 (Ь + Ь,, + ... + Ь хп)о Г (а) ~ Подставляя ато в интеграл Ки изменяя порядок интегрирований, представим его в виде ~ е — о|паз — !!)и Н ус ()Е !и!+О!" к!ХР!-!Их ')е '"+ "' пх"и 'Их о о или, наконец, если для интегралов в фигурных скобках сиова использовать указа!щув! формулу: Г(Р!) ...
Г(Рп) Г е — оппио ' аи Г (й) Ь! (а, + Ь,ц)Р'...(ап + Ьпи)кп Результат этот имеет место и при Ь,=О, ио в предположении, что р, + .. "+Рп) Ч. 11) Приведем вычисление интеграла ьэл = )...) (а>х! + ... + а„х„)™ !(х, ... а!хп, к!+...+кйщ ! где 2Ь вЂ” четное патУРальное число, а ап ..., а„— вРоиввольиые Вещественные числа. в а. мнОГОкРАтныц интеГРАлы тельной Функции в ряд и почленного интегрирования, значение н такого инте- града: л ха+...+л, «1 Р ай й)ГЯ+й+1) ~ т где для краткостн положено Р= Р а,'+...+а'.
Прн четном л=2ю этот результат может быть переписан в виде а ай (2 уй ( Пй 1,1ай+м ( )э Х й1(й+ю)1 Ы (фУ" ~лК й1(й+ю)1 (2) а=о й=о (1 ) Р и т. е. выражается через бесселеву функцию со значком ж = — [395, 14)) от мнимого аргумента. Нужно сказать, впрочем, что, если ввести в рассмотрение н бесселевы функции с дробным значком, то полученный результат сохранит сиау прн нечетном л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
